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桐梓二中高三文科数学高考模拟试卷


桐梓二中 2016 届高三理科数学第一次月考试卷

一、选择题(本大题共 12 小题。每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 ) 1.设复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2i ,则 z 的共轭复数 z ? ( A. ? 1 ? i B. ? 1 ? i C. 1 ? i ) D. 1 ? i

r />2.已知集合 A ? x | x ? 3 ,B ? x | y ? lg ? x ? 1? ,则集合 A ? B 为( A. 0,3?

?

?

?

?



?

B. 1,3?

?

C. ?1,3?

D. ? ?3,1

?

3. “ x ? 0 ”是“ ln(x ? 1) ? 0 ”的( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 4. 设 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

Sn

为等差数列

{an }

的前 n 项和, 若

a1 ? 1 , S ? Sn ? 36 , 公差 d ? 2 , n?2 则n ? (
D. 8



A. 5

B. 6

C. 7

5.已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位: cm )可得这 个几何体的体积是( )

2

2 主视图 1 1 2 俯视图

2 侧视图

4 3 cm A. 3

8 3 cm B. 3

C. 3cm

3

D. 4cm

3

6.函数 f ? x ? ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |? 的是(
1

?
2

) 的图象如下图所示,则下列说法正确



y
5? 6

? O 6

x

试卷第 1 页,总 14 页

A.对称轴方程为 x ? B. ? ? ?

?
3

? 2 k? ( k ? Z )

?
6

C.最小正周期是 ? D. f ? x ? 在区间 (?

3? 5? , ? ) 上单调递减 2 6


7.执行如图所示的算法,则输出的结果是(

A.1

B.

4 3

C.

5 4

D.2

?x ? 1 ? 8、已知 a >0, x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 , 若 z ? 2x ? + 3y y 的最小值是 1,则 a = ? y ? a ( x ? 3) ?
( ) (B)

1 (A) 4

1 2

(C)1

(D)2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? | AB ? AC | ? | AB ? AC | ,AB ? 2 ,AC ? 1 ,E ,F 为 BC 的三等分点, ? ABC 9. 在 中, ??? ? ??? ? AE ? AF ?( ) 则
8 A. 9
10.已知 a ? A. ?

10 B. 9

25 C. 9
9

26 D. 9


?

?

2 0

1 ? ? 2 x 1? ? ? sin ? ?dx ,则 ? ax ? ? 展开式中, x 的一次项系数为( 2 2? 2ax ? ? ?
B.

63 16

63 16

C. ?

63 8

D.

63 8

试卷第 2 页,总 14 页

11.若定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? f ' ( x) ? 1, f (0) ? 4 ,则不等式 ( e 为自然对数的底数)的解集为( A. (0,??) ) C. (??, 0) ? (0, ??) )

f ( x) ?

3 ?1 ex

B. (??, 0) ? (3, ??)
2

D. (3, ??)

12.由曲线 y ? x , y ?

x 围成的封闭图形的面积为(

1 A. 6

1 B. 3

2 C. 3

D.1

第 II 卷(非选择题)
I 二、填空题(每题 5 分,共计 20 分) 13.已知 sinα+2cosα=0,则 2sinαcosα-cos2α 的值是______________.

1 a5 ? { a } a ? 2 4 ,则 a1a2 ? a2a3 ????? an an?1 ? _______. 14.数列 n 是等比数列,若 2 ,
x y ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 15.若直线 l : a b 经过点 (1, 2) ,则直线 l 在 x 轴和 y 轴的截距之和的
最小值是_______. 16.在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,若 BC ? AC , ?A ?

?
3

, AC ? 4 , M 为 AA1 中点,

点 P 为 BM 中点, Q 在线段 CA1 上,且 A1Q ? 3QC ,则异面直线 PQ 与 AC 所成角的正弦 值
B1 C1 M P Q B C A


A1

三、解答题(第 17、18、19、20、21 各题为 12 分) 17 . (本小题满 分 12 分)在 ?ABC 中, 角 A , B , C 所对的边分别 为 a , b , c , 且 c sin B ? b cosC? 3 . (1)求 b;

试卷第 3 页,总 14 页

(2)若 ?ABC 的面积为

21 ,求 c. 2

18. (本小题满分 12 分)如图,四棱锥 S ? ABCD 的底面是正方形, SD ? 平面 ABCD ,

SD ? AD ? a ,点 E 是 SD 上的点,且 DE ? ?a(0 ? ? ? 1) .
S E D A B

C

(1)求证:对任意的 ? ? (0,1] ,都有 AC ? BE ; (2)若二面角 C ? BE ? A 的大小为 120 ,求实数 ? 的值.
?

19. (本小题满分 12 分) 某学校举行联欢会,所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖.甲、 乙、丙三名老师都有“获奖” 、 “待定” 、 “淘汰”三类票各一张.每个节目投票时,甲、乙、 丙三名老师必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为

1 ,且三人投 3

票相互没有影响. 若投票结果中至少有两张 “获奖” 票, 则决定该节目最终获一等奖; 否则, 该节目不能获一等奖. (1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率; (2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和 X 的分布列及数学期望. 1.如图,椭圆 E :

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 A(0, ?1) ,且离心率为 . 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ) 经过点 (1,1) , 且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同两点 P, Q(均异于点 A ) , 证明: 直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2.

试卷第 4 页,总 14 页

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 2e? x 。 (Ⅰ)求 f ( x ) 的极小值和极大值; (Ⅱ)当曲线 y ? f ( x) 的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围。 选做题(只选做一题) 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲

C ,D 是圆 O 上的两个点,CE ? AB 于 E ,BD 交 AC 如图所示, 已知 AB 为圆 O 的直径, 于 G ,交 CE 于 F , CF ? FG .
C D G A O F E B

(1)求证: C 是劣弧 BD 的中点; (2)求证: BF ? FG . 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 4 cos? ( ? 为参数) ,直线 l 经过点 ? y ? 4 sin ?

P(1,2) ,倾斜角 ? ?

? . 6

(1)写出圆 C 的标准方程和直线 l 的参数方程; (2)设直线 l 与圆 C 相交于 A , B 两点,求 | PA | ? | PB | 的值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2x ? 1 ? x ? 4 . (1)解不等式 f ( x) ? 0 ; (2)若 f ( x) ? 3 | x ? 4 |? m 对一切实数 x 均成立,求实数

试卷第 5 页,总 14 页

参考答案 选择题参考答案 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 D 5 B 6 D 7 A 8 B 9 B 10 A 11 A 12 B

填空题答案 13、-1

32 (1 ? 4? n ) 14、 3

15、 3 ? 2 2

16、

2 39 13

选择题详细答案 1.B. 【解析】 试题分析:由题意得: z ?

2i 2i(1 ? i) ? ? ?1 ? i ,∴共轭复数 z ? ?1 ? i . 1 ? i (1 ? i)(1 ? i)

考点:1.复数的计算;2.共轭复数的概念. 2.C 【解析】 试题分析:因为 A ? ?x | ?3 ? x ? 3?,B ? ?x | x ? 1 ? ,所以 A ? B = ?1,3? . 考点:集合的交集运算. 3.B. 【解析】 试题分析:∵ ln(x ? 1) ? 0 ? ?1 ? x ? 0 ,∴“ x ? 0 ”是“ ln(x ? 1) ? 0 ”的必要不充分 条件. 考点:1.对数的性质;2.充分必要条件. 4.D. 【解析】 试 题 分 析 : 由
?1









an ? 2n ? 1





Sn?2 ?

S 3 n ? 6

? ? 2 an

? an3

6?

2? n

3. ?n 2?

1 ? n3? 6

?

8?

考点:等差数列的通项公式. 5.B. 【解析】 试题分析:分析题意可知,该几何体为一四棱锥,∴体积 V ? 考点:空间几何体的体积计算. 6.D 【解析】
试卷第 6 页,总 14 页

1 1 8 Sh ? ? 2 2 ? 2 ? . 3 3 3

试题分析:由题意可知 A ? 1, T ?

2?

? 5? ? ? ? 2? ? ? ?? ? 1 ,所以最小正周期为 2? ,故排 ? ? 6 6?

除 C;将点 ? ? 令

? ? ? ? ? , 0 ? 代入函数解析式,可得 ? ? ,故排除 B,所以 f ? x ? ? sin( x ? ) , 6 6 ? 6 ?

?
2

? 2 k? ? x ?

?
6

?

(?

3? 5? , ? ) 上单调递减.故选 D. 2 6

3? ? 4? ? 2k? ? ? 2k? ? x ? ? 2k ? 2 3 3

, 故

f ? x? 在 区 间

考点:函数 f ? x ? ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质. 7.A 【解析】 试题分析: s ? 0, n ? 2;

3 ?1 4 4 ? , S ? 0 ? log 2 ; 3 3 3 5 4 5 5 n ? 4, M ? , S ? log 2 ? log 2 ? log 2 ; 4 3 4 3 6 5 6 n ? 5, M ? , S ? log 2 ? log 2 ? log 2 2 ? 1? Q; 5 3 5 输出 s ? 1 ;故选 A. n ? 3, M ?
考点:程序框图、对数的运算. . 8.B . 9.B. 【解析】 试题分析:∵ | AB ? AC |?| AB ? AC | ,∴ AB ? AC ? 0 ,即 AB ? AC ,∴如下图,建立 平 面 直 角 坐 标 系 , ∵ AB ? 2 , AC ? 1 , ∴ E () , F () , ∴ E ( , ) , F ( , ) , ∴

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

????

??? ? ??? ? 10 AE ? AF ? 9

2 2 3 3

4 1 3 3

试卷第 7 页,总 14 页

. 考点:平面向量的数量积. 10.A 【解析】 试题分析: a ?

?

?

2 0

1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? cos x ? dx ? ? ? sin x ? 2 ? ? sin ?? ? sin 0 ? ? ? ,所以 2 2 ? 2 2 ? 2 ? ? 2 ?0 ?

?

1 ? ? ? ax ? ? ? 2ax ? ?
9 9? r r ? 1 ?9?r ? 1 ?r 1? 1? r ? 1 r? 其 通 项 公 式 为 : ? x ? T ? C ? x ? ? C ? ? ?1? x9?2r , 由 r ?1 9 ? ? ? ? ? ? ? ? 9? 2 ? ? x ? x? ? 2 ? 2?

9

1? 63 4 9 ? 2r ? 1即: r ? 4 ,得到的一次项系数为: C ? ? ? ? ? ?1? ? ? ,所以答案为 A. 16 ? 2?
4 9

5

考点:1.二倍角公式;2.积分;3.二项式. 思想. 11.A. 【解析】 试 题 分 析 : 令

g ( x ? ex ) f x ? ex ? (
x ) ? f

,)



3 ( x (

g'

? (x x

) e ?

(f

x

( ? x

,∴ )在R ' x g( (x? e 上单调递增,又∵ ) )?e ?f

g (0) ? f (0) ? 4 ? 0 ,∴ g ( x) ? 0 ? x ? 0 ,即不等式的解是 (0, ??) .
考点:导数的运用. 12.B. 【解析】 试题分析:如图,可知所求面积 S ?

?

1

0

( x ? x 2 )dx ?

2 2 1 3 1 x ? x ? . 3 3 3

3

试卷第 8 页,总 14 页

考点:定积分计算曲边图形的面积. 填空题详细答案 13.-1 【解析】由已知可得,sinα=-2cosα,即 tanα=-2 2sinαcosα-cos2α=

2sin ? cos ? ? cos 2 ? 2 tan ? ? 1 ?4 ? 1 ? ? ? ?1 sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1 4 ? 1

32 (1 ? 4? n ) 14. 3 .
【解析】 试题分析:由题意得 q 3 ?

1 a5 1 1 ? ? q ? ,∴ an ? a2 ? q n ? 2 ? ( ) n ?3 , 2 a2 8 2

n ?3 n?2 ? ( ) 2 n ?5 , ∴ an an ?1 ? ( ) ? ( ) ∴数列 {an an?1} 是以 8 为首项, 为公差的等比数列,

1 2

1 2

1 2

1 4

1 ) 4n ? 32 (1 ? 4? n ) . ∴ a1a2 ? a2 a3 ? ???? an an?1 ? 1 3 1? 4 考点:等比数列的通项公式及其前 n 项和. 8(1 ?
15. 3 ? 2 2 . 【解析】 试题分析:由题意得

1 2 1 2 2a b ? ? 1 ,∴截距之和为 a ? b ? (a ? b)( ? ) ? 3 ? ? a b a b b a

? 3? 2

2a b 2a b ? ? 3 ? 2 2 ,当且仅当 ? ,即 b ? 2a 时,等号成立,即 a ? b 的最小 b a b a

值为 3 ? 2 2 . 考点:1 直线的方程;2.基本不等式. 16.

2 39 . 13
1 AB ? 4 , 2

【解析】

PD ? 试题分析: 如图, 过 P 作 PD / / AB 交 AA1 于 D , 连 DQ , ∴ D 为 AM 中点,
又∵

AQ A1 D 3 ? 3 ? ? ,∴ DQ / / AC , ?PDQ ? , DQ ? AC ? 3 , 3 4 QC AD 4
试卷第 9 页,总 14 页



?PDQ





PQ ? 42 ? 32 ? 2 ? 4 ? 3 ? cos

?
3

? 13



cos?PQD ?

PQ2 ? QD2 ? PD 1 , ? 2PQ ? QD 13
2 39 . 13

2 ∴ sin ?PQD ? 1 ? cos ?PQD ?

. 考点:1.异面直线的夹角;2.余弦定理及其变式. 17. 17. (1) b ? 3 2 ; (2) c ? 5 . 【 试题解析: (Ⅰ)由正弦定理得 sin C sin B ? sin B cos C ,
0 又 sin B ? 0 ,所以 sin C ? cos C , C ? 45 .

因为 b cos C ? 3 ,所以 b ? 3 2 . (Ⅱ)因为 S ?

6分

1 21 ac sin B ? , c sin B ? 3 ,所以 a ? 7 . 2 2
12 分

2 2 2 据余弦定理可得 c ? a ? b ? 2ab cos C ? 25 ,所以 c ? 5 .

考点:正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函数值、三角形面积公式. . 18. (1)详见解析; (2) ? ? 1 . 试题解析: (1) 如图建立空间直角坐标系 O ? xyz , 则 A? a,0 ,0

? , B ? a, a,0? ,C ? 0, a,0? ,
3分

??? ? ??? ? D ? 0,0,0? , E ? 0,0, ?a ? , AC ? ? ?a, a,0? , BE ? ? ?a, ?a, ?a ? ,
∴ AC ? BE ? 0 对任意 ? ? ? 0,1? 都成立,即 AC ? BE 恒成立;

??? ? ??? ?

5分

(2)设平面 ABE 的一个法向量为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? ,∵ AB ? ? 0, a,0? , AE ? ? ?a,0, ?a ? ,
试卷第 10 页,总 14 页

??

??? ?

??? ?

?? ??? ? ? y1 ? 0 ? y ?0 ? n1 ? AB ? 0 ? ∴ ? ?? ??? , ?? ?? 1 ? ? ax ? ? az ? 0 x ? ? z ? 0 n ? AE ? 0 ? 1 1 ? 1 1 ? ? 1 ?? 取 z1 ? 1,则 x1 ? ? , n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? ? ? ? ,0,1? , 7分
设平面 BCE 的一个法向量为 n2 ? ? x2 , y2 , z2 ? ,∵ BC ? ? ?a,0,0? , CE ? ? 0, ?a, ?a ? ,

?? ?

??? ?

??? ?

?? ? ??? ? ? ?x ? 0 ?n2 ? BC ? 0 ? x2 ? 0 ?? ?? 2 ∴ ? ?? , 取 z2 ? 1 , 则 ? ??? ? ? ay ? ? az ? 0 y ? ? z ? 0 n ? CE ? 0 2 2 2 2 ? ? ? ? 2

y2 ? ? ,

?? ? n2 ? ? x2 , y2 , z2 ? ? ? 0, ?,1? ,

9 分 ∵二面角 C ? AE ? D 的大小为 120 ,
?

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 1 1 ∴ cos n1 , n2 ? ?? ?? ? , ? ? ? 0,1? ? ? ? 1 ,∴ ? ? 1 为所求. ? ? 2 2 n1 n2 1 ? ?

12 分

考点:1.空间中直线与直线的位置关系;2.二面角的计算. 19. (1)

7 ; (2) X 的分布列为 27

X

0
1 27

1
6 27

2
12 27

3
8 27

P

X 的数学期望为 E ( X ) ? 2 .
试题解析: (1)设某节目的投票结果是最终获一等奖这一事件为 A ,则事件 A 包括:该节 目可以获 2 张“获奖”票,或者获 3 张“获奖”票,∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一 张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为
2 2 3 3 ∴ P ( A) ? C3 ( ) ( ) ? C3 ( ) ?

1 ,且三人投票相互没有影响, 3

1 3

2 3

1 3

7 ; 27

6 分(2)所含“获奖”和“待定”票数之和 X

的值为

0 , 1 , 2 , 3 , P ( X ? 0) ? ( ) 3 ?

1 3

1 , 27

6 1 2 1 2 P( X ? 1) ? C3 ( )( ) ? , 3 3 27

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2 3 8 2 1 12 P ( X ? 2) ? C32 ( ) 2 ( ) ? , P ( X ? 3) ? ( ) ? , 3 27 3 3 27
因此 X 的分布列为

8分

X

0
1 27

1
6 27

2
12 27

3
8 27
12 分

P

∴ X 的数学期望为 E ( X ) ? 0 ?

1 6 12 8 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ?2, 27 27 27 27

(亦可 X 服从二项分布 B ( n, p ) 同样给分) (12 分) 考点:1.概率的计算;2.离散型随机变量的分布列与期望. 20. (Ⅰ) 【解析】 试题解析: (Ⅰ)由题意知

x2 ? y2 ? 1 ; (Ⅱ)证明见解析,详见解析. 2

c 2 ? , b ? 1 ,综合 a 2 ? b2 ? c2 ,解得 a ? 2 ,所以,椭圆 a 2

的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 2 x2 ? y 2 ? 1 ,得 2

(Ⅱ)由题设知,直线 PQ 的方程为 y ? k ( x ? 1) ? 1(k ? 2) ,代入

(1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k (k ? 1) x ? 2k (k ? 2) ? 0 ,
由已知 ? ? 0 ,设 P ? x1 y1 ? , Q ? x2 y2 ? , x1 x2 ? 0 则 x1 ? x2 ?

4k (k ? 1) 2k ( k ? 2) , x1 x2 ? , 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

从而直线 AP 与 AQ 的斜率之和

k AP ? k AQ ?

y1 ? 1 y2 ? 1 kx1 ? 2 ? k kx2 ? 2 ? k ? ? ? x1 x2 x1 x1 x1 ? x2 把①②式代入方程得 k AP ? kAQ ? 2 . x1 x2

k AP ? k AQ ? 2k ? (2 ? k )

21. 22. (1)详见解析; (2)详见解析. 【解析】 试题解析: (1)∵ CF ? FG ,∴ ?CGF ? ?FCG ,∵ AB 圆 O 的直径,
试卷第 12 页,总 14 页

∴ ?ACB ? ?ADB ?

?
2

,∵ CE ? AB ,∴ ?CEA ?

?
2



∵ ?CBA ?

?
2

? ?CAB , ?ACE ?

?
2

? ?CAB ,∴ ?CBA ? ?ACE ,

∵ ?CGF ? ?DGA , ?DGA ? ?ABC ,∴

?
2

? ?DGA ?
5分

?
2

? ?ABC ,

∴ ?CAB ? ?DAC ,∴ C 为劣弧 BD 的中点; (2)∵ ?GBC ?

?
2

? ?CGB , ?FCB ?

?
2

? ?GCF ,

∴ ?GBC ? ?FCB ,∴ CF ? FB ,∴ BF ? FG . 10 分 考点:1.圆周角定理及其推论;2.同(等)角的余角相等.

? 3 x ? 1? t ? ? 2 2 2 23. (1) 圆的标准方程为 x ? y ? 16 , 直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ; (2) ?y ? 2? 1 t ? ? 2

11. 【解析】
试题解析: (1)圆的标准方程为 x ? y ? 16 ,
2 2

2分

? ? 3 ? x ? 1 ? t cos x ? 1? t ? ? ? ? 6 2 直线 l 的参数方程为 ? ,即 ? ( t 为参数) ; ?y ? 2? 1 t ? y ? 2 ? t sin ? ? ? 6 ? ? 2 ? 3 x ? 1? t ? ? 2 ,代入 x2 ? y 2 ? 16 , (2)把直线的方程 ? ?y ? 2? 1 t ? ? 2
得 (1 ?

5分

3 2 1 t ) ? (2 ? t ) 2 ? 16 , t 2 ? ( 3 ? 2)t ?11 ? 0 , 2 2
10 分

8分

∴ t1t2 ? ?11,即 PA ? PB =11 .

考点:1.圆的参数方程化为普通方程;2.直线的参数方程及参数的几何意义. 24. (1) (??,?5) ? (1,??) ; (2) m ? 9 . 【解析】 试题解析: (1)当 x ? 4 时, f ( x) ? 2 x ? 1 ? ( x ? 4) ? x ? 5 ? 0 ,得 x ? ?5 ,∴ x ? 4 成

试卷第 13 页,总 14 页

立,当 ?

1 ? x ? 4 时, f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 4 ? 3x ? 3 ? 0 ,得 x ? 1 ,∴1 ? x ? 4 成立, 2

当x??

1 时, f ( x) ? ?2 x ? 1 ? ( x ? 4) ? ? x ? 5 ? 0 ,得 x ? ?5 ,∴ x ? ?5 成立, 2
5分

综上,原不等式的解集为 (??,?5) ? (1,??) ;

(2) f ( x) ? 3 x ? 4 ?| 2x ?1 | ?2 | x ? 4 |?| 2x ?1 ? (2x ? 8) |? 9 , 当x ? 4或x ? ? 成立, ∴m ? 9. 10 分 考点:1.绝对值不等式;2.分类讨论的数学思想.

1 时等号 2

试卷第 14 页,总 14 页


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