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抛物线


类型一:求抛物线的标准方程
1.求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程:

(1)过点

; 上

(2)焦点在直线 :

【变式 1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程。 (1)焦点为 F(3,0);

(2)准线为



(3)焦点到原点的距离为 2; (4)过点(3,-4) ; (5)焦点在直线 x+3y+15=0 上。 【变式 2 】已知抛物线关于 y 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点 ,求它的标准方程。

类型二:抛物线的性质
2.求下列抛物线的焦点坐标及准线方程。

(1)y2=6x; (2)

; (3)y2=-x;

【变式 1】求下列抛物线的焦点坐标及准线方程。 (1)x2=5y; (2)y=ax2(a≠0); (3)y=4x2-8x-7 【变式 2】已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,抛物线上一点 M(m,-3)到 焦点的距离为 5,求 m 的值、抛物线的方程和准线方程。

类型三:抛物线的定义及其应用
3.已知抛物线的焦点为(3,3) ,准线为 x 轴,求抛物线的方程。 【变式 1】抛物线 y2=-4mx(m>0)的焦点为 F,准线为 ,则 m 表示( ) A.F 到 的距离 B.F 到 y 轴的距离

C.F 点的横坐标

D.F 到 的距离的

【变式 2】抛物线 y=4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( )

A.

B.

C.

D.0

【变式 3】)求顶点为(-1,2),焦点为(1,2)的抛物线方程; 4.抛物线 y2=8x 的焦点为 F,A(4,-2)为一定点,在抛物线上找一点 M, 使| MA|+| MF|为最小,求 M 点的坐标。 【变式】若点 A 的坐标为(3,2) ,F 为抛物线 y2=2x 的焦点,点 P 是抛物线上一动 点,求|PA|+|PF|取得小值时点 P 的坐标。

5.若动圆 圆心 的轨迹方程.

与定圆

:

相外切,且与直线

相切,求动圆

【变式 1】平面上动点 P 到定点 F(1,0)的距离比 P 到 y 轴的距离大 1,求动点 P 的轨迹方程。 【变式 2】若点 P 到定点 F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1,求点 P 的 轨迹方程。

【变式 3】如图,直线 到 的距离与到

于点

,点

,以

为端点的曲线段 ,

上的任一点 ,

的距离相等 . 若

为锐角三角形, 的方程.

.建立适当的坐标系,求曲线段

【变式 1】(1)已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,P 是抛物线上的一点,求证:以线 段 PF 为直径的圆与 y 轴相切。 (2)求证:以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。

【变式 2】抛物线以 y 轴为准线,且过点 M(a,b)(a≠0),证明:不论 M 点在坐标平面 内的位置如何变化,抛物线顶点的轨迹的离心率是定值。

【变式 3】过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线与抛物线相交于 P(x1,y1)、Q(x2,y2) 两点,求证:

(1)

; (2)

为定值。


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