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广东省深圳中学2013届高三第一次阶段测试数学文试题 Word版含答案


试卷类型:A

深圳中学 2013 届高三第一次阶段测试 文科数学
本试卷共 4 页,20 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室 号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡 相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信 息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再填涂其他答案。答案不能答在试 卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目 指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答 案,不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点,再作答。漏 涂、错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。

第 I 卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合要求. 1.如图,矩形表示全集 U,两个圆分别表示集合 A 与集合 B, 则图中阴影部分区域不能恒表示为( ). A. B

?C

U

A

B. C A? B B

C. A CU B

?

D. C A ( A

?B)

2.曲线 y ? x 在原点处的切线( ).
3

A.不存在 C.有 1 条,其方程为 x ? 0

B.有 1 条,其方程为 y ? 0 D.有 2 条,它们的方程分别为 y ? 0 , x ? 0

3.集合 A ? {x || x |? 4, x ? R}, B ? {x x ? a} ,则“ A ? B ”是“ a ? 5 ”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 4.为了得到函数 y ? sin( 2 x ? A.向左平移 C.向左平移 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?
3

) 的图象,可以将函数 y ? sin 2 x 的图象( )
B.向右平移 D.向右平移

? ?
3

个单位 个单位
x

? ?
3

个单位 个单位

6

6

5.已知函数 y ? 3 的一些函数值的近似值如右表,则 方程 3 ? 3 x ? 8 ? 0 的实数解 x0 属于区间( ).
x

A.(0.5,1) C.(1.25,1.5) 6.设函数 D ( x) ? ?

B.(1,1.25) D.(1.5,2)

?1, x为有理数, ?0, x为无理数.

,则 D(x)( ). B.是奇函数而不是偶函数 D.既不是偶函数也不是奇函数

A.是偶函数而不是奇函数 C.既是偶函数又是奇函数

7.在直角坐标系 xOy 的第一象限内分别画出了函数 y ? x, y ?

x , y ? x2 , y ? x3 ,

y ? x ?1 的部分图象,则函数 y ? x14 的图象通过的阴影区域是( )

8.平面直角坐标系 xOy 中,设角 α 的始边为 x 轴非负半轴,终边经过点(-3,4),则角 2α 是( ). A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 9.矩形 ABCD 所在的平面与地面垂直,A 点在地面上, AB=a,BC=b,AB 与地面成 ? (0 ? ? ?

?
2

) 角(如图) .则

点 C 到地面的距离函数 hθ =( ). A. a cos? ? b sin ? B. a sin ? ? b cos? C. | a sin ? ? b cos? | D. | a cos? ? b sin ? |

10.已知函数 f=f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数,且当 x ? (??,0) 时, xf ' ( x) ? f (? x)

(其中 f'(x)是 f(x)的导函数),若 a ? 则( ). A. a ? c ? b

1 1 3 f ( 3 ) , b ? (lg 3) f (lg 3) , c ? (log 2 ) f (log 2 ) , 4 4
C. a ? b ? c D. c ? a ? b

B. c ? b ? a

第 II 卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11.执行如图所示的程序框图,若输入 x=0.01, 则输出 m 的值是____. 12.已知命题 p:存在 x ? [1,2], 使得x ? a ? 0 ,命题 q:指数
2

函数 y ? (log 2 a ) 是 R 上的增函数,若命题“p 且 q”是真命题,则实数 a
x

的取值范围是____. 13.一船以 15km/h 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 600,行驶 4h 后, 船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 150,这时船与灯塔相距_____km. 14.设非零向量 a,b 的夹角为 ? ,记 f (a, b) ? a cos? ? b sin ? .若 e1 ,e2 均为单位向量, 且 e1 ? e2 ?

3 ,则向量 f (e1 , e2 ) 与 f (e2 ,?e1 ) 的夹角为____rad. 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 15. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a sin x cos x ? 2 cos x( x ? R ) 的图象经过点 M (
2

?
4

,0) ,其中常数

a?R.
(1)求 a 的值及函数 f (x) 的最小正周期 T; (2)当 x ? [0,

?
2

] 时,求函数 f (x) 的最值及相应的 x 值.

16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

2 ? x2 2 2 的定义域是集合 A,函数 g ( x) ? lg[ x ? (2a ? 1) x ? a ? a ] x 2 ?1

的定义域是集合 B,其中常数 a ? R . (1)求集合 A,B(用区间形式表示) ; (2)若 A

?B ? A ,求 a 的取值范围.
2 ac . 3

17. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,a,b,c 分别是 A, B, C 的对边长,已知 b ? c ? a ?
2 2 2

(1)求 cosB 及 tan

A?C 的值; 2

(2)若 b ? 2 2 ,△ABC 的面积为 2 ,求 sinA+sinC 的值. 18.(本小题满分 14 分) 已知 A,B,C 是函数 y ? e 图象上的三点,横坐标分别为 t ? 1, t , t ? 1 .
x

(1)当 t=1 时,求实数 x,y 的值,使得 OB ? xOA ? yOC ,其中 O 为坐标原点; (2)①证明:对任意实数 t,A,B,C 三点不在同一条直线上; ②问△ABC 是锐角三角形、直角三角形、还是钝角三角形?说明理由. 19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? log a x( x ? [1,6 ? a ]) 的最大值为 (1)求 a 的值; (2)设函数 g(x)满足:①g(x)是定义在 R 上的偶函数,②对 ?x ? R, g ( x ? 2) ? g ( x) , ③当 x ? [1,6 ? a ] 时, g ( x) ? f ( x) .求函数 g(x)在 R 上的解析式.

1 ,其中常数 a>0,且 a ? 1 . ? 2

20. (本小题满分 14 分) 已知 y ? 4 x ? 3tx ? 6t x ? t ? 1, x ? R, t ? R .
3 2 2

(1)当 x 为常数,t 在区间 [0, ] 变化时,求 y 的最小值为 ? (x) ; (2)证明:对任意的 t ? (0,??) ,总存在 x0 ? (0,1) ,使得 y=0.

2 3

参考答案
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如 果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合要求. A卷 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 A B B D C A C C B D 答案 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 A B卷 5 B 6 B 7 D 8 B 9 C 10 C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11.-1. 12. (2,4] (填 {a 2 ? a ? 4} 或 2 ? a ? 4 亦可). 13. 30 2 14.

?
2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 15. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a sin x cos x ? 2 cos x( x ? R ) 的图象经过点 M (
2

?
4

,0) ,其中常数

a?R.
(1)求 a 的值及函数 f (x) 的最小正周期 T; (2)当 x ? [0,

?
2

] 时,求函数 f (x) 的最值及相应的 x 值.
2

解:(1) f ( x) ? a sin x cos x ? 2 cos x ? 由函数 f(x)的图象经过点 M ( 即

?

a sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2

……1 分

a ? ? sin ? cos ? 1 ? 0 ,得 a=2. 2 2 2

,0) 知 f ( ) ? 0 , 4 4
……2 分

?

从而 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 所以 T ?

2 sin(2 x ?

?
4

) ?1,

……4 分 ……6 分

2? ?? . 2

(2)当 x ? [0,

?

2

] 时, 2 x ?

?

? 3? ? [? , ] , 4 4 4

……………7 分

所以当 2 x ? 当 2x ?

?
4

?

?
2

,即 x ?

?
4

??

?
4

3? 时, f ( x) max ? 2 ? 1 ; 8

……10 分 ……12 分

,即 x=0 时, f ( x) min ? ?2 .

16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

2 ? x2 2 2 的定义域是集合 A,函数 g ( x) ? lg[ x ? (2a ? 1) x ? a ? a ] x 2 ?1

的定义域是集合 B,其中常数 a ? R . (1)求集合 A,B(用区间形式表示) ; (2)若 A

?B ? A ,求 a 的取值范围.
2 ? x2 x2 ? 2 ? 0} ? {x | 2 ? 0} ? {x | 1 ? x 2 ? 2} , x2 ? 1 x ?1
……2 分

解:(1) A ? {x |

所以 A ? [? 2 ,?1) ? (1, 2 ] .

………3 分 …5 分 …………6 分 ……7 分

B ? {x | x 2 ? (2a ? 1) x ? a 2 ? a ? 0} ? {x | ( x ? a)( x ? a ? 1) ? 0} .
所以 C ? (??, a ) ? (a ? 1,??) . (2) A

?B ? A ? A ? B

?a ? ?1 …………………10 分 ? a ? 2 ,或 a ? 1 ? ? 2 ,或 ? ?a ? 1 ? 1

? a ? 2 ,或 a ? ? 2 ? 1 ,或 ? 1 ? a ? 0 .
所以 a 的取值范围是 (??,? 2 ? 1) ? [?1,0] ? ( 2 ,??)

………11 分 …12 分

17. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,a,b,c 分别是 A, B, C 的对边长,已知 b ? c ? a ?
2 2 2

(1)求 cosB 及 tan

A?C 的值; 2

2 ac . 3

(2)若 b ? 2 2 ,△ABC 的面积为 2 ,求 sinA+sinC 的值.

a 2 ? c2 ? b2 1 2 ? . 解:(1)由 b ? c ? a ? ac ,得 cos B ? 2ac 3 3
.

2

2

2

……2 分

由 0 ? B ? ? 知 sin B ? 1 ? cos B ?
2

2 2 . 3

……4 分

? B B B 2 cos 2 A?C ? ? B sin( 2 ? 2 ) cos 2 2 ? 1 ? cos B ? ? ? tan ? tan ? B B B B sin B 2 2 cos( ? ) sin 2 sin cos 2 2 2 2 2
? 2
………7 分

B B 3 B 6 A?C ? ?B 2 ? 2同 注: 先算出 cos ? ,sin ? , 后算出 tan ? ? tan 3 3 B 2 2 2 2 sin 2 cos
样给分. (2)由

1 ……………9 分 ac sin B ? 2 ,得 ac=3, 2 2 8 2 2 2 2 2 由 b ? c ? a ? ac ,得 (a ? c) ? b ? ac ? 16 ,即 a ? c ? 4 …………11 分 3 3 a?c 4 由正弦定理得 sin A ? sin C ? …14 分 ? sin B ? . b 3

18.(本小题满分 14 分) 已知 A,B,C 是函数 y ? e 图象上的三点,横坐标分别为 t ? 1, t , t ? 1 .
x

(1)当 t=1 时,求实数 x,y 的值,使得 OB ? xOA ? yOC ,其中 O 为坐标原点; (2)①证明:对任意实数 t,A,B,C 三点不在同一条直线上; ②问△ABC 是锐角三角形、直角三角形、还是钝角三角形?说明理由. (1)解:当 t ? 1 时, OA ? (0,1), OB ? (1, e), OC ? (2, e ) ,
2

…………2 分 ……3 分

代入 OB ? xOA ? yOC 得: ?

?2 y ? 1
2 ? x ? ye ? e



解得 x ? e ?
t

e2 1 ,y ? . 2 2
t ?1

……………4 分

(2)①证明: AB ? (1, e ? e
t

) ? (1, et (1 ? e ?1 )) , BC ? (1, et ?1 ? et ) ? (1, et (e ? 1)) ,
?1 t ?1

因为 1 ? e (e ? 1) ? 1 ? e (1 ? e ) ? e (e ? e
t

? 2) ? e t ?1 (e ? 1) 2 ? 0 , ……6 分
…………8 分

所以 AB 与 BC 不共线,从而 A,B,C 三点不在同一条直线上; ②解:△ABC 是钝角三角形. 因为 BA ? BC ? (?1,?e (1 ? e )) ? (1, e (e ? 1))
t t ?1

? ?1 ? e 2t ?1 (e ? 1) 2 ? 0 ,

………9 分

所以 BA ? BC ? BA ? BC cos B ? 0, cos B ? 0 , 由 0 ? B ? ? 及①知

………12 分 ………13 分 ………14 分

?
2

? B ?? .

所以△ABC 是钝角三角形. 19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? log a x( x ? [1,6 ? a ]) 的最大值为 (1)求 a 的值;

1 ,其中常数 a>0,且 a ? 1 . ? 2

(2)设函数 g(x)满足:①g(x)是定义在 R 上的偶函数,②对 ?x ? R, g ( x ? 2) ? g ( x) , ③当 x ? [1,6 ? a ] 时, g ( x) ? f ( x) .求函数 g(x)在 R 上的解析式. 解:(1)由 a ? 0, a ? 1,6 ? a ? 1 知 0 ? a ? 5 且 a ? 1 ? ? ……1 分

当 x ? [1,6 ? a ] 时, f ( x) ? log a x 是单调函数, f (1) ? 0 ? 由 数, ……2 分

1 知 f (x) 是单调增函 2
………3 分

故 f ( x) max ? f (6 ? a ) ? log a (6 ? a ) ? 即6 ? a ?

1 , 2

a , ( a ? 3)( a ? 2) ? 0 ,解得 a=4

……………………6 分 ……………7 分 …………8 分

(2)由②知函数 g(x)是周期为 2 的周期函数, 由③知当 x ? [1,2] 时, g ( x) ? log 4 x 由①知当 x ? [?1,1] 时, | x |? 1 , 2? | x |? [1,2] ,

g ( x) ? g (? | x |) ? g (2? | x |) ? log 4 (2? | x |) .

………10 分

对 ?x ? R ,存在 k ? Z ,使得 x ? [2k ? 1,2k ? 1) , x ? 2k ? [?1,1) ,

g ( x) ? g ( x ? 2k ) ? log 4 (2? | x ? 2k |) .
故函数 g(x)在 R 上的解析式为 g ( x) ? log 4 (2? | x ? 2k |) , 其中 x ? [2k ? 1,2k ? 1), k ? Z .

……………13 分

………14 分

注:将函数 g(x)在 R 上的解析式写成下面的分段函数形式同样给分:

?log 4 [ x ? 2(k ? 1)],2k ? 1 ? x ? 2k g ( x) ? ? k ?Z . ?log 4 [2(k ? 1) ? x],2k ? x ? 2k ? 1,

20. (本小题满分 14 分) 已知 y ? 4 x ? 3tx ? 6t x ? t ? 1, x ? R, t ? R .
3 2 2

(1)当 x 为常数,t 在区间 [0, ] 变化时,求 y 的最小值为 ? (x) ; (2)证明:对任意的 t ? (0,??) ,总存在 x0 ? (0,1) ,使得 y=0. 解:(1)当 x 为常数时, 设 f (t ) ? 4 x ? 3tx ? 6t x ? t ? 1 ? ?6 xt ? (3 x ? 1)t ? 4 x ? 1 ,
3 2 2 2 2 3

2 3

f ' (t ) ? ?12 xt ? (3 x 2 ? 1)
①当 x ? 0 时,由 t ? [0, ] 知 f ' (t ) ? 0, f (t ) 在 [0, ] 上递增,其最小值

2 3

2 3

? ( x) ? f (0) ? 4 x 3 ? 1 ;
②当 x>0 时,f(t)的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为直线;

………2 分

t??

3x 2 ? 1 3x 2 ? 1 , ? ? 12 x 12 x

?x ? 0 1 2 ? 若 ? 3 x 2 ? 1 1 ,即 ? x ? 1 ,则 f(t)在 [0, ] 上的最小值为 3 3 ? ? 3 ? 12 x

? ( x) ? f ( ) ? 4 x 3 ? 2 x 2 ? x ? .

2 3

8 3

1 3

…………4 分

?x ? 0 1 2 ? 若 ? 3 x 2 ? 1 1 ,即 0 ? x ? 或 x ? 1 ,则 f (t ) 在 [0, ] 上的最小值为 3 3 ? ? 3 ? 12 x

? ( x) ? f (0) ? 4 x 3 ? 1 .
1 ? 4 x 3 ? 1, x ? 或x ? 1, ? 3 综合①②,得 ? ( x) ? ? 8 1 1 3 2 ?4 x ? 2 x ? x ? , ? x ? 1. 3 3 3 ?
(2)证明:设 g ( x) ? 4 x ? 3tx ? 6t x ? t ? 1
3 2 2

…………6 分

…………7 分

则 g ' ( x) ? 12 x ? 6tx ? 6t ? 12( x ? 1)( x ? )
2 2

t 2

…………8 分

由 t ? (0,??) ,当 x 在区间 (0,??) 内变化时, g ' ( x), g ( x) 取值的变化情况如下表:

…10 分 ①当

t ? 1 ,即 t ? 2 时,g(x)在区间(0,1)内单调递减, 2

g (0) ? t ? 1 ? 0 , g (1) ? ?6t 2 ? 4t ? 3 ? ?2t (3t ? 2) ? 3 ? ?4(6 ? 2) ? 3 ? 0 .
所以对任意 t ? [2,??), g ( x) 在区间(0,1)内均存在零点,即存在 x0 ? (0,1) , 使得 g ( x0 ) ? 0 . ②当 0 ? ……11 分

t t t ? 1 ,即 0 ? t ? 2 时,g(x)在 (0, ) 内单调递减,在 ( ,1) 内单调递增, 2 2 2 t 7 3 7 3 若 t ? (0,1) ,则 g ( ) ? ? t ? t ? 1 ? ? t ? 0 , 2 4 4

g (1) ? ?6t 2 ? 4t ? 3 ? ?6t ? 4t ? 3 ? ?2t ? 3 ? 1 ? 0 ,
所以 g (x) 在 ( ,1) 内存在零点; 若 t ? (1,2) ,则 g (0) ? t ? 1 ? 0 , g ( ) ? ?

t 2

…………12 分

t

7 4

2

t 3 ? (t ? 1) ? ?

7 4

? 13 ? (2 ? 1) ? 0 ,

所以 g (x) 在 (0, ) 内存在零点. 所以,对任意 t ? (0,2), g ( x) 在区间(0,1)内均存在零点,即存在 x0 ? (0,1) ,使得

t 2

g ( x0 ) ? 0 .
综合①②,对任意的 t ? (0,??) ,总存在 x0 ? (0,1) ,使得 y ? 0 .

…13 分 ………14 分


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