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数学竞赛之窗2014年01-10套题


全 国高中数 学联赛模拟题

全 国高 中数学联赛 模拟题 (1)第 一试
(考 试时间:BO分钟
学校

满分 △zO分 ) 编号 得分

姓名

一、 填空题(本 大题共 8小 题 ,每 小题 8分 ,共 “ 分)
1.设 {c、 }为 等 差数列,{3Ⅱ


列{cⅡ +bⅡ }的 前四 项 列,且 数 依次为0,0,1,0,则 azO13= 数 }为 等比

2.已 知正四面体 刖BcD在 水平面上的正投影为四边形时面积的最大值为 4,则 它在水平面上
的正投影为三角形时面积的最大值为

3.若 多 项 式 1-另 +'-…


+1, +J1s-z1’ 可以 表示为%+c1y+… +c⒗ /6+巴 I9y19,这 里y〓 彤

o2〓

-zy+1=0(t∈ 4.抛 物 线段艿 线/〓 仙 和 动



是 公共点,则 c的 取值范围 ,G+1])存 在

__

5.方 程厅sin'=2在 区间[0,zO]内 实根的个数为
6.已 知 △姓 BC中 ,⒕B〓 AC,∠ CAB=30° ,o为 夕 心 且 CC,〓 卜

^1CA+^2CB,贝 ^1+2^2〓



~____

7.正 8边 形 中作 出所有对角线 ,它 们在 8边 形 内 (不 在边界上 )有
不同的交点。



8.已 知正整数 尼 ,使 得从 1000乃 起的 1000个 连续整数中没有完全平方数 ,则 尼的最小值为~

全 国高 中数 学联赛模拟题 (1)

二、 解答题 (本 大题 共

3小 题 ,笫 9题 16分 ,第

10、

11题 zO分 ,共 “ 分 )
o在 P1Pz上 ,且 点 口满足

9.设 抛物线 y〓


+南 =南

'-‰

+2交 直线 y〓 邴 (m)0)于

P1,凡 两点 ,点

试求点 o的 轨迹摊

10。 已知正实 数

@,3,c,J满 足 2(@+3+c+d,≥ 仂cd。 求 证

:

@2+'+'+俨 ≥汕耐。

11.已 知数列 %〓 /卜

2+尥 ? 3+… +/D(乃 +1),乃 为正整数.试 求粤 的最大和最小确
n
.

界:并 问这两个确界是否能够达 到

全 国高中数 学联赛模 拟题

全国高中数学联赛模拟题 (1)加 试
(考 试 时间 :150分 钟
学校

满分 :180分 ) 编号 得分

姓名

(本 题满 分 硐 分 ) 一、

?

ABC外 接圆上异于顶点 姓 川£ 的垂心 ,且 点 P是 △ ,B,C的 任意点 ,令 点 E,F分 别 设点 Ⅱ为 △ 是 P在 BC,AB边 上的垂足。 求证 :直 线 EF平 分线段 PⅡ

(本 题满 分 硐 分 ) 二、
× n方 格纸的方格中(每 格可放 1枚 ,多 枚 ,也 可不放 将 111枚 硬币放在 乃 值。 邻方格 (有 一公共边 )中 的硬币数之差都是 1.求 能这样摆放的最大 乃
)。

已知任何两个相

全国高 中数 学联赛模拟题 (1)

(本 题满 分 三、

sO分 )

J,'+ 求实参数 J的 取值范围,使 得对能任意能构成三角形的正数 o,乙 ,c,均 有 '+ba,'+仞 @3J能 构成三角形
.

(本 题满 分 四、

sO分 )
+oⅡ

? %是 1,2,… ,刀 的一个排列。 o1+o2+… 已知 0,c1,o1+o2,? ? 、 设己 1,o2,? 、 余数两两不同,求 正整数 乃的所有可能值
.

+1的 除以 乃

全国高 中数 学联赛模拟题

全 国高 中数 学联赛模 拟题 (2)第 一 试
(考 试时间:BO分 钟
学校 姓名

满分 :120分 )
编号 得分

一、 填空题 (本 大题共 8小 题 ,每 小题 分 ,共 “ 分 )
8’

1.在 △ ⒕ BC中

,舡 :〓 2,AC〓

4。

⒕ BC的 外心,则 厢卜 劢 的值是~ 点,o为 △ 若 ″为BC边 的中

2.设 (1+跖 )⒗

〓∑∥ ,则 ∑圯 〓 j=O j=1

B,当 m〓 1时 ,△ FAB m与 椭圆相交于点 火 3.已 知椭圆 C:年 +肾 〓1的 左焦点为 F,直 线 另〓 、 的周长取到最大值 ,则 椭圆 C的 离心率为

.


⒋ 已瞰 列 hJ黻 %〓 %抚


"艹

,捌 任意 瞎 ⒋胼

÷

<%d测 G鲰 值范围

5.方 程 cos‰

+c。 s2‰

+cos2仙 +cos2阮 =

虍吾孟歹

的角 镍 是

2PB,则 PA PB、 PC,且 满足 裂 〓 6.过 半径为 5的 球面上一点 P作 三条两两互相垂直的弦 Ⅲ 、

+PB+PC的 最大值为
7?

{-等

÷ }=

({州 表示 %的 小数部分) 。

8.将 2× 100方 格表 的每个小方格染上 红 、 蓝两色都有。 有 蓝两色之一 ,红 、
“ ” “ ” 种不同的染色方案 ,使 得同一种颜色的所有小方格都是 连通 的(两 个小方格是 连通 的 ,当 且 仅 当它们有一条公共边
)。

全国高中数学联赛模拟题 (2)

二、 解答题 (本 大题共 3小 题 ,第 9题 16分 ,第

10、

11题 zO分 ,共 “ 分 )

9.数 列 {≈ Ⅱ }满 足 :(i)幻 为一正实数 ;及
证明:在 幻,另 2,…
1,2,3,… ⑴艿 Ⅱ +1〓 厅 瓦 +2宀 ;+1,乃 〓 ,为 ⒛ 13中 ,最 少可以找到 臼1个 无理数
.

10.设 抛物线 尸 〓 勿《p>0)的 焦点为 F,经 过点 F的 直线交抛物线于 A、 B两 点 ,点 〃 在抛
求证 物线的准线上,@为 坐标原点。 (1)山 忸拙F、 昭 的斜率成等差数列 (2)当 似 ⊥MB时 ,∠ 〃Fo〓 |∠ AMF-∠ BMF卜
: ;

11.已 知方程

'-弼

2+阮 -c〓 o有 三 个 正 实根 (不 必不 同),求

七∵戋舟苄



÷

的最小值

.

全国高 中数 学联赛模拟题

全国高中数学联赛模拟题 (2)加 试
(考 试时间:150分钟
学校

满分 :180分 )
编号 得分

姓名

(本 题满分 们 分 ) 一、

DEF是 不等边锐角三角形 ABC的 垂足三角形 ,D∈ AB,E∈ AC,F∈ BC,凡 、 已知△ 几分别是 ? BCrz的 夕 ABfl和 △ ADE和 △CEF内 心 ,01、 02分 另 △ 心。 卜 刂 是△ 求证 :0102∥ 凡 几
.

(本 题满分 们 分 ) 二、 给定素数 p,求 满足以下条件的所有正整数 而 Ⅱ ′ 对任意整数 历 ,若 p|另 -1,则 尸 |另 -1.
:

全国高 中数 学联赛模拟题 (2)

(本 题满 分 三、

sO分 )
)。

“ ” “ ” 试确定在 1z× 1z棋 盘中所能放置的 王 的数 目的最大值 ,使 得其中每一个 王 都恰可攻击 “ ” ” 另外一个 王 (“ 王 可以攻击和它所在方格有公共顶点的方格中的棋子

(本 题满 分 四、

sO分 )
:

…≤ (D≥ 2),求 证 刃 已知实数 为 刀 1≤ 钌 2≤ ψ

泅 两 ≥ (冱 (D-0钙 )(冱 拓 尸 」冯≤

)?

全 国高 中数 学联赛模拟题

全 国高 中数 学联赛模 拟题 (3)第 一试
(考 试 时间 :sO分 钟
学校

满分 :120分 ) 编号 得分

姓名

一、 填空题 (本 大题共 8小 题 ,每 小题 8分 ,共 “ 分 )
1.2o13h ln⒛

13-(h2013)h zO13〓

2.已 知直线 y〓

-肾 〓 B的 点 ,当 直 B两 点 ,P为 双曲线上不同于 Ⅱ 1交 于 Ⅱ 、 、 Ⅱ 卩 与双曲线等
,拓 m庀 P:〓

2

2

拓 线 PA、 PB斜 率 屁 Ⅲ、 刀存 在 时

⒊ 数州 凵 敝

%吨

+1〓



测 ‰f

4.设 直角三角形的两条直角边长分别为 巴 ,3,斜 边长为 o3-(卩 +b),若 c,3,c均 为正整数
÷
则满足条件的直角三角形共有
个。

,

3+阮 5.设 函数r【 跖 )〓 4笏
值范围为

R)对 于任意 艿 +1(乙 ∈ ∈[-1,1],都 有r【 另 )≥ 0成 立 ,则 实数 b的 取

〓 6.已 知锐角 AABC的 夕 卜 'b为 o,凵 45° ,若

黯 驷

茧 +嚣

H爹

zm劢 ,则 m〓 莳〓

B,CD,PB,PC的 中点 ,则 多面体 7.设 正四棱锥 P-⒕ BCD的 体积为 1,E,F,C,H分 别是线段 ⒕ BEC-CJⅡ 的体积为

.

8.袋 内有 8个 白球和 2个 红球 ,每 次从中随机取出一个球 ,然 后放 回 1个 白球 ,则 第 4次 恰好
取完所有红球的概率为

10

全国高 中数 学联赛模拟题 (3)

二、 解答题 (本 大题共 3小 题 ,第 9题 16分 ,第
9.设 q,%,¨ ? ,G9013∈ [-2,2],且
值。

1O、

1I题 zO分 ,共 “ 分 )
试求r=诃 +沈 +… +碥 13的 最大

%+%+…

+ozOl3〓

0。

4u过 抛物线 C1上 一点 P(另 0伪 ×yO>2)作 10.给 定圆 C'+(yˉ 1)2〓 1和 抛物线 C1∥ 〓 PJrJv面 〃 Ⅳ 积的最小值及此时对应的‰ 的值 圆 C的 两条切线 ,分 别交 巧 轴于 、 两点 ,试 求 △
.

11.设 D为 正整数 ,求 证

:

1+D+葑 +… +丢 )手

全国高 中数 学联赛模拟题

全 国高 中数 学联赛模 拟题 (3)加 试
(考 试时间:150分 钟
学校

满分 :180分 ) 编号 得分

姓名

(本 题满分 硐 分 ) 一、

ABC的 垂心,Jfl、 Hz分 别是 Ⅱ到角 B的 内外角平分线的垂足 求证 :直 线 〃 设 H是 △ 1凡 平分
J/41C边



(本 题满分 硐 分 ) 二、
数 列 {彤 Π}满 足 :幻 〓 己,为 Ⅱ +1=⒛

-'+1(乃
为、

∈ N+).

证明:若 数列 {彤 Ⅱ }为 纯周期数列 ,则 它的最小正周期一定为奇数
.

12
(本 题满分 sO分 ) 三、 求所有整数对(而 ,乃 ),满 足

全国高中数学联赛模 拟题 (3)

Ι ‘

lJ。
:|∶ |∶ |∴



J(|i丨

(本 题 满 分 四、

sO分 )
:

假设他们能够安排 有 “ 对情侣出去玩 ,每 一位男生都有一辆机车 ,并 且都要负责载一位女生。 出一种载法 ,使得对于任两辆机车 ,下 面两命题恰有一成立 (1)这 两辆机车上的男生互相彼此认识 (2)这 两辆机车上的女生的男朋友互相彼此认识 ? 证 明 :一 定可以找到一对情侣 ,把 他们剔除后 ,剩 下的 “ 对情侣仍能够安排出一个满足上述条 件的载法。
;
.

全 国高中数 学联赛模拟题

全 国高 中数学联赛 模 拟题 (4)第 一 试
(考 试 时间 :BO分 钟
学校 姓名

满分 :120分 ) 编号 得分

一、 填 空 题 (本 大 题 共

8小 题 ,每小 题 8分 ,共 “

分)
:

1.将 1,2,…

,2ω 按以下两种方式填人 13×

zO的 方格表中

(1)第 一行从左到右依次填人 1,2,… ,13;第 二行从左到右依次填 人 14,15,… ,26;… ;最 后一 行从左到右依次填人 z8,z9,… ,2ω
,

(2)最 右列从上往下依次填人 1,2,… ,20;右 边第二列从上往下依次填 人 21,zz,… ,40;… ;最
左列从上往下依次填 人 彳 1,以 2,…
,260。

在两种填法 中被填在方格表的同一 格 中的数为

2.已 知函数rt跖 )〓
值范围是

'-‰

+3,若 当 1(艿 (2时

,不 等式 |rt多 )-c|(2J叵 成立 ,则 实数 c的 取




:,Afv〓 〃 =÷ ⒕ B、 AD的 三 等分点 ,其 中 Ⅱ Ⅳ分另 3.在 正四面体 ABCD中 ,〃 、 刂 为⒕

AD,@为

@与 〃Ⅳ所成角的正弦值为 △BCD的 中心 ,则 ⒕
4.在 △⒕ BC中 5.任 作 椭 圆

,已 知 2sin Bsin C=1+cos姓 ,2sin⒕ sin C〓 ∞sB,则 ∞s(⒕

-B)=

.

B,若 线 段 AB长 度 的最 +扣 =1的 一 条 切 线 与椭 圆两 条 对 称 轴 分 别 交 于 点 ⒕、

小值为 3乙 ,则 椭圆的离心率为

BC 6.设 EF是 边长为 2厅 的正 三 角形 ABC的 外 接 圆的一 条 动弦 ,其 长度为 2历 ,点 P为 △⒕
三边上的动点 ,则 面辶 亓 的最大值为

7.已 知非空集合 X∈ M〓 {1,2,… ,2013},用 /【 X)表 示集合 X中 最大数和最小数的和 ,则 所
有这样 的rrX)的 和为

8.满 足等式 彳 +弱 +… +弼 5=2+幻 饧 +饧 幻 +… +饧 4跖 犭 的非负整数解(艿 1,饧
组。



? ,笏 25)有 ~

14

全国高 中数 学联赛模拟题 (4)

二、 解 答题 (本 大题共

3小 题 ,第 9题 16分 ,第

10、

11题 zO分

“ 分)

),3为 互不相等的正实数 ,求 证 。 9.已 知 臼
/瓦

,共

J,+b “ 歹了 ≡ Ι -hb(2? 钅 Γ 石 号
(Ⅱ
n。

10。

已知椭圆 +/〓 1的 右焦点为 F,上 顶点为 肱 问 :是 否存在直线 J交 椭圆于 P,Q两 点 管
.

,

且使得 F是 △JfP0的 内心?若 存在 ,求 直线 J的 方程 ,若 不存在 ,请 说明理由

11.设 r为 正整数 ,定 义数列 {oⅡ }如 下

:

+2(而 +1)⒉ 乃 。 Ⅱ ,(乃 %〓 1,巴 涮 〓

〓 1`尸 ).

证明:对 任意正整数 乃 ,oⅡ 均为整数

.

i1 卜 。△ △



'~







全 国高中数 学联赛模拟题

全 国高 中数 学联赛模 拟题 (4)加 试
(考 试 时间 :150分 钟
学校 姓名

满分 :180分 )
编号

得分

(本 题满分 硐 分 ) 一、
设 D、 E、 F分 别为 △ABC的 三边 BC、 CA、 AB上 的 AEF、 △BFD、 △α刀 的内切 圆有相 同的半径 点 ,且 △ BC的 内切 圆半径分别为 %和 r, △,又 △DEF与 △⒕ 求证 :r〓
r。

+r1。

(本 题满分 硐 分 ) 二、 个不同的矩形。 求证 :它 们的4n个 直角中互不重合的直角个数不少于 4厉 个。 平面上任给 乃

16

全国高中数学联赛模拟题 (4)

(本 题满分 sO分 ) 三、
≥3,幻 已 知 自然 数 乃


2,…
(乃

,舀

为 非 负实数 ,记 ⒕〓 ∑ 筏 ,B=∑ 彳 ,C〓 ∑ 石 求 证 Ⅱ 〓 讠


1

j〓 1

:?

:

=1

+1)A2B+(乃 -2)B2≥ A4+(2乃 -2)⒕ ⒍

(本 题满分 sO分 ) 四、 ? 均与p互 素.若 对 品 〓 1,2,… 设 p为 奇素数 ,整 数 @I,己 2,Ω3,? ? %丬
,pˉ 2,均 有

耐+沈

+硝

≡ +硝 丬 0(mod +? …

p).

证明 :巴 1,o2,03,… %丬 除以 p的 余数互不相同。

全 国高中数 学联赛模拟题

17

全 国高 中数 学联赛模 拟题 (5)第 一试
(考 试 时间 :sO分 钟
学校 姓名

满分 :1zO分 )
编号

得分

一、 填空题 (本 大题共 8小 题 ,每 小题 8分 ,共 “ 分 ) 1.设 等差数列 o1,c2,…
,Cm(乃

>7)的 公差不为 0,且

c3,c4,CT,CⅡ

构成等比数列 ,则 它的项数

2.指 数 函数 y〓 c工 和对数 函数 y〓 logc艿 (其 中 色>0,色 ≠1)的 图象分别 为 C1和 C2,点 M在 曲
线
C【

上 ,线 段 o″ (@为 坐标原点 )交 曲线 Cl于 另一 点 Ⅳ,若 曲线 C2上 存在 一 点 P,满 足点

P的 横

坐标与点 ″ 的纵坐标相等 ,点

P的 纵坐标是点 Ⅳ横坐标的两倍 ,则 点 P的 坐标为

3.设 倒 圆锥形容器的轴截面为 一个等腰直角 三 角形 ,在 此容器 内注入水 ,并 放人半径 为 r的
一个实 心球 ,此 时球与容器壁及水面恰好都相切 ,则 取 出球后水面高为

4.已 知 函数 r【 艿 )=m(sin艿 +∞ s%)4+÷ Cos4艿

在 %∈

IO,詈 l时 有 最 大 值 手

实数 ,贝 刂

m=_∵

(0,c)作 椭圆的切线 J 5.已 知椭圆 C:扣 +扣 =1(c>3)0)的 左、 右焦点分别是 F1、 Fz,过 点 ⒕ 交 %轴 负半 轴于点 B,P是 点 F1关 于直线 J的 对称点 ,若 △PF1凡 是等腰 三 角形 ,则 椭 圆 C的 离 心
率为

醉白 洲

)(c 姗÷ 晡 卜

8.从 集合 {-10,-9,… ,-1,0,1,… ,9,10}中 任选 4个 不同的元素 ,考 虑这 4个 元素的两数
三数和、 四数和 ,这 11个 和中恰有两个和为 0的 概率为 和、

6 7

足 满 ∥

数 实 知 已 茈 ο 知 已

2跖





J

"






c

0

(

1一

c

1一

数 整 为

〓新 然 整 正 为







+

+ c





~

3

c

18

全国高 中数 学联赛模拟题 (5)

二、 解答题 (本 大题共 3小 题 ,第 9题 16分 ,第 IO、 11题 zO分 ,共 “ 分 ) 2+2汀 z+4c?wyˉ 2〃 ˉ -‰ +1≥ 0, 9.求 c的 取值范围,使 得对一切实数多 ,y,均 有2弼 尸

1的 右支交于 A,B两 点 (B在 £ 10.已 知过点 0(0,2)的 直线 J与 双曲线 C:'-∠ 〓 ,0之
间),已 知点 H(7,0),诩 0〓

^:Q,求 ^的

)o。 取值范围,使 得万⒈ 庇扌

%求 %的 取值范围,使 得对任意正整 11.已 知实数列 {o乃 }满 足 :oⅡ +1〓 /ˉ 3on,D〓 0,1,2,? ? 数尼 ,均 有 oⅡ 刊)GB?

?

全 国高 中数 学联赛模 拟题

19

全国高中数学联赛模拟题 (5)加 试
(考 试 时间 :150分 钟
学校 姓名

满分 :180分 )
编号 得分

(本 题满 分 硐 分 ) 一、
如图 ,P为 圆 ω外一 点 ,PA、 PB为 圆 ω 的两条切线 PCD为 圆 ω的一条割线 ,其 中 C在 线段 PD上 ,直 线 DE⊥ PD交 直线 点且 ^B于 求 证 :∠ BPE〓 2∠ PDB。
,

第一题图

(本 题满分 硐 分 ) 二、 和 b,使 得 求所有的正整数 已 巴}b2,3|o2且 o+1|32+1。

20

全国高 中数 学联赛模拟题 (5)

(本 题满 分 sO分 ) 三、
已知实系数方程 严 -弼

3+溺 2-EJJ+V〓 0有 四个非负实数根 (不 必不同
m +32v≥ 3m乃 。

),求 证

:

(本 题 满 分 四、

sO分 )

“ ” 圆周上取 n(>1)个 点 ,以 所取的两不同点为端点的圆弧称作 区间 (两 点可构成两个 区间 ). A是 B的 真子 B且 B≠ 设 F是 一族 区间 ,满 足 :对 每个 区间 A∈ F,至 多有一个 B∈ F使 得 ^(称 ^∈ m个 极大元 ,o .设 F有 F中 区间 ).称 F中 的一个 区间为极大 ,若 它不是 任一别的区间的真子 区间 个非极大元。 (1)求

乃 证 :m+号 ≤
;
.

(2)给 定 乃 3,求 |F|的 最大值 ≥



全国高 中数 学联赛模拟题

全国高中数学联赛模拟题 (6)第 一试
(考 试 时间 :BO分 钟 学校_____— —工—— _姓 名 满分 :1zO分 ) 编号 得分

一、 填空题(本 大题共 8小 题,每 小题 8分 ,共 “ 分)
1.已 知 乃 NⅡ ,且 庀 ∈ ≥3,若 一元二次方程 (乃
(p+乃 )2+51(P+乃 )的 值等于

~

-1)'-卩 +⒛ 〓 o的 两个根都是正整数 ,则

12

2.若 为 ∈(-π ,0),则 函数 y〓
3.在 长 方 体 ⒕ Bα卜 ⒕1B1C1D1中
中点 ,那 么四面体 B1EFC的 体积为
,⒕

的值域是
B〓 2,AA1=处 D〓 1,点
E、 F、

C分 别 为 棱

AAI、 CID1、

BC的

。 4。 已 上 对应点 别为P、 Q,且 知白 平面 分 ,z2在 复
所成 △@PQ的 面积等于

|z2|〓

4,匆:-2钩 饧+z:=0,则

P、

o与 原点 @。

5.已 知 △⒕ BC中 ,AB=2,Ⅱ C〓 1,∠ 引 C=120° ,C,是 △⒕BC的 夕卜 心 ,且Ao〓
+u〓 ⒍圳 耘 租 过 多的最大整数 侧
(£

B+u⒕ C,贝 刂
^姓

^

~丬 被 11鼬 余数是 乒与
sΔ d。 :的 最 小 值

7.已 知 处 B是 椭 圆 、




+于 〓1上 的两个 动点 ,o为 坐标 原点 ,且 α ⊥oB,则

? 巴 8.对 于 尼 ≥2,%,%,? ? n为 1,2,… ,D的 一个全排列 ,且 满足有且只有一个 j∈

乃-

",2,…
川 ,使 得 吼 >cj刊
9贝

刂 这种排列的个数为

全国高中数学联赛模拟题 (6)

二、 解答题 (本 大题共 3小 题 ,第 9题 16分 ,笫
22Ⅱ @Ⅱ .+n? 9.已 知数列{oⅡ }满 足@1〓 2,@、 〓

10、

11题 zO分 ,共 “ 分 )

2′ (乃

2),求 通项 oⅡ 。 ≥

10.已 知椭圆 Γ 的方程为



+扣 〓1(。 >3>0)离 心率 e〓

÷ ,F1是 椭圆

Γ 的左焦点 ,直 线 L

过点 以 -‰ ,0)交 椭圆 Γ 于 A、 B两 点 ,且 的方程
.

? 当 △ABF1的 面邴最大时 ,求 直线 J 南 扦 T+祜奸 T〓 斋

11.已 知正 :实 数 跖 ,y,z满 足

+zz〓 3,求

'+尸

〓 乙 +碍 于 +抒 。 a/J、 值 。 属云扣 扣
.

全国高 中数 学联赛模拟题

23

全国高中数学联赛模拟题 (6)加 试
(考 试时间:150分 钟
学校

满分 :180分 ) 编号 得分

姓名

(本 题 一、 满分硐 分 )

BD交 于点 E,对 边 DA、 CB延 长线交于点 F,C点 使 ^C和 D的 对称点 ,求 证 :D,Ⅱ ,F,G四 点共圆。 得 ECCD为 平行 四边形 ,Ⅱ 为 E关 于直线 ⒕
已知圆内接四边形 ABCD的 对角线

(本 题满分 40分 ) 二、 设 s〓
,2012}。
;

求满足下列条件的函数丘s→ s的 个数
l(乙

:

(1,r为",2,… 一一映射

(1≤ 巴 (2)对 任意正整数 色 zO12),均 有rf@)+厂 ≤

)〓 zO13,其

中厂

1为

r的 反函数。



全 国高 中数 学联 赛模拟题 (6)

(本 题满 分 50分 ) 三、 ⒕ BC的 三边长 ,R是 外接圆半径。 设 a,b,c是 锐角 △ 求证
:

肋 ? ≥ 舞轩丢

(本 题满 分 50分 ) 四、
证明 :存 在 c∈ P是 大于 3的 质数。 倍数。 ",2,…
,Pˉ

2},使 得 c′

ˉ 1-1与

(c+1)卩

ˉ l-1都

不是 尸 的

全国高 中数 学联赛模拟题

25

全 国高 中数 学联赛模拟 题 (7)第 一 试
(考 试 时间 :BO分 钟
学校

满分 △zO分 ) 编号 得分

姓名

一、 填空题(本 大题共 8小 题,每 小题 8分 ,共 “ 分)
1.已 知 2÷
)艿

° ∈(0,1)成 立 ,则 实数 c的 取值范围是 对任意 艿
,且 AB>CD。

2.在 等腰梯形 ABCD中 ,^B∥ ∞
为 q,以
C、

B为 焦点且过点 D的 双曲线的离心率 、 设以 姓

D为 焦点且过点 A的 椭圆的离心率为 饧,贝刂 臼 %〓
满足 〓 ÷
,贝

.
%的 最小值为

3.已 知正实数 %,%/…

,c、

芭 爿讠

刂 垂

.

4.已 知

sin2(艿

+于

2(跖

)-cⅡ

-于

)〓 ÷

且 另∈ (于 ,于 ’
)?

则 妇弼 的 值 为

5.如 果复数 |z|〓 2,且
'〓

+3的 最大值为 o+沉 ,其 中c,b为 实数,则 已
,

oB的 面积为 “ 6.四 棱锥 P-ABCD的 底 面 ABCD是 凸四边形 ,⒕ C,BD相 交 于 @,若 △殂
△COD的 面积为 “ ,四 棱锥的高为 9,则 这样的四棱锥的体积最小值是 。

J,C,M=y,点 7.平 面直角坐标系中 ,^、 B为 两个与原点 0不 重合 的点 ,AB中 点为 ″,若 劢 〓
oB1为 __ B关 于 oA所 在直线的对称点为 B1,贝 刂

.(用

J与 y表 示

)。

— — — — — 8.求 值:饪 △
JI=1

∑(/lO+历 ∑(/lO~历

)

)

全 国高 中数 学联 赛模拟题 (7)

二、 解 答题 (本 大题共

3小 题 ,第 9题 16分 ,第

10、

11题 zO分 ,共 “ 分 )

9.设 A〓

{1,2,…

,10}/是 ⒕到 ⒕上的一一映射 ,记 £(跖 )〓 rt艿 )Jq+1(石 )〓 r【 几(苈 )).
;

映射r又 满足条件 (1)对 一切 多 ⒕ ∈ ,rf艿 )≠ 彤 (2)对 一切 刃 ⒕ ∈ ,尼 1(另 )〓 纭
:

试问 :满 足上述条件的映射F有 多少个?

(0,1)的 直线 J与 抛物线 C∥ 〓 仙 交于两个不同的点 ″ 和 Ⅳ 10.已 知过点 ⒕ ,抛 物线 C在 点 ″,Ⅳ 处的切线的交点为 P,求 点 P的 轨迹。

? ? 任何 自然数 m和 乃 11.设 有无穷数列 @1,c2,? ? ,满 足不等式 ,cΠ `对 h耐 r-ˉ
9?

cm-%k宀

证明 :这 个数列是等差数列。

全国高 中数 学联赛模拟题

27

全国高中数学联赛模拟题 (7)加 试
(考 试时间:150分钟 姓名

满分 :180分 )
编号 得分

(本 题满 分 硐 分 ) 一、

ADC=2∠ ABC。 证 明 :顶 点 B到 ∠HDC外 角平 ABC中 ,AB〓 jC,点 D在 三角形内,使 得 ∠ 在△ 分线的距离等于 mD+DC的 一半
.

(本 题满分 们 分 )? 二、

P为 奇质数 ,证 明:pv+1的 任一正约数模 J,p余 1.

zB
(本 题满 分 三、

全国高 中数 学联赛模拟题 (7)

sO分 )

4)中 由格线段组成的一条不 自交闭合路线经过所有 (m~1)(乃 -1)个 内部格 m× 而 表 (m,乃 ≥

设 A是 该路线直穿而过的格点个数 ,B是 恰有一对对边属于该路线的方格 点但不过任何边界格点。 个数 ,C是 四边都不属于该路线的方格个数.求 证 :A〓 B-C+m+D-1。

(本 题满分 sO分 ) 四、
,y,z,均 有 的最大值 ,使 得对于任意正实数 男 求实数 尼 引 (男 -y)(yˉ z)(z-多 )|.



'+'+z3-3ryz≥

全 国高中数 学联赛模 拟题

29

全 国高 中数 学联赛模 拟题 (8)第 一 试
(考 试 时间 :BO分 钟
学校 姓名

满分 :1z0分 ) 编号 得分

一、 填空题 (本 大题共 8小 题 ,每 小题 8分 ,共 “ 分 )
1.已 知正项等比数列 {己 Ⅱ }满 足 c9=‰
的最小值为
+2c5?

若存在两项 Gm,G厄 使得 历mcⅡ =4%,则 夸 +÷

2.从 1,2,… ,2000中 随机抽取一个整数 ,抽 到的数能被 6整 除 ,但 不能被 4或 9整 除的概率


3.已 知

'是

AABC的

内 Jb,Ⅱ C=2,BC〓 3,Ⅱ B=4。 若 劢 〓跖劢

+y⒕ c,则
,贝

冗 +y〓

4.设 rt跖 )〓 够 -‰ 3,已 知对一切为 ∈ )|≤ [0,1],恒 有 |灭 艿

1。

刂 实数 c的 取值范围为

(-1,0),B(1,0),过 J点 B的 直线 J与 1(@,乙 >0)的 两个焦点分别为 ⒕ 5.已 知双曲线 -扣 〓 扣
AMⅣ 是以 Ⅳ为直角顶点的等腰直角三角形 ,则 该双曲线的实 该双曲线的右支交于 ″,Ⅳ 两点 ,且 △ 轴长为

6.设 复数 钩〓-3-厅 i,饧 〓厅 +i,z〓 厅sin J+i(厅 c。 se+2)。 则 |z-勹 |+|z-饧


|的 最小值

.
7.已 知直线
J⊥

BC的 三边 分别为 BC〓 ,垂 足为 @,三 角形 姓 平面 α
B、

1,⒕ C〓

2,AB=厅 。 若

BC满 足 姓∈ J,C∈ α △⒕ ,则

o两 点距离的最大值为
,

8.集 合 ⒕={2,4,… ,2014},B是 集合 处的任意非空子集 ,%、 %是 集合 B中 的任意两个元素
则集合 B中 元素个数的最大值为 以 %、 %为 边长的等腰 三角形有且只有一个。

全国高 中数 学联赛模拟题 (8)

二、 解答题 (本 大题共 3小 题 ,第 9题 16分 ,第 9.已 知数列 {@″ }满 足 cl〓 ? 正整数 尼 ,都 有 o刃 +r〓 色 、
1,@2乃

10、

11题 zO分 ,共 “ 分 )

〓 JJn9o4n~1〓

0,c。 Ⅱ +1〓

1,求 证 :不 存在正整数 r,使 得对任意

zpr(P>0)交 于 A,B两 点 ,过 A,B的 圆与抛物线 E 10.设 直线 J:y〓 厅石 +乙 与抛物线 E矿 〓 CD的 夹角大小。 交于另外两个不同的点 C,D,求 直线 AB与

11。

已知 0<钩 <1(j〓 0,1,…

,10)。

证明:存 在 jJ∈ {0,1,… ,10},使 得

o<筏

)(击 凡 巧ˉ
(勹

全国高 中数 学联赛模拟题

全国高中数学联赛模拟题 (8)加 试
(考 试 时间 :150分 钟
学校 姓名

满分 :180分 ) 编号
得分

(本 题满分 硐 分 ) 一、
已知 P,0,R分 别 为 三 角形 ABC三 边 BC,CA,AB ω J,ω c分 别为三角形 上的点。 叼 的外 ^,ω ^QR,BRP,α P与 圆 ω :,ω c的 另一个交点分别为 X, 接圆。 线段 姓
^,ω
y,z。

求证 :笼 =篝

第一题 图

(本 题满 分 硐 分 ) 二、
对于正整数 乃 ,定 义集合 sⅡ 〓{C;,C‰ (mod乃 )的 完全剩余系。
,C乳 ,… ,C:2}?

,使 得 s刀 不是 求证 :存 在无穷多个合数 尼

32

全国高 中数 学联赛模拟题 (8)

(本 题满分 ⒛ 分 ) 三、

? 2,正 实数 q,c9,? ? ≥ 已 知正整数 乃 ,c2Ⅱ 满足 元素丿 个不同 ,】 使得 |%ˉ 巴 l|<宀

o氵

).求 证:存 在 %+:〓 1(1≤ j≤ 乃

,2训

两 的

",2,…

(本 题 满分 sO分 ) 四、
圆周上有 zs∞ 个点 ,将 这些点任意编号为 1~2scxl。 求证 :从 这些点中必可连出 1∞ 条两两不相 交的弦 ,使 得每条弦两端点处的两数之和彼此相等。

全国高 中数 学联赛模拟题

33

全 国高 中数 学联赛模拟 题 (9)第 一 试
(考 试 时间 :BO分 钟
学校

满分 :120分 ) 编号 得分

姓名

一、 填空题 (本 大题共 8小 题 ,每 小题 8分 ,共 “ 分 ) 1.在 锐角三角形 ABC中

C的 取值范围是 ,边 BC〓 2,B〓 2A,则 边 姓
,且

2.设 向量耐 绕点 @逆 时针旋转 得向量瓦 号

2耐 +瓦 〓(7,9),贝 响

量瓦 〓 ~.

3.一 个两条边长分别为 1和 2的 矩形在平面 α内的射影为菱形 ,则 矩形与平面 α所成锐 二
面角 e的 最小值为

4.已 知实数 %,y满 足

2-4〓 o矿 -3/-9yˉ 9〓 0.则 另 -y〓

'-⒍

5.已 知定义在 R上 的偶 函数 丑 彤 ≤1时 J(“ )〓 2 )的 图像关 于直线 刃〓1对 称 ,且 当 0≤ 艿
1-西
2。

/′

+° 与曲线 y=r【 笏 )恰 有三个交点 ,则 实数 巴的取值范围为 若直线 y〓 另

.

6.设 正数 c,乙 ,c满 足 3c3+zb3+⒍ 3=6,则 za+33+c的 最大值为
7.某 食品厂制作 了四种不同的精美卡片 ,在 该厂生产的每袋食品中都随机装人 一张卡片 ,规
若小明一次性购买该种食品 6袋 ,则 小 明获奖的 定 :如 果收集齐了四种不同的卡片即可获得奖品。 概率为

.
,

4的 距离之和等于 5,对 于给定的点 B(乙 8.已 知曲线 C上 任意一点到点 A(1,0)与 直线 为〓
o),在 曲线上恰有三对不 同的点关于点 B对 称 ,则 3的 取值范围为

全 国高中数 学联 赛模 拟题 (9)

二、 解答题 (本 大题共 ⒐ 设 幻九

3小 题 ,第 9题 16分 ,第
孥 #∴ 撤 列 阮

10、

11题 zO分 ,共 “ 分 )

扪 d圮 +黄

}脱 项公式



设 幻圹



≥㈥ ,且 幻 为 乃匀 跌 狃 尼

+冖

…+d,将



,诺 7、

中最大 的数记为 s。

(1)令

yl〓 1+苈 1+饧

+…

(尼 〓 1,2,… +为 Ι

,尼

),求 证

:为

+饧 +¨ ∥n≥

÷

;

? (2)对 于给定的正整数 乃 取最小值时 ,彤 1,石 2,? ? ,‰ 的值 ,求 s的 最小值 ,并 求出 乃

.

11.设 抛物线 C1∥

(m>0)的 准线与 彤 轴交于点 Fl,焦 点为 凡 ,以 =4Ⅱ Ⅱ

F1和 F9为 焦点 ,离
,

心率 e〓 ÷ 的椭圆 G在 彤 轴上方的交点为 P,延 长 P凡 交抛物线于点 0,Jr是 抛物线 Cl上 一动点

PQ面 积的最大 且点 ″ 在 P与 Q之 间运动 ,当 △PF1Fz的 边长恰好是三个连续的自然数时 ,求 △″ 值。

全国高 中数 学联赛模拟题

35

全国高中数学联赛模拟题 (9)加 试
(考 试 时间 :150分 钟
学校

满分 :180分 ) 编号 得分

姓名

(本 题满分 硐 分 ) 一、

o交 BC于 D,P为 A关 于点 D的 对称点 ,若 BC的 外心,射 线 ⒕ 已知 0为 不等边锐角三角形 ⒕
PB〓 ∠ ∠⒕

^PC,求

tan Btan C的 值

.

(本 题满 分 们 分 ) 二、
从 (1,1) 对有限数列的一步操作是同时在每两个相邻项之间插入等于它们之和的一个新项。 开始 ,第 一个数列 (1,2,1),第 二个数列 (1,3,2,3,1),等 等。 试求第 乃 个数列各项的立方和。

全国高 中数 学联赛模拟题 (9)

(本 题满分 ∞ 分 ) 三、 设 m,乃 为正整数 ,集 合 s〓 {1,2,… ,D}中 恰有 而个素数.求 证 :s的 任一 m+1元 子集中必有 一个数是另外 m个 数的乘积的因数
.

(本 题满 分 四、

m分

)

给定整数 D≥ 2,实 数 幻鸬

? ? 满足 ,Ξ Ⅱ 〓 +硝 〓 1. +男 Ⅱ 0,为 :+旄 +… ? h+饧 +¨ ?
,?

?

∈{1,2,… ,乃 },定 义 sn=∑ 娩(若 A为 空集 ,则 定义 sA〓 0)。 Ⅱ 对于任意集合 ⒕
B∈

^

证 明 :对 于任意正实数 ? ? 有刃 ,另 1,多 2,? `和

^,满

足 sn≥ 九的集合 Ⅱ的个数不超过



乒,并 确定使得等号成 立 的所

^。

全 国高中数 学联赛模拟题

37

全 国高 中数学联赛模 拟题 (10)第 一 试
(考 试 时间 :BO分 钟
学校

满分 :120分 ) 编号 得分

姓名

一、 填空题(本 大题共 8小 题 ,每 小题 8分 ,共 “ 分)
1?

(艿 ,y)= ,y)〓 /9'+4+/9`-12锣 +H,9r2+1+〃 /-16y+⒛ 取最小值时,对 应的 只为

2.设 s〓

{(“

,y)|-2≤ y≤

|另

2},则 当(笏 ,y)∈ s,且 使得二次方程 ′+(|川 ≤ |,-2≤ 艿

-1)哆

+|y|-2=0的 一个根大于 1,一 个根小于 1的 概率为



3J已 知正三棱锥 P-^BC底 面正三角形的边长为 2厅 ,内 切球半径为 历 -1,则 三棱锥体积为

4.若 实数 @,b,c满 足 @+3+c〓

?
不同数列的个数为

'+'+',贝

c+3+c的 最大值为 刂


@l|〓 1,品

6.数 列{色 乃 }共 有 11项 ,满 足Gl〓 0,%1〓 4,且 |ol"ˉ

〓 1,2,…

,10。

满足这些条件的

.
FE十 巧广厂廾瓦Γ
〓 1和 矛亻钎≡;+Γ 廾 =F〓
J〓 1有 公共的焦点坝刂

⒎ 设两个椭圆

__

8.设 P,g是 两个不同的素数 ,则 /ˉ l+/J被 pg除 的余数为

.

全国高 中数 学联赛模拟题 (10)

二、 解 答题 (本 大题共

3小 题 ,第 9题 16分 ,第

10、

11题 zO分 ,共 “ 分 )

⒐ 若函数灭θ 爿 泸-引 +譬 ,当 己的值
.

zcl¨丬盹

暾 只0晒 大值-ia小 酡 差岵

,淋

10.已 知点 E(m,乃 )为 抛物线 /=zPz(P>0)内 一定点 ,过 E作 斜率分别为 尼 1,品 2的 两条直线 交抛物线于 ⒕ ,B,C,D,且 Jf,Ⅳ 分别是线段 AB,CD的 中点。 〓 -1时 ,求 △E乃 仰 的面积的最小值 (1)当 乃 0且 乃 1? 12〓 (2)若 凡 0,^为 常数 ),证 明 :直 线 MJV过 定点。 1+12〓
;

^(^≠

〓 1,对 每个 乃 N,已 4n+Ⅱ ‰ +2,色 辊 ∈ +3构 成等差数列 ,其 公差为 2,而 ? . o4″ +3,c4″ +4,%尼 +5构 成等差数列 ,其 公差为 ÷ 证明 :数 列 {Ω Π }为 有界数列 ,并 求其最小上界。

11.数 列 {cJ定 义如下

:J,【

全国高 中数 学联赛模拟题

39

全 国高 中数 学联赛模 拟题 (10)加 试
(考 试 时间 :150分 钟
学校

满分 :180分 ) 编号

姓名

__得



(本 题满 分 硐 分 ) 一、
D、 BC、 CD的 中点 ,S为 平面上一点。 证 已知 ABCD为 圆 0内 接 四边形 ,E、 F、 C、 H分 别为 AB、 ∠ 明 :∠ oFs〓 ∠@“ 的充要条件为 ∠@Es〓 ∠oHs。

(本 题满分 硐 分 ) 二、 ? ? 口 果存在 m个 整数 31,D2,? ? ,D而 女 ,@m(m≥ 1)为 n的 所有正因子。 对任意正整数 乃 ,记 c1,cz,? °
使 得 乃 =∑
J〓
1 9

(-1)妩 %,我 们 则 称

乃为 一 个

“ ” 好数
. .

证明 :存 在一个恰有 zO13个 不同质因子的好数



全国高 中数 学联赛模拟题 (10)

(本 题满分 sO分 ) 三、
,y∈ R均 有 求所有函数r:Rˉ R,,使 得对一切 巧 y)〓 +y)+r【 彤 男 )+(” ,r【 r【 彤 /)+(y+1,r【 舀 r【

+1,r【

y)。

(本 题满 分 四、

sO分 )

≤101及 1≤ y≤ 101当 中选出一些格点 ,限 制条件是选出的格 在所有的格点 (刃 ,y),其 中 1≤ 艿 轴或 y轴 平行的等腰梯形 (长 方形也算做一个等腰梯形 ), 点之中没有任何 4点 构成一个底边与 厉 请问最多可以选出多少个格点?


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