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西工大高一数学 第一学期


西工大附中 2013~2014 学年度第一学期期中考试 高一数学试题(必修 1)
一、选择题( 12 ? 3 分 ? 36 分) 1.若 U ? ?1 ,2, 3 ,4, 5?,M ? ?1 , 3,4?,N ? ?2,4, 5? ,则 (痧 ( U N)= ( U M)∩ A. ? B. ?1 ,3? C. ?4? D.{2,5} )

【解析】A

难度:★ 类型:集合运算,选择题必考题; 相同题型:参见学而思秋季班第一讲课后演练 2(1) ; 辐射高考:历年高考第一题; 知识拓展:也可以利用德摩根公式: (痧 ( U N)= ?U ? M ? N ? U M)∩ 2.用分数指数幂表示 a ? 3 a a 为(
4 3


1

A. a 3

B. a 4

C. a 12

D. a

?

1 4

【解析】B 难度:★ 类型:幂的运算 相同题型:参见学而思秋季班第五讲暑期知识回顾 1; 辐射高考:高考中需要掌握的基本运算;
x ? ? ? ? ?1? 3.已知集合 A ? { y y ? log 2 x,x ? 1} ,B ? y y ? ? ? ,x ? 1? ,则 A∩B ? ( 2 ? ? ? ? ? ?



? 1? ?1 ? 1? A. ? 0, ? B. (0,1) C. ? , ? 2? ?2 ? 【解析】A 难度:★ 类型:集合运算,涉及指对数函数; 相同题型:参见学而思秋季班第五讲课后例题 5; 辐射高考:历年高考第一题; 4.下列函数中,在区间(0,1)上为增函数的是(

D. ?


x

A. y ? 2 x 2 ? x ? 3
2

?1? B. y ? ? ? ? 3?

C. y ? x 3

D. y ? log 1 x
2

【解析】C 难度:★ 类型:函数单调性; 辐射高考:历年高考选择题,考察函数性质;

5.设 M ? N ? ?0,2? ,给出下列四个图形中,其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的是(



【解析】D 难度:★★ 类型:函数定义;映射是函数的发端,需要了解映射的两个允许和两个不允许 6.函数 f ( x) ? 3 ? x ? log 2 ( x ? 1) 的定义域是( A. ? ?1 ,3? B. (?1 ,3) ) D. ? ?1 ,3?

C. ? ?1 ,3?

【解析】C 难度:★ 类型:定义域的考察; 相同题型:参见学而思秋季班第六讲课后考点 5 暑期知识回顾; 辐射高考:历年高考选择题考察频率非常高; 7.若 0 ? a ? 1 ,b ? 1 ,则三个数 M ? ab , N ? logb a , P ? ba 的大小关系是( A. M ? N ? P B. N ? M ? P C. P ? M ? N 【解析】B 难度:★★ 类型:比较大小; 相同题型:参见学而思秋季班第五讲课后考点 3:幂的大小比较; 辐射高考:历年高考选择题经常涉及幂和对数比较大小; )

D. P ? N ? M

8.函数 y ? x2 ? 2(a ? 2) x ? 5 在区间 (4, ? ?) 上是增函数,则实数 a 的取值范围是( A. ? ??, ? 2? B. ? ?2, ? ?? C. ? ??, ? 6? D. ? ?6, ? ??



【解析】B 难度:★ 类型:单调性的应用; 相同题型:参见学而思秋季班第三讲课后例 2(3) ; 9.若 f : A ? B 能构成映射,则下列说法中不正确的是(



A. A 中的任一元素在 B 中必须有象且必须是唯一的; B. B 中的元素可以在 A 中有多个原象; C. B 中的元素可以在 A 中无原象; D.集合 B 就是象的集合 【解析】D 难度:★★★ 类型:映射定义的理解; 考察知识点:映射两个允许两个不允许 10.已知元素 ( x,y) 在映射 f 下的象是 ( x ? y,x ? y) ,那么(1,2)在 f 下的原象是(



A. (1,2)

B. (3, ? 1)

?3 1? C. ? , ? ? ?2 2?

? 1 3? D. ? ? , ? ? 2 2?

【解析】C 难度:★ 类型:映射定义中的像和原像; 相同题型:参见学而思暑期班第二讲;
?1? 11.已知定义在 R 上的偶函数 f ( x) 在 ? ??,0? 上是减少的,且 f ? ? ? 0 ,则不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ? 3? ( ) 1? 1? ?1 ? ?1 ? ? ? ? 1 1? A. ? ??, B. ? , C. ? ??,- ?∪? , D. ? ? , ? ? ? ? ?? ? ?? 3? 3? ? 3 ? ?3 ? ? ? ? 3 3?

【解析】C 难度:★ 类型:函数奇偶性和单调性综合; 相同题型:参见学而思秋季班第三讲例 7 前的铺垫; 12.函数 y ? ?2 x2 的图像是由函数 y ? ?2 x2 ? 4 x ? 6 经过怎样的变换得到的( A.向左平移 1 个单位,向上平移 8 个单位 B.向右平移 1 个单位,向上平移 8 个单位 C.向左平移 1 个单位,向下平移 8 个单位 D.向右平移 1 个单位,向下平移 8 个单位 【解析】C 难度:★ 类型:图像平移; 二、填空题( 6 ? 3 分 ? 18 分) 13. 已知集合 A ? {x ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0} , 若集合 A 中只有一个元素, 则实数 a ? ___________________; 【解析】0 或 1 难度:★★ 类型:带参数的一元二次方程的考察; 相同题型:参见学而思秋季班第一讲例 3; 辐射高考:带参数的一元二次方程(不等式)是高考的热点; 14. ? lg 2 ? ? lg 2 ? lg50 ? lg 25 ? ____________________;
2



【解析】2 难度:★★ 类型:对数的运算; 相同题型:参见学而思秋季班第六讲例 2;
?2 x ( x ≤ 0) 15.已知函数 f ( x) ? ? 则 f (5) ? __________; , ? f ( x ? 3)( x ? 0)

【解析】

1 2

难度:★ 类型:分段函数求值;

?1? 16.函数 y ? ? ? ? 3?

2 x ? x2

的单调递增区间为____________________;

【解析】 ?1, ??? 难度:★★ 类型:复合函数单调性; 相同题型:参见学而思秋季班第五讲考点五 1; 17.不等式 21?2 x ? (0.5)2? x 的解集为____________________; 【解析】 (1, ??] 难度:★ 类型:指数函数的单调性;
?? x ? 1 ( x ? 1) ? 18.已知函数 f ( x) ? ?5 ( x ? 1) ,若 f ( x) ? 5 ,则 x ? __________; ? 2 ? x ? 1 ( x ? 1)

【解析】1 或-2 难度:★ 类型:分段函数求值,分类讨论思想; 三、解答题(共 46 分) 19. (本小题 8 分) 在 Rt△ABC 中, 直角边 AC ? 3 点 D 是斜边 AB 上的动点,DE ? AC 交 AC ,BC ? 4 , 于点 E , DF ? BC 交 BC 于点 F ,设 CE ? x , (Ⅰ)求四边形 FDEC 的面积函数 f ( x) ; (Ⅱ)当 x 为何值时, f ( x) 最大?并求出 f ( x) 的最大值.

解:

x BF 4 ? BF ? x ? AC BC 3
4 ? ? ? 1 ? S FDEC ? x ? 4 ? x ? ? 4 ? ? x 2 ? x ? 3 ? ? ? 3 ?

4 CF ? 4 ? BF ? 4 ? x 3

? 0 ? x ? 3?

3 ? 3? ?3 ? 且 f ? x? ? S FDEC 在 ? 0, ? 上单调递增,在 ? ,3 ? 上单调递减,所以 S FDEC 在 x ? 上取得最大值, 2 ? 2? ?2 ?
的最大值为 f ?

?3? ??3 ?2?

20. (本小题 8 分)已知奇函数 f ( x) 是定义在区间 (?3,3) 上的减函数,若 f (m ? 2) ? f (2m ? 1) ? f (0) , 求实数 m 的取值范围. 解: 【解析】 ?1 ? m ? 1 难度:★★ 类型:抽象函数单调性和奇偶性的考察; 相同题型:参见学而思秋季班第三讲例 7;

? f ? x ? 的 定 义 域 为 : ? ?3,3? , ? f ? 0 ? ? 0

? f (m ? 2) ? ? f (2m ? 1)

又 f ? x? 为 奇 函 数

? f ( m? 2 )? f ( 1 ? 2 m? ) f ? x ? 为减函数 ? ?3 ? m ? 2 ? 1 ? 2m ? 3 解得 ?1 ? m ? 1
21. (本小题 10 分)已知偶函数 f ( x) 在区间 ?3,5? 是增加的,用定义证明 f ( x) 在区间 ? ?5, ? 3? 上是减 少的. 解: 【解析】偶函数的单调性 难度:★★★ 类型:单调性的证明; 证明:对于任意的 ?5 ? x1 ? x2 ? ?3
f

?x ? 2x ? 1? ? f

?

?f ? ? 1x ? ?

f ??2 x

? 3 ? ? x2 ? ? x1 ? 5 且 f ? x ? 在 ?3,5? 上单调递增,? f ? ? x2 ? ? f ? ? x1 ?
即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x ? 在区间 ? ?5, ? 3? 上是减少的 22. (本小题 10 分)已知函数 f ( x) ? a ?
1 是奇函数, 2x ? 1

(Ⅰ)求实数 a 的值,并证明你的结论; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的值域. 解: 【解析】函数奇偶性应用和求值域 难度:★★★★ 类型:奇偶性和值域问题; (Ⅰ) f ?1? ? a ? 1
f ? ?1? ? a ? 1 1 ?1 2

? f ? x ? 是奇函数 ? f ?1? ? ? f ? ?1? 解得 a ?
1 ? ?y? 2 ? ?y?1 ? ?0 ? 2x ? 0 且 2x ? 1 ? ? 2 ?y? 1 ? 2 ?1 ? 1 ?y? ? 2

1 2

1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 y ? ? x 2 2 ?1

1 2 得 2x ? 1 y? 2 y?

? y ? ? y y ? 或y ? ? ?
?

?

1 2

1? 2?

23. (本小题 10 分)已知函数 f ( x) ? ln(a x ? b x )(0 ? b ? 1 ? a) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的定义域 G ,并判断 f ( x) 在 G 上的单调性;
, ? ? ? 上恒取正值. (Ⅱ)当 a、b 满足什么条件时, f ( x) 在区间 ?1

解: 【解析】 难度:★★★★ 类型:对数函数定义域和恒成立问题;

?b? (Ⅰ)易知 a x ? b x ? 0 a x ? b x ? ? ? 1 ?a?

x

?0?

b ?1 a

? x ? 0 所以定义域 G ? ?x x ? 0?

对于任意的 0 ? x1 ? x2 又

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ln

a x1 ? b x1 a x2 ? b x2
? a x1 ? a x2 ? 0

a x1 ? b x1 (a x1 ? a x2 ) ? (b x1 ? b x2 ) ? 1 ? a x2 ? b x2 a x2 ? b x2
x1 ? x2 b x1 ? b x2 ? 0
? a x2 ? b x2 ? 0

? a ? 1 x1 ? x2

同理 0 ? b ? 1

? a x1 ? a x2 ? b x1 ? b x2 ? 0 ?

?

? ?

?

又 b x2 ? b0 ? 1 ? a0 ? a x2
? f ( x) 在 G 上单调递增

a x1 ? b x1 ?1 a x2 ? b x2

? f ? x1 ? ? f ? x2 ?

(Ⅱ)原题等价于 a x ? b x ? 1 在 [1, ??) 上恒成立,求 a, b 满足条件 令 g ? x? ? ax ? bx 对于任意的 1 ? x1 ? x2
g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? (a x1 ? a x 2) ? (b x 1? b x )2 ? 0

? g ? x ? 在 [1, ??) 上单调递增 ? a ? b ?1

g ? x ?min ? g ?1? ? a ? b


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