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第9节 函数模型及其应用


第9节 课时训练 【选题明细表】 知识点、方法

函数模型及其应用 练题感 提知能

题号 1、3、9、11 4、12 2、8、13 5、6、7、10

一次函数、二次函数模型 分段函数模型 指数函数模型 其他问题

一、选择题 1. 某电信公司推出两种手机收费方式:A 种方式是月租 20 元,B 种

方式是 月租 0 元.一个月的本地网内通话时间 t(分钟)与电话费 s(元)的函数 关系如图所示,当通话 150 分钟时,这两种方式电话费相差( A )

(A)10 元 (B)20 元 (C)30 元 (D) 元 解析:依题意可设 sA(t)=20+kt,sB(t)=mt, 又 sA(100)=sB(100), ∴100k+20=100m, 得 k-m=-0.2,

于是 sA(150)-sB(150)=20+150k-150m =20+150×(-0.2)=-10, 即两种方式电话费相差 10 元,选 A. 2.在一次数学试验中,采集到如下一组数据: x y -2 0.24 -1 0.51 0 1 1 2.02 2 3.98 3 8.02

则下列函数与 x,y 的函数关系最接近的是(其中 a,b 为待定系 数)( B ) (B)y=a+bx (D)y=a+

(A)y=a+bx (C)y=ax2+b

解析:由数据知 x,y 之间的函数关系近似为指数型,故选 B. 3.(2013 汕头模拟)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运, 据市场分析每辆客车营运的总利润 y(单位:10 万元)与营运年数 x(x ∈N*)为二次函数关系(如图所示),则每辆客车营运多少年时,其营运 的平均利润最大( C )

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 解析:由题图可知,营运总利润 y=-(x-6)2+11, 则营运的年平均利润 =-x- +12=-(x+ )+12.

∵x∈N*,∴ ≤-2

+12=2,

当且仅当 x= ,即 x=5 时取“=”,故选 C. 4.国家规定某行业征税如下:年收入在 280 万元及以下的税率为 p%, 超过 280 万元的部分按(p+2)%征税,有一公司的实际缴税比例为 (p+0.25)%,则该公司的年收入是( (A)560 万元 (B)420 万元 (C)350 万元 (D)320 万元 解析:设该公司的年收入为 x,纳税额为 y, 则由题意,得 y= 依题意有, =(p+0.25)%. D )

解之得 x=320(万元).故选 D. 5.(2013 东莞调研)物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某 部门为尽快实现稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方 案均能在规定的时间 T 内完成预测的运输任务 Q0,各种方案的运输总 量 Q 与时间 t 的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位 时间的运输量)逐步提高的是( B )

解析:由题知运输效率即 ,即相当于图象上的点(t,Q)与原点连线的 斜率,即连线斜率逐步提高.由题知选项 A、 C 逐步减小,选项 D 先减小, 再增大,选项 B 为逐步提高,故选 B. 6.(2013 北京海淀区质检)某车间分批生产某种产品,每批的生产准 备费用为 800 元.若每批生产 x 件,则平均仓储时间为 天,且每件产品 每天的仓储费用为 1 元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储 费用之和最小,每批应生产产品( B )

(A)60 件 (B)80 件 (C)100 件 (D)120 件 解析:若每批生产 x 件产品,则每件产品的生产准备费用是 ,仓储费 用是 ,总的费用是 + ≥2 故选 B. 二、填空题 7.某工厂采用高科技改革,在两年内产值的月增长率都是 a,则这两 年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率 为 . =20,当且仅当 = 时取等号,即 x=80.

解析:不妨设第一年 8 月份的产值为 b,则 9 月份的产值为 b(1+a),10 月份的产值为 b(1+a)2,依次类推,第二年 8 月份的产值是 b(1+a)12.又 由增长率的概念知,这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产 值的增长率为 答案:(1+a)12-1 =(1+a)12-1.

8.一个容器装有细沙 a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地 匀速漏出,t min 后剩余的细沙量为 y=ae-bt(cm3),经过 8 min 后发现容 器内还有一半的沙子,则再经过 时的八分之一. 解析:依题意有 a·e-b×8= a, ∴b= , min,容器中的沙子只有开始

∴y=a· 若容器中只有开始时的八分之一, 则有 a· 解得 t=24, 所以再经过的时间为 24-8=16 min. 答案:16 9.(2013 济宁模拟)某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数 关系式是 y=3000+20x-0.1x2,x∈(0,240).若每台产品的售价为 25 万 元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是 台. 解析:依题意有 25x≥3000+20x-0.1x2, 即 x2+50x-30000≥0, 解得 x≥150 或 x≤-200(舍去). 答案:150 = a.

10.某商家一月份至五月份累计销售额达 3860 万元,预测六月份销售 额为 500 万元,七月份销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月 份递增 x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月 份至十月份销售总额至少达 7000 万元,则 x 的最小值是 .

解析:七月份的销售额为 500(1+x%),八月份的销售额为 500(1+x%)2, 则一月份到十月份的销售总额是 3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%) 2], 根据题意有 3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%) 2]≥7000, 即 25(1+x%)+25(1+x%)2≥66, 令 t=1+x%, 则 25t2+25t-66≥0, 解得 t≥ 或 t≤- (舍去), 故 1+x%≥ , 解得 x≥20.故 x 的最小值为 20. 答案:20 11.(2013 银川模拟)某电脑公司 2013 年的各项经营收入中,经营电脑 配件的收入为 400 万元,占全年经营总收入的 40%.该公司预计 2015 年经营总收入要达到 1690 万元,且计划从 2013 年到 2015 年,每年经 营总收入的年增长率相同,2014 年预计经营总收入为 元. 万

解析:设增长率为 x, 则有 ×(1+x)2=1690,1+x= , × =1300(万元).

因此 2014 年预计经营总收入为 答案:1300 三、解答题

12.设某旅游景点每天的固定成本为 500 元,门票每张为 30 元,变动成 本与购票进入旅游景点的人数的算术平方根成正比.一天购票人数为 25 时,该旅游景点收支平衡;一天购票人数超过 100 时,该旅游景点需 另交保险费 200 元.设每天的购票人数为 x,盈利额为 y 元. (1)求 y 与 x 之间的函数关系; (2)该旅游景点希望在人数达到 20 人时就不出现亏损,若用提高门票 价格的措施,则每张门票至少要多少元(取整数)? (参考数据: ≈1.41, ≈1.73, ≈2.24) 解:(1)根据题意,当购票人数不多于 100 时, 可设 y 与 x 之间的函数关系为 y=30x-500-k (k 为常数,k∈R 且 k≠0). ∵人数为 25 时,该旅游景点收支平衡, ∴30×25-500-k 解得 k=50. ∴y= (2)设每张门票价格提高为 m 元,根据题意, =0,

得 m×20-50

-500≥0,

∴m≥25+5 ≈36.2, 故每张门票最少要 37 元. 13.一片森林原来面积为 a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的 百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是 10 年,为保护生态 环境,森林面积至少要保留原面积的 . (1)求每年砍伐面积的百分比; (2)最多能砍伐多少年? 解:(1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0<x<1). 则 a(1-x)10= a, 即(1-x)10= , 解得 x=1-( ) . (2)设最多能砍伐 n 年. 由题得 a{1-[1-( ) ]}n≥ a. 即( ) ≥ . 所以 n≤20. 即最多能砍伐 20 年.


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