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高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》章末检测


高中数学选修 2-1 第二章《圆锥曲线与方程》章末检测
一、选择题(本大题共 8 个小题,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1.(2013· 四川文,5)抛物线 y2=8x 的焦点到直线 x- 3y=0 的距离是( A.2 3 B.2C. 3D.1 )

x2 y2 2.已知椭圆 2+ =1(a>5)的两个焦点为 F1、F2,且|F1F2|=8,弦 AB 经过焦点 F1,则 a 25 △ABF2 的周长为( )

A.10 B.20C.2 41D.4 41 x2 y2 3.椭圆 2+ =1 的一个焦点为(0,1),则 m=( m 3-m )

-1± 17 -1± 17 A.1 B. C.-2 或 1 D.-2 或 1 或 2 2 x2 y2 4.设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的虚轴长为 2,焦距为 2 3,则双曲线的渐近线方程 a b 为( ) 2 1 A.y=± 2xB.y=± 2xC.y=± xD.y=± x 2 2 x2 y2 5. (2013· 天津理, 5)已知双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的两条渐近线与抛物线 y2=2px(p>0) a b 的准线分别交于 A,B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2,△AOB 的面积为 3, 则 p=( )

3 A.1 B. C.2 D.3 2 6.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 2倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双 曲线的标准方程为(
2 2 2

)

x y y x2 y2 x2 x2 y2 A. - =1 B. - =1C. - =1 D. - =1 4 4 4 4 4 8 8 4 7.已知椭圆的焦点是 F1、F2,P 是椭圆上的一个动点.如果延长 F1P 到 Q,使得|PQ| =|PF2|,那么动点 Q 的轨迹是( A.圆 C.双曲线的一支 ) B.椭圆 D.抛物线

x2 y2 8.(2013· 新课标Ⅰ理,10)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的 a b 直线交椭圆于 A、B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为( x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. + =1 B. + =1C. + =1 D. + =1 45 36 36 27 27 18 18 9 )

二、(本大题共 6 个小题,把正确答案填在题中横线上) 9.已知过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、B 两点,|AF|=2,则|BF|= ____. 10.已知长方形 ABCD,AB=4,BC=3,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的双曲线 的离心率为________. x2 y2 11. 椭圆 + =1 的两焦点为 F1、 F2 点 P 在椭圆上, 使∠F1PF2=90° 的点 P 有____个. 4 3 y2 12.已知双曲线 x2- 2=1(b>0)的一条渐近线的方程为 y=2x,则 b=________. b x2 y2 13.(2013· 辽宁理,15)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直 a b 4 线相交于 A,B 两点,连接 AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF= ,则 C 的离心率 e 5 =________. x2 y2 14.方程 + =1 表示曲线 C,给出以下命题: 4-t t-1 ①曲线 C 不可能为圆; ②若 1<t<4,则曲线 C 为椭圆; ③若曲线 C 为双曲线,则 t<1 或 t>4; 5 ④若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<t< . 2 其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号). 三、解答题(本大题共 6 个大题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) x2 y2 y2 15.若已知椭圆 + =1 与双曲线 x2- =1 有相同的焦点,又椭圆与双曲线交于点 10 m b P( 10 ,y),求椭圆及双曲线的方程. 3

8 3 16.)求以直线 x+2y=0 为渐近线,且截直线 x-y-3=0 所得弦长为 的双曲线的标 3 准方程.

17. 已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点, 斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1, y1), B(x2, y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程; → → → (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC=OA+λOB,求 λ 的值.

18.(2013· 新课标Ⅰ文,21)已知圆 M:(x+1)2+y2=1,圆 N:(x-1)2+y2=9,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最 长时,求|AB|.

19.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1、F2 在坐标轴上,一条渐近线方程为 y=x,且 过点(4,- 10). (1)求双曲线方程; → → (2)若点 M(3,m)在此双曲线上,求MF1· MF2.

20.已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0)为其右焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA 的直线 l,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距 离等于 4?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

高中数学选修 2-1 第二章《圆锥曲线与方程》章末检测 一.选择题 题号 答案 二.填空题 9. 2 10.2 11. 0 12. 2 5 13。 7 14.③④ 三.解答题 15.[解析] 由椭圆与双曲线有相同的焦点得 10-m=1+b,即 m=9-b① 又点 P( 10 ,y)在椭圆、双曲线上,得 3 1 D 2 D 3 C 4 C 5 C 6 B 7 A 8 D

8 y2= m,② 9 b y2= .③ 9 解由①、②、③组成的方程组得 m=1,b=8, x2 y2 ∴椭圆方程为 +y2=1,双曲线方程为 x2- =1. 10 8 16.[解析] 由于双曲线渐近线方程为 x+2y=0, 故可设双曲线方程为 x2-4y2=λ(λ≠0). 设直线 x-y-3=0 与双曲线的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2).
?x-y-3=0, ? 联立方程组? 2 消去 y, 2 ?x -4y =λ. ?

整理得 3x2-24x+36+λ=0. 由 Δ=242-12(36+λ)>0,解得 λ<12. x +x =8, ? ?1 2 由根与系数关系可得? 36+λ x2= . ? 3 ?x1· 代入弦长公式中,

|AB|= 2|x1-x2|= 2· ?x1+x2?2-4x1x2 = 2· 于是 36+λ 82-4× = 3 8?12-λ? , 3

8?12-λ? 8 3 = ,解得 λ=4(与 λ<12 符合). 3 3

x2 故所求的双曲线方程为 -y2=1. 4 p 17.[解析] (1)直线 AB 的方程是 y=2 2(x- ),与 y2=2px 联立,从而有 4x2-5px+p2 2 5p =0,所以 x1+x2= , 4 由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9, 所以 p=4,从而抛物线方程是 y2=8x. (2)由 p=4, 方程 4x2-5px+p2=0 可化为 x2-5x+4=0, 从而 x1=1, x2=4, y1=-2 2, y2=4 2,从而 A(1,-2 2),B(4,4 2). → 设OC=(x3,y3)=(1,-2 2)+λ(4,4 2)=(4λ+1,4 2λ-2 2),
2 2 又 y2 3=8x3,即[2 2(2λ-1)] =8(4λ+1),即(2λ-1) =4λ+1,解得 λ=0 或 λ=2.

18.[解析] (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切, 所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左、右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为 3的 x2 y2 椭圆(左顶点除外),其方程式为 + =1(x≠-2). 4 3 (2)对于曲线 C 上任意一点 P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以 R≤2,当且仅当 圆 P 的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆 P 的半径最长时,其方程为 (x-2)2+y2=4. 若 l 的倾斜角为 90° ,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|=2 3. |QP| 若 l 的倾斜角不为 90° ,由 r1≠R 知 l 不平行于 x 轴,设 l 与 x 轴的交点为 Q,则 = |QM| R |3k| 2 ,可求出 Q(-4,0),所以可设 l:y=k(x+4),由 l 与圆 M 相切得 2=1,解得 k=± 4 . r1 1+k 当 k= -4± 6 2 . 7 所以|AB|= 1+k2|x2-x1|= 18 . 7 2 2 x2 y2 时,将 y= x+ 2代入 + =1 并整理得,7x2+8x-8=0,解得 x1,2= 4 4 4 3

当 k=-

2 18 时,由图形的对称性可知|AB|= . 4 7 18 . 7

综上,|AB|=2 3或|AB|=

19.[解析] (1)由题意知双曲线的方程是标准方程. ∵双曲线的一条渐近线方程为 y=x, ∴设双曲线方程为 x2-y2=λ. 把点(4,- 10)代入双曲线方程得,λ=6. ∴所求双曲线方程为 x2-y2=6. (2)双曲线的焦点为 F1(-2 3,0)、F2(2 3,0). ∵M 点在双曲线上,∴32-m2=6,m2=3. → → ∴MF1· MF2=(-2 3-3,-m)· (2 3-3,-m)=(-3)2-(2 3)2+m2=0. 20.[解析] (1)设椭圆的方程 x2 y2 + =1(a>b>0), a2 b2 ∵F(2,0)是椭圆的右焦点,且椭圆过点 A(2,3),
? ? ?c=2, ?c=2, ∴? ∴? ∵a2=b2+c2, ?2a=3+5=8, ?a=4. ? ?

x2 y2 ∴b2=12,故椭圆方程为 + =1. 16 12

?y=2x+t, 3 (2)假设存在符合题意的直线 l,其方程 y= x+t.由? 2 x y ?16+12=1.
2 2

3

消去 y,得 3x2+3tx

+t2-12=0. ∵直线 l 与椭圆有公共点, ∴Δ=(3t)2-12(t2-12)≥0,解得-4 3≤t≤4 3. 另一方面,由直线 OA 与 l 的距离等于 4, 可得, |t| =4,∴t=± 2 13. 9 +1 4

由于± 2 13?[-4 3,4 3], 故符合题意的直线 l 不存在.


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