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2.5.1平面几何中的向量方法(教学设计)


SCH 高中数学(南极数学)同步教学设计(人教 A 版必修 4 第二章《平面向量》 )

2.5.1 平面几何中的向量方法(教学设计) [教学目标] 一、 知识与能力: 1. 运用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 二、过程与方法: 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题;体会向量是一种处理几何问题的工具;发展运算能力和解决实际 问题的能力. 三、情感、态度与价值观: 培养对现实世界中的数学现象的好奇心,学习从数学角度发现和提出问题;树立学科之间相互联系、相互促进的 辩证唯物主义观点. [教学重点] 运用向量方法解决某些简单的平面几何问题. [教学难点] 运用向量方法解决某些简单的平面几何问题 一、复习回顾 1. 向量的概念; 2. 向量的表示方法:几何表示、字母表示; 3. 零向量、单位向量、平行向量的概念; 4. 在不改变长度和方向的前提下,向量可以在空间自由移动; 5. 相等向量:长度(模)相等且方向相同的向量; 6. 共线向量:方向相同或相反的向量,也叫平行向量. 7. 要熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,并能做出已知两个向量的和向量; 8. 要理解向量加法的交换律和结合律,能说出这两个向量运算律的几何意义; 9. 理解向量减法的意义;能作出两个向量的差向量. 10. 理解实数与向量的积的意义,能说出实数与一个向量的积这与个向量的模及方向间的关系; 11. 能说出实数与向量的积的三条运算律,并会运用它们进行计算; 12. 能表述一个向量与非零向量共线的充要条件; 13. 会表示与非零向量共线的向量,会判断两个向量共线. 二、师生互动,新课讲解 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图像的许多性质,如平移、全等、相似、长度、 夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此可用向量方法解决平面几何中的一些问题. 例 1: 证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
1

SCH 高中数学(南极数学)同步教学设计(人教 A 版必修 4 第二章《平面向量》 )

证明:设四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,且AO ? OC,BO ? OD. 1 1 1 1 AB ? AC ? DB,DC ? DB ? AC , 2 2 2 2 ? AB ? DC , 即AB ? DC且AB / / DC 所以四边形ABCD是平行四边形, 即对角线互相平分的四边形是平行四边形.

1 变式训练 1: 已知DE是?ABC的中位线, 用向量的方法证明:DE ? BC,且DE / / BC. 2
1 1 AB, AE ? AC , 2 2 1 1 所以DE ? AE ? AD ? AC ? AB ? BC. 2 2 1 即DE ? BC,又D不在BC上,所以DE / / BC. 2 证明:易知 AD ?

?

?

例 2: 用向量方法证明:三角形三条高线交于一点.
证明:设H 是高线BE、CF的交点,且设 AB ? a, AC ? b, AH ? h 则有BH ? h ? a, CH ? h ? b, BC ? b ? a, BH ? AC , CH ? AB, ? ? h ? a ?· b ? ? h ? b ?· a?0 化简得,h· ? b ? a ? ? 0 ? AH ? BC 所以,三角形三条高线交于一点.

变式训练 2: 证明勾股定理,在Rt ?ABC中,AC ? BC,BC ? a,AC ? b,AB ? c,则c2 ? b2 ? a 2 .
证明:由AB ? AC ? CB,得 AB· AB ? AC· AC ? 2 AC CB ? CB CB 即 | AB |2 ?| AC |2 ?0? | CB |2 , 故c 2 ? b 2 ? a 2 .
C A B

例 3: (课本 P109 例 1) 已知平行四边形ABCD的对角线为AC、BD.求证: | AC |2 ? | DB |2 ? 2 | AB |2 ? | AD |2

?

?

2

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证明:由 | AC |2 ? AC ? AB ? AD

2

?

?

2

?| AB |2 ? | AD |2 ?2 AB AD | DB |2 ? DB ? AB ? AD
2 2

,

?

?

2

得 | AC |2 ? | DB |2 ? 2 | AB |2 ? | AD |2 .

?

?| AB | ? | AD |2 ?2 AB AD

?

变式训练 3:用向量方法证明:对角线相等的平行四边形是矩形.
解:如图,四边形ABCD对角线AC、BD交于点O, AB ? AO ? OB, AD ? AO ? OD, ? AB· AD ? AO ? OB ·AO ? OD
2

D O

C

?

??

?
A

? AO ? AO· OD ? OB· AO ? OB· OD ? 0 ? AB ? AD,即AB ? AD, ?四边形ABCD是矩形.
B

三、课堂小结,巩固反思: 向量是沟通数与形的十分有效的工具, 利用向量处理平面几何问题, 最重要的是要先在平面图形中寻找向量的 “影 子” ,然后合理引入向量,并通过向量的运算,达到快捷解题的效果. 四、课时必记:

五、分层作业: A 组: 1、 (课本 P118 复习参考题 A 组:NO:5) 2、 (课本 P118 复习参考题 A 组:NO:6) 3、 (课本 P118 复习参考题 A 组:NO:7) 4、 (课本 P118 复习参考题 A 组:NO:8) 5、 (课本 P118 复习参考题 A 组:NO:9) B 组: 1、 (课本 P113 习题 2.5 A 组 NO:1) 2、 (课本 P113 习题 2.5 A 组 NO:2)

3

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3、用向量方法证明:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
D

证明:如图平行四边形ABCD,对角线AC、BD交于点O, AB ? AO ? OB, BC ? BO ? OC
O
2 2

C

? ? | BC | ? ? BO ? OC ?
| AB | ? AO ? OB
2 2

2

?| AO | ?2 AO OB ? OB ?| AO
2

? OB

2

2

?| BO |2 ?2 BO OC ? | OC |2 ?| BO |2 ? | OC |2 ,

A

B

?| AB |?| BC | , ?四边形ABCD是菱形.

C 组:

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