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高考专题训练十二等差数列、等比数列、数列的综合应用


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高考专题训练十二等差数列、等比数列、数列的综合应用
班级______ 姓名_______ 时间:45 分钟 分值:75 分 总得分______

一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小 题给出的四个选项中,选出符合题目要求的

一项填在答题卡上. 1.(2011· 上海)设{an}是各项为正数的无穷数列,Ai 是边长为 ai, ai+1 的矩形的面积(i=1,2, ?). 则{An}为等比数列的充要条件是( A.{an}是等比数列 B.a1,a3,?,a2n-1,?或 a2,a4,?,a2n,?是等比数列 C.a1,a3,?,a2n-1,?或 a2,a4,?,a2n,?均是等比数列 D.a1,a3,?,a2n-1,?或 a2,a4,?,a2n,?均是等比数列, 且公比相同 解析:依题意有 Ai=aiai+1 ∴An=anan+1,∴An+1=an+1an+2 An+1 {An}为等比数列? A =q(q>0),q 为常数 n An+1 an+1an+2 an+2 ∵ A = = a =q. anan+1 n n ∴a1,a3,a5?a2n+1?和 a2,a4?a2n?都成等比数列且公比相同. 答案:D 2.如果等差数列{an}中 a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+?+a7= ( ) A.14 C.28 D.35 B.21 )

解析:本小题主要考查等差数列的性质,前 n 项和的求法以及 转化的数学思想.
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由等差数列的性质知,a3+a4+a5=3a4=12?a4=4,故 a1+a2 +a3+?+a7=(a1+a7)+(a2+a6)+(a3+a5)+a4=7a4=28. 答案:C 3. 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, a1=1, 9=45, 若 S 则数列{an} 的公差为( A.-1 C.2 1 D. 2 9×8 d 2 ) B.1

解析:记等差数列{an}的公差为 d,依题意得,S9=9a1+ =9+36d=45,解得 d=1,选 B. 答案:B 4. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 2=4, 10=110, a S 则 的最小值为( A.7 C.8 ) 15 B. 2 17 D. 2

Sn+64 an

解析:设等差数列{an}的公差为 d,则 a1+d=4,10a1+ 110,∴a1=d=2,于是 an=2n,Sn=n2+n, ∴

10×9 d= 2

Sn+64 1 ? 64? 1 1 17 = ?n+ n ? + ≥8 + = ( 当 且 仅 当 n = 8 时 取 an 2? 2 2 2 ?

“=”),选 D. 答案:D

1 5.已知数列{an}的通项公式为 an=2n+1.令 bn=n(a1+a2+?+
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an),则数列{bn}的前 10 项和 T10=( A.70 C.80 B.75 D.85

)

解析:因为 an=2n+1,所以数列{an}是个等差数列,其首项 a1 =3,其前 n 项和 Sn=a1+a2+?+an= n?a1+an? n?3+2n+1? = =n2 2 2

1 1 +2n,所以 bn=n×Sn=n×(n2+2n)=n+2,故数列{bn}也是一个等 差数列,其首项为 b1=3,公差为 d=1,所以其前 10 项和 T10=10b1 10×9 + d=10×3+45=75,故选 B. 2 答案:B 6.(2011· 湖北省部分重点中学高三联考)a1、a2、a3、a4 是各项不 为零的等差数列且公差 d≠0,若将此数列删去某一项得到的数列(按 a1 原来的顺序)是等比数列,则 d 的值为( A.-4 或 1 C.4 B.1 )

D.4 或-1

解析:若删去 a1,则 a2a4=a2,即(a1+d)(a1+3d)=(a1+2d)2,化 3
2 简得 d=0,不合题意;若删去 a2,则 a1a4=a3,即

a1 a1(a1+3d)=(a1+2d)2,化简可得 d =-4;若删去 a3,则 a1a4= a1 2 2 a2,即 a1(a1+3d)=(a1+d)2,化简可得 d =1;若删去 a4,则 a1a3=a2, 即 a1(a1+2d)=(a1+d)2,化简可得 d=0,不符合题意.故选 A. 答案:A 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案 填在题中横线上.
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7.(2011· 陕西)植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树, 每人植一棵,相邻两棵树相距 10 米.开始时需将树苗集中放置在某 一树坑旁边, 使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路 程总和最小,这个最小值为________米. 解析:设放在第 x 个坑旁边,由题意得 S=20[(x-1)+(x-2)+?+1+1+0+1+2+?+(20-x)]
??1+x-1??x-1? ?1+20-x??20-x?? ? =20? + 2 2 ? ?

=20(x2-21x+210) 由 S′=20(2x-21)=0,得 x=10.5, 知 x=10 或 11 时,S 最小值为 2000. 答案:2000 8.(2011· 广东)等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1 =1,ak+a4=0,则 k=________. 解析:由 S9=S4 及 a1=1,得 9+36d=4+6d, 1 d=- . 6 由 ak+a4=0 得 2a1+(k+2)d=0. ∴2- k+2 =0,k=10. 6

答案:10 9.(2011· 湖南)设 Sn 是等差数列{an}(n∈N*)的前 n 项和,且 a1= 1,a4=7,则 S5=________. 解析:∵a1=1,a4=1+3d=7,∴d=2, ∴S5=5a1+ 答案:25
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5×4 d=5+10×2=25. 2

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10.(2011· 湖北)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的 竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面 4 节的容积共 3 升,下 面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为________升. 解析:令最上面一节为 a1
?a1+a2+a3+a4=3 ?4a1+6d=3 ? ? 则? ,? ? ? ?a7+a8+a9=4 ?3a1+21d=4

?a1=13 ? 22 ,? 7 ?d=66 ?

.

∴a5=a1+4d= 答案: 67 66

67 . 66

三、解答题:本大题共 2 小题,共 25 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 11. 分)(2011· (12 课标)等比数列{an}的各项均为正数, 2a1+3a2 且 =1,a2=9a2a6. 3 (1)求数列{an}的通项公式;
?1? (2)设 bn=log3a1+log3a2+?+log3an,求数列?b ?的前 n 项和. ? n?
2 解:(1)设数列{an}的公比为 q.由 a2=9a2a6 得 a2=9a4 ,所以 q2 3 3

1 = . 9 1 由条件可知 q>0,故 q= . 3 1 由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1,所以 a1= . 3

1 故数列{an}的通项公式为 an= n. 3
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(2)bn=log3a1+log3a2+?+log3an =-(1+2+?+n) =- n?n+1? . 2

?1 1 ? 1 2 故b =- =-2?n-n+1?, n?n+1? ? ? n ?1 1 ?? ?? 1? ?1 1? 1 1 1 + +?+ b =-2 ??1-2? + ?2-3? +?+?n-n+1?? =- b1 b2 ?? ? ? ? ? ?? n

2n . n+1
?1? 2n 所以数列?b ?的前 n 项和为- . ? n? n+1

12.(13 分)(2011· 安徽)在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n+2 个数构成递增的等比数列,将这 n+2 个数的乘积记作 Tn,再 令 an=lgTn,n≥1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=tanan· n+1,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. tana 解:(1)设 t1,t2,?,tn+2 构成等比数列,其中 t1=1,tn+2=100, 则 Tn=t1· · tn+1· +2, t2 ?· tn Tn=tn+2· +1· 2· , tn ?t t1 ①×②并利用 titn+3-i=t1tn+2=102(1≤i≤n+2),得
2 Tn=(t1tn+2)· 2tn+1)· (tn+1t2)· n+2t1)=102(n+2). (t ?· (t

① ②

∴an=lgTn=n+2,n≥1.

(2)由题意及(1)中计算结果,知 bn=tan(n+2)· tan(n+3),n≥1.
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另一方面,利用 tan1=tan[(k+1)-k]= 得 tan(k+1)· tank=
n k= 1 n+ 2 n+ 2 k= 3

tan?k+1?-tank , 1+tan?k+1?· tank

tan?k+1?-tank -1. tan1

所以 Sn=? bk=? tan(k+1)· tank
?tan?k+1?-tank ? =? ? -1? tan1 ? k= 3 ?



tan?n+3?-tan3 -n. tan1

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