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安徽省蚌埠市2016届高考数学一模试卷 文(含解析)


2016 年安徽省蚌埠市高考数学一模试卷(文科)

一、本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1. =( ) C.1+i D.1﹣i )

A.﹣i B.i

2.若全集 U={0,1,2,4},且?UA={1,2},则集合 A=( A.{1,4} B.{0,4}

C.{2,4} D.{0,2} )

3.命题“? a∈R,函数 y=π ”是增函数的否定是(

A.“? a∈R,函数 y=π ”是减函数 B.“? a∈R,函数 y=π ”不是增函数 C.“? a∈R,函数 y=π ”不是增函数 4.若 a=ln2,b=5 D.“? a∈R,函数 y=π ”是减函数 )

,c=sin30°,则 a,b,c 的大小关系(

A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<b<a 5.在定义域内既是奇函数又是减函数的是( A.y= B.y=﹣x+ )

C.y=﹣x|x| D.y=

6. 要得到函数 象( ) 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 D.向右平移

的图象, 只需将函数

的图

A.向左平移 C.向左平移

个单位长度 个单位长度 )

7.已知 2a=3b=m,ab≠0 且 a,ab,b 成等差数列,则 m=( A. B. C. D.6 ,则 m=( )

8.圆锥曲线 A. B.6

+y2=1 的离心率为 C.﹣ D.﹣6

9.已知 AC⊥BC,AC=BC,D 满足

=t

+(1﹣t)

,若∠ACD=60°,则 t 的值为(



1

A.

B.



C.

﹣1

D. )

10.执行如图的程序框图,则输出的 s=(

A.

B.﹣

C.

D.﹣ )

11.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

A.

B.8

C.

D.16

12. 已知 x, y 满足 A.4+2 B.4﹣2

时, z= + (a≥b>0) 的最大值为 2, 则 a+b 的最小值为 ( C.9 D.8



二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.函数 f(x)=lg(x﹣1)+ 的定义域为 .

14.从 2 男和 2 女四个志愿者中,任意选择两人在星期一、星期二参加某公益活动,每天一 人,则星期一安排一名男志愿者、星期二安排一名女志愿者的概率为 .

15.过抛物线 C:y2=4x 的焦点 F 作直线 l 交抛物线 C 于 A,B,若|AF|=3|BF|,则 l 的斜率 是 .

2

16.已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,点 P 是线段 A1C1 上的动点,则四棱锥 P﹣ABCD 的外接球半径 R 的取值范围是 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知公比不等于 1 的等比数列{an},满足:a3=3,S3=9,其中 Sn 为数列{an}的前 n 项和. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=log2 ,若 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

18.在某学校进行的一次语文与历史成绩中,随机抽取了 25 位考生的成绩进行分析,25 位 考生的语文成绩已经统计在茎叶图中,历史成绩如下: (Ⅰ)请根据数据在茎叶图中完成历史成绩统计; (Ⅱ)请根据数据完成语文成绩的频数分布表及语文成绩的频率分布直方图;

语文成绩的频数分布表: 语文成绩分 [50,60) 组 频数 (Ⅲ)设上述样本中第 i 位考生的语文、历史成绩分别为 xi,yi(i=1,2,?,25).通过 对样本数据进行初步处理发现:语文、历史成绩具有线性相关关系,得到: = xi=86, = yi=64, (xi﹣ ) (yi﹣ )=4698, (xi﹣ )2=5524, [60,70) [70,80) [90,100) [100,110) [110,120]

≈0.85. ①求 y 关于 x 的线性回归方程; ②并据此预测,当某考生的语文成绩为 100 分时,该生历史成绩.(精确到 0.1 分) 附:回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
3

=

=



= ﹣



19. 如图, 已知 AF⊥平面 ABCD, 四边形 ABEF 为矩形, 四边形 ABCD 为直角梯形, ∠DAB=90°, AB∥CD,AD=AF=CD=2,AB=4. (I)求证:AC⊥平面 BCE; (II)求三棱锥 E﹣BCF 的体积.

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>0,b>0)的短轴长为 2

,且离心率 e= .

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 F1、F2 是椭圆的左、右焦点,过 F2 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点,求△F1PQ 面积 的最小值.

21.已知函数 f(x)=(ax2+x﹣1)ex,其中 e 是自然对数的底数,a∈R. (Ⅰ)若 a=1.求曲线 f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)若 a=﹣1,函数 f(x)的图象与函数 g(x)= x3+ x2+m 的图象有 3 个不同的交点, 求实数 m 的取值范围.

四、选考题(请考生从 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分) 选修 4-1:几何证明选讲 22.如图,⊙O 的半径为 6,线段 AB 与⊙相交于点 C、D,AC=4,∠BOD=∠A,OB 与⊙O 相交 于点.
4

(1)求 BD 长; (2)当 CE⊥OD 时,求证:AO=AD.

23. 极坐标与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位, 以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴. 曲 线 C1 的极坐标方程为 ρ ﹣2cosθ =0, 曲线 C1 的参数方程为 (Ⅰ)求 C1 的直角坐标方程和 C2 的普通方程; (Ⅱ)若 C2 与 C1 有两个不同的公共点,求 m 的取值范围. (t 是参数, m 是常数)

选修 4-5:不等式选讲 24.已知函数 f(x)=|x﹣10|+|x﹣20|,且满足 f(x)<10a+10(a∈R)的解集不是空集. (Ⅰ)求实数 a 的取值集合 A (Ⅱ)若 b∈A,a≠b,求证 a b >a b .
a b b a

5

2016 年安徽省蚌埠市高考数学一模试卷(文科) 参考答案与试题解析

一、本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1. =( ) C.1+i D.1﹣i

A.﹣i B.i

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】计算题;规律型;方程思想;数系的扩充和复数. 【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可. 【解答】解: 故选:B. 【点评】 本题考查复数的代数形式混合运算, 复数的除法的运算法则的应用, 考查计算能力. = = =i.

2.若全集 U={0,1,2,4},且?UA={1,2},则集合 A=( A.{1,4} B.{0,4} C.{2,4} D.{0,2}



【考点】补集及其运算. 【专题】计算题;集合思想;定义法;集合. 【分析】直接根据补集的定义求出即可. 【解答】解:全集 U={0,1,2,4},且?UA={1,2}, 则集合 A={0,4}, 故选:B. 【点评】此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键.

3.命题“? a∈R,函数 y=π ”是增函数的否定是(



A.“? a∈R,函数 y=π ”是减函数 B.“? a∈R,函数 y=π ”不是增函数 C.“? a∈R,函数 y=π ”不是增函数 【考点】命题的否定.
6

D.“? a∈R,函数 y=π ”是减函数

【专题】计算题;规律型;简易逻辑. 【分析】通过全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题“? a∈R,函数 y=π ”是增函 数的否定是:“? a∈R,函数 y=π ”不是增函数. 故选:C. 【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,是基础题.

4.若 a=ln2,b=5

,c=sin30°,则 a,b,c 的大小关系(



A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<b<a 【考点】对数值大小的比较. 【专题】计算题;函数思想;分析法;函数的性质及应用. 【分析】利用有理指数幂的化简求值及对数的运算性质比较三个数与 的大小得答案. 【解答】解:∵a=ln2 b=5 = = , < ,

c=sin30°= = ∴b<c<a. 故选:C.

【点评】本题考查对数值的大小比较,考查了对数的运算性质,考查了三角函数的值,是基 础题.

5.在定义域内既是奇函数又是减函数的是( A.y= B.y=﹣x+



C.y=﹣x|x| D.y= 【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】根据反比例函数在定义域上的单调性,减函数的定义,以及奇函数的定义,分段函 数单调性的判断方法便可判断每个选项的正误,从而找出正确选项.
7

【解答】解:A. B. 时,y=

在定义域内没有单调性,∴该选项错误; ,x=1 时,y=0;

∴该函数在定义域内不是减函数,∴该选项错误; C.y=﹣x|x|的定义域为 R,且﹣(﹣x)|﹣x|=x|x|=﹣(﹣x|x|); ∴该函数为奇函数; ; ∴该函数在[0,+∞),(﹣∞,0)上都是减函数,且﹣02=02; ∴该函数在定义域 R 上为减函数,∴该选项正确; D. ∵﹣0+1>﹣0﹣1; ∴该函数在定义域 R 上不是减函数,∴该选项错误. 故选:C. 【点评】考查反比例函数的单调性,奇函数的定义及判断方法,减函数的定义,以及分段函 数单调性的判断,二次函数的单调性. ;

6. 要得到函数 象( ) 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 D.向右平移

的图象, 只需将函数

的图

A.向左平移 C.向左平移

个单位长度 个单位长度

【考点】函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 【专题】计算题;三角函数的图像与性质. 【分析】把 化为 的图象向左平移 【解答】解: = ,故把 个单位,即得函数 y=cos2x 的图象. ,

8

故把

的图象向左平移 的图象,

个单位,即得函数

即得到函数 故选 C.

的图象.

【点评】本题考查诱导公式,以及 y=Asin(ω x+?)图象的变换,把两个函数化为同名函数 是解题的关键.

7.已知 2a=3b=m,ab≠0 且 a,ab,b 成等差数列,则 m=( A. B. C. D.6



【考点】等差数列的通项公式. 【专题】计算题;转化思想;构造法;函数的性质及应用;等差数列与等比数列. 【分析】易知 a=log2m,b=log3m,2ab=a+b,从而可得 logm2+logm3=logm6=2,从而解得. 【解答】解:∵2a=3b=m, ∴a=log2m,b=log3m, ∵a,ab,b 成等差数列, ∴2ab=a+b, ∵ab≠0, ∴ + =2, ∴ =logm2, =logm3,

∴logm2+logm3=logm6=2, 解得 m= 故选 C 【点评】本题考查了指数与对数的运算的应用及等差数列的性质应用. .

8.圆锥曲线 A. B.6

+y =1 的离心率为 C.﹣ D.﹣6

2

,则 m=(



【考点】双曲线的简单性质.

9

【专题】方程思想;分析法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由题意可得该曲线为双曲线,化为标准方程,求得 a,b,c,由离心率公式计算即 可得到所求值. 【解答】解:由题意可得双曲线 +y2=1,即为



=1,(m<0), ,c= = , ,

可得 a=1,b= 离心率 e= = 解得 m=﹣6. 故选:D.

【点评】本题考查双曲线的离心率的运用,注意化方程为标准方程,考查运算能力,属于基 础题.

9.已知 AC⊥BC,AC=BC,D 满足 A. B. ﹣ C.

=t ﹣1

+(1﹣t) D.

,若∠ACD=60°,则 t 的值为(



【考点】平面向量的基本定理及其意义. 【专题】计算题;数形结合;向量法;平面向量及应用. 【分析】根据条件可知点 D 在线段 AB 上,从而可作出图形,并过 D 分别作 AC,BC 的垂线 DE, DF, 可设 AC=BC=a, 从而可根据条件得到 CE=ta, CF= (1﹣t) a, 这样在 Rt△CDE 和 Rt△CDF 中,由余弦函数的定义即可得到 ,从而可解出 t 的值.

【解答】解:如图,根据题意知,D 在线段 AB 上,过 D 作 DE⊥AC,垂足为 E,作 DF⊥BC, 垂足为 F;

10

若设 AC=BC=a,则由 根据题意,∠ACD=60°,∠DCF=30°; ∴ ;

得,CE=ta,CF=(1﹣t)a;





解得 故选:A.



【点评】考查当满足

时,便说明 D,A,B 三点共线,以及向量加法

的平行四边形法则,平面向量基本定理,余弦函数的定义.

10.执行如图的程序框图,则输出的 s=(



A.

B.﹣

C.

D.﹣

【考点】程序框图. 【专题】计算题;图表型;函数思想;试验法;算法和程序框图. 【分析】解答算法框图的问题,要依次执行各个步骤,特别注意循环结构的终止条件,本题 中是 α >180°就终止循环, 可得 s=cos12°cos24°cos48°cos96°, 给原式的分子分母都 乘以 2 cos6°, 然后分子连续利用四次二倍角的正弦函数公式后再利用诱导公式把正弦化为 余弦,约分即可得解. 【解答】解:由题意,模拟执行程序,可得 α =12°,s=1 s=cos12°,α =24°
4

11

不满足条件 α >180°,s=cos12°cos24°,α =48°, 不满足条件 α >180°,s=cos12°cos24°cos48°,α =96°, 不满足条件 α >180°,s=cos12°cos24°cos48°cos96°,α =192°, 满足条件 α >180°,退出循环,输出 s=cos12°cos24°cos48°cos96°,α =192°, 由于 s=cos12°cos24°cos48°cos96° =﹣sin6°cos12°cos24°cos48° =﹣

=﹣

=﹣

=﹣ =﹣ =﹣ =﹣ .

故选:B. 【点评】本题主要考查了循环结构、流程图的识别、条件框等算法框图的应用,考查诱导公 式及二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用, 此题的突破点是分子变形后给分 子分母都乘以 16cos6°以至于造成了一系列的连锁反应,属于中档题.

11.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



12

A.

B.8

C.

D.16

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】几何体是三棱柱,再判断三棱柱的高及底面三角形的形状,把数据代入棱柱的体积 公式计算. 【解答】解:由三视图知:几何体是三棱柱,且三棱柱的高为 4, 底面是直角边长为 2 的等腰直角三角形, ∴几何体的体积 V= ×2×2×4=8. 故选:B. 【点评】 本题考查了由三视图求几何体的体积, 判断几何体的形状及数据所对应的几何量是 解答此类问题的关键.

12. 已知 x, y 满足 A.4+2 B.4﹣2

时, z= + (a≥b>0) 的最大值为 2, 则 a+b 的最小值为 ( C.9 D.8



【考点】简单线性规划. 【专题】计算题;对应思想;数形结合法;不等式. 【分析】由约束条件作出可行域,结合 z= + (a≥b>0)的最大值为 2 可得 利用基本不等式求最值. 【解答】解:由约束条件 作出可行域如图, ,然后

联立

,解得 A(2,6), , 过 A 时,直线在 y 轴上的截距最大,z 有最大值为 ,

化目标函数 z= + 为 由图可知,当直线 即 . )=4+

∴a+b=(a+b)(



13

当且仅当 故选:A.

,即

时取等号.

【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,训练了利用基本不等 式求最值,是中档题.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.函数 f(x)=lg(x﹣1)+ 【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】根据对数函数以及二次根式的性质求出函数的定义域即可. 【解答】解:由题意得: , 解得:1<x<2, 故答案为:(1,2) 【点评】本题考查了求函数的定义域问题,是一道基础题. 的定义域为 (1,2) .

14.从 2 男和 2 女四个志愿者中,任意选择两人在星期一、星期二参加某公益活动,每天一 人,则星期一安排一名男志愿者、星期二安排一名女志愿者的概率为 【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计. .

14

【分析】先求出基本事件总数,再求出星期一安排一名男志愿者、星期二安排一名女志愿者 包含的基本事件个数, 由此能求出星期一安排一名男志愿者、 星期二安排一名女志愿者的概 率. 【解答】解:从 2 男和 2 女四个志愿者中, 任意选择两人在星期一、星期二参加某公益活动,每天一人, 基本事件总数 n= =12, =4,

星期一安排一名男志愿者、星期二安排一名女志愿者包含的基本事件个数 m= ∴星期一安排一名男志愿者、星期二安排一名女志愿者的概率为 p= = 故答案为: . = .

【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公 式的合理运用.

15.过抛物线 C:y =4x 的焦点 F 作直线 l 交抛物线 C 于 A,B,若|AF|=3|BF|,则 l 的斜率 是 .

2

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标,设出直线 l 的方程,和抛物线方程联立,化 为关于 y 的一元二次方程后利用根与系数的关系得到 A,B 两点纵坐标的和与积,结合 |AF|=3|BF|,转化为关于直线斜率的方程求解. 【解答】解:∵抛物线 C 方程为 y2=4x,可得它的焦点为 F(1,0), ∴设直线 l 方程为 y=k(x﹣1), 由 ,消去 x 得 .

设 A(x1,y1),B(x2,y2), 可得 y1+y2= ,y1y2=﹣4①. ∵|AF|=3|BF|, ∴y1+3y2=0,可得 y1=﹣3y2,代入①得﹣2y2= ,且﹣3y22=﹣4, 消去 y2 得 k2=3,解之得 k=± .
15

故答案为:



【点评】本题考查了抛物线的简单性质,着重考查了舍而不求的解题思想方法,是中档题.

16.已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,点 P 是线段 A1C1 上的动点,则四棱锥 P﹣ABCD 的外接球半径 R 的取值范围是 【考点】球的体积和表面积. 【专题】计算题;球. 【分析】画出图形,设 P﹣ABCD 的外接球的球心为 G,说明 GP=GA=R,设 O1P=x,O1G=y,求 出 OG=1﹣y,推出 R =x +y ,然后推出 R 与 y 的函数关系,利用二次函数的值域求出 R 的范 围即可.
2 2 2



【解答】解:如图,

设 P﹣ABCD 的外接球的球心为 G,

∵A,B,C,D 在球面上,∴球心在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 上下底面中心连线 O1O 上,点 P 也 在球上, ∴GP=GA=R ∵棱长为 1,∴ ,设 O1P=x,O1G=y,

则 OG=1﹣y,在 Rt△GO1P 中,有 R2=x2+y2?①, 在 Rt△GOA 中, ∵ ,∴ ,∴ . ?②,将①代入②,得 , ,

于是 R 的最小值为 .R 的取值范围是: 故答案为: .

【点评】本题考查球与几何体的关系,二次函数的最值的求法,考查空间想象能力以及转化 思想的应用.

16

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知公比不等于 1 的等比数列{an},满足:a3=3,S3=9,其中 Sn 为数列{an}的前 n 项和. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=log2 ,若 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

【考点】数列的求和;等比数列的通项公式. 【专题】计算题;方程思想;待定系数法;综合法;函数的性质及应用;等差数列与等比数 列. 【分析】(Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,从而得方程 3(1+ + )=9,从而解得;

(Ⅱ)化简 a2n+3=3?

,从而可得 cn=

=

= ﹣

,从而求和.

【解答】解:(Ⅰ)设数列{an}的公比为 q, 则有 3(1+ + )=9,

解得,q=1(舍去)或 q=﹣ , 故 an=3?(﹣ )n﹣3; (Ⅱ)a2n+3=3? 故 bn=log2 故 cn= , =2n, = = ﹣ ,

故 Tn=1﹣ + ﹣ +?+ ﹣ =1﹣ = .

【点评】 本题考查了等比数列与等差数列的应用, 同时考查了对数运算的应用及裂项求和法 的应用.

18.在某学校进行的一次语文与历史成绩中,随机抽取了 25 位考生的成绩进行分析,25 位 考生的语文成绩已经统计在茎叶图中,历史成绩如下: (Ⅰ)请根据数据在茎叶图中完成历史成绩统计; (Ⅱ)请根据数据完成语文成绩的频数分布表及语文成绩的频率分布直方图;
17

语文成绩的频数分布表: 语文成绩分 [50,60) 组 频数 (Ⅲ)设上述样本中第 i 位考生的语文、历史成绩分别为 xi,yi(i=1,2,?,25).通过 对样本数据进行初步处理发现:语文、历史成绩具有线性相关关系,得到: = xi=86, = yi=64, (xi﹣ ) (yi﹣ )=4698, (xi﹣ ) =5524,
2

[60,70)

[70,80)

[90,100) [100,110) [110,120]

≈0.85. ①求 y 关于 x 的线性回归方程; ②并据此预测,当某考生的语文成绩为 100 分时,该生历史成绩.(精确到 0.1 分) 附:回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

=

=



= ﹣



【考点】线性回归方程. 【专题】应用题;对应思想;数学模型法;概率与统计. 【分析】(Ⅰ)根据题意,在茎叶图中完成历史成绩统计即可; (Ⅱ)根据数据完成语文成绩的频数分布表,填写语文成绩的频率分布直方图; (Ⅲ)由已知计算 、 ,写出线性回归方程,利用回归方程计算 x=100 时 的值即可.

【解答】解:(Ⅰ)根据题意,在茎叶图中完成历史成绩统计,如图所示;

18

(Ⅱ)根据数据完成语文成绩的频数分布表,如下; 语文成绩 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100)[100,110) [110,120] 分组 频数 1 2 3 7 6 5 1

填写语文成绩的频率分布直方图,如图所示:

(Ⅲ)由已知得

=0.85,

=64﹣0.85×86=﹣9.1, =0.85x﹣9.1;

所以 y 关于 x 的线性回归方程为 且当 x=100 时,得

=0.85×100﹣9.1=75.9≈76,

即当考生的语文成绩为 100 时,历史成绩为 76 分. 【点评】 本题考查了频率分布直方图的应用问题, 也考查了线性回归方程的计算与应用问题, 是基础题目.

19

19. 如图, 已知 AF⊥平面 ABCD, 四边形 ABEF 为矩形, 四边形 ABCD 为直角梯形, ∠DAB=90°, AB∥CD,AD=AF=CD=2,AB=4. (I)求证:AC⊥平面 BCE; (II)求三棱锥 E﹣BCF 的体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 【专题】综合题;空间位置关系与距离. 【分析】(I)过 C 作 CM⊥AB,垂足为 M,利用勾股定理证明 AC⊥BC,利用 EB⊥平面 ABCD, 证明 AC⊥EB,即可证明 AC⊥平面 BCE; (II)证明 CM⊥平面 ABEF,利用 VE﹣BCF=VC﹣BEF,即可求三棱锥 E﹣BCF 的体积. 【解答】(I)证明:过 C 作 CM⊥AB,垂足为 M, ∵AD⊥DC,∴四边形 ADCM 为矩形, ∴AM=MB=2, ∵AD=2,AB=4, ∴AC=2 ,CM=2,BC=2

∴AB2=AC2+BC2,即 AC⊥BC, ∵AF⊥平面 ABCD,AF∥BE, ∴EB⊥平面 ABCD, ∵AC? 平面 ABCD,∴AC⊥EB, ∵EB∩BC=B, ∴AC⊥平面 BCE; (II)解:∵AF⊥平面 ABCD, ∴AF⊥CM, ∴CM⊥AB,AB∩AF=A, ∴CM⊥平面 ABEF, ∴VE﹣BCF=VC﹣BEF= = = .

20

【点评】本题考查了线面垂直的判定,三棱锥体积的计算,解答的关键是正确运用线面垂直 的判定.

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>0,b>0)的短轴长为 2

,且离心率 e= .

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 F1、F2 是椭圆的左、右焦点,过 F2 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点,求△F1PQ 面积 的最小值.

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(Ⅰ)由椭圆的短轴长为 2 此能求出椭圆 C 的方程. (Ⅱ)设直线 PQ 的方程为 x=ty+1,代入 ,得(3t2+4)y2+6ty﹣9=0,由此利用韦 ,且离心率 e= ,列出方程组,求出 a=2,b=1,由

达定理、弦长公式、换元法、函数单调性,结合已知条件能求出△F1PQ 面积的最小值. 【解答】解:(Ⅰ)∵椭圆 C: + =1(a>0,b>0)的短轴长为 2 ,且离心率 e= ,

21



,解得 a=2,b=1,

∴椭圆 C 的方程是



(Ⅱ)设直线 PQ 的方程为 x=ty+1, 代入 ,得(3t +4)y +6ty﹣9=0,
2 2







设 P(x1,y1)<Q(x2,y2), 则 = =|y1﹣y2|=12? ,

令 u=

∈[1,+∞),





∵y=3

在[1,+∞)上是增函数, )min=3.

∴当 μ =1,即 t=0 时,( ∴△F1PQ 面积的最小值是 3.

【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查三角形面积的最小值的求法,是中档题,解题时要 认真审题,注意韦达定理、弦长公式、换元法、函数单调性的合理运用.

21.已知函数 f(x)=(ax2+x﹣1)ex,其中 e 是自然对数的底数,a∈R. (Ⅰ)若 a=1.求曲线 f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)若 a=﹣1,函数 f(x)的图象与函数 g(x)= x3+ x2+m 的图象有 3 个不同的交点, 求实数 m 的取值范围. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;函数零点的判定定理;利用导数研究函数的单 调性. 【专题】计算题;导数的综合应用.
22

【分析】(Ⅰ)求出导数,求出切线的斜率,切点,运用点斜式方程,即可得到; (Ⅱ)令 h(x)=f(x)﹣g(x),求出导数,求出单调区间,和极值,函数 f(x),g(x) 的图象有三个交点,即函数 h(x)有 3 个不同的零点,即有 h(﹣1)<0,且 h(0)>0, 解出即可. 【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=(x +x﹣1)e , ∴f′(x)=(2x+1)e +(x +x﹣1)e =(x +3x)e . ∴曲线 f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率 k=f′(1)=4e, ∵f(1)=e, ∴曲线 f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y﹣e=4e(x﹣1), 即 4ex﹣y﹣3e=0. (Ⅱ)令 h(x)=f(x)﹣g(x)=(﹣x2+x﹣1)ex﹣( x3+ x2+m) 则 h′(x)=(﹣2x+1)ex+(﹣x2+x﹣1)ex﹣(x2+x) =﹣(e +1)(x +x) 令 h′(x)>0 得﹣1<x<0,令 h′(x)<0 得 x>0 或 x<﹣1. ∴h(x)在 x=﹣1 处取得极小值 h(﹣1)=﹣ ﹣ ﹣m,在 x=0 处取得极大值 h(0)=﹣1 ﹣m, ∵函数 f(x),g(x)的图象有三个交点,即函数 h(x)有 3 个不同的零点, ∴ 即 ,
x 2 x 2 x 2 x 2 x

解得:﹣ ﹣ <m<﹣1. 【点评】本题考查导数的运用:求切线方程和求单调区间、极值和最值,考查构造函数,运 用导数求极值,考虑极值的正负来判断函数的零点,属于中档题.

四、选考题(请考生从 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分) 选修 4-1:几何证明选讲 22.如图,⊙O 的半径为 6,线段 AB 与⊙相交于点 C、D,AC=4,∠BOD=∠A,OB 与⊙O 相交 于点. (1)求 BD 长; (2)当 CE⊥OD 时,求证:AO=AD.
23

【考点】相似三角形的判定. 【专题】推理和证明. 【分析】(1)证明△OBD∽△AOC,通过比例关系求出 BD 即可. (2)通过三角形的两角和,求解角即可. 【解答】解:(1)∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,∴∠OAC=∠ODB. ∵∠BOD=∠A,∴△OBD∽△AOC.∴ ∵OC=OD=6,AC=4,∴ ,∴BD=9.? ,

(2)证明:∵OC=OE,CE⊥OD.∴∠COD=∠BOD=∠A. ∴∠AOD=180°﹣∠A﹣∠ODC=180°﹣∠COD﹣∠OCD=∠ADO. ∴AD=AO ?

【点评】本题考查三角形相似,角的求法,考查推理与证明,距离的求法.

23. 极坐标与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位, 以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴. 曲 线 C1 的极坐标方程为 ρ ﹣2cosθ =0, 曲线 C1 的参数方程为 (Ⅰ)求 C1 的直角坐标方程和 C2 的普通方程; (Ⅱ)若 C2 与 C1 有两个不同的公共点,求 m 的取值范围. 【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 【专题】计算题;方程思想;参数法;坐标系和参数方程. 【分析】(Ⅰ)由题意知 ρ ﹣2ρ cosθ =0,从而求得 x +y ﹣2x=0,消参可得 2x﹣y﹣2m﹣ 1=0; (Ⅱ)由直线与圆的位置关系判断求 m 的取值范围. 【解答】解:(Ⅰ)由 ρ ﹣2cosθ =0 得 C1:ρ 2﹣2ρ cosθ =0, 故 x2+y2﹣2x=0, 消去参数得 C2:2x﹣y﹣2m﹣1=0;
24
2 2 2

(t 是参数, m 是常数)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,C1 是圆,C2 是直线; x2+y2﹣2x=0 可化为(x﹣1)2+y2=1, 由题意知圆心到直线的距离小于圆的半径, 故 d= 解得, <1, <m< .

【点评】本题考查了极坐标方程与参数方程的应用,同时考查了参数法的应用.

选修 4-5:不等式选讲 24.已知函数 f(x)=|x﹣10|+|x﹣20|,且满足 f(x)<10a+10(a∈R)的解集不是空集. (Ⅰ)求实数 a 的取值集合 A (Ⅱ)若 b∈A,a≠b,求证 a b >a b . 【考点】不等式的证明;绝对值不等式的解法. 【专题】证明题;函数的性质及应用;不等式. 【分析】(1)根据绝对值三角不等式得|x﹣10|+|x﹣20|≥|(x﹣10)﹣(x﹣20)|=10, 求得最小值; (2)运用指数函数的性质,不妨设 a>b>0,则 a﹣b>0 且 >1,则 立. 【解答】解(1)要使不等式|x﹣10|+|x﹣20|<10a+10 的解集不是空集, 则(|x﹣10|+|x﹣20|)min<10a+10, 根据绝对值三角不等式得:|x﹣10|+|x﹣20|≥|(x﹣10)﹣(x﹣20)|=10, 即(|x﹣10|+|x﹣20|)min=10, 所以,10<10a+10,解得 a>0, 所以,实数 a 的取值集合为 A=(0,+∞); (2)∵a,b∈(0,+∞)且 a≠b, ∴不妨设 a>b>0,则 a﹣b>0 且 >1, >1 恒成
a b b a



>1 恒成立,即

>1,

所以,aa﹣b>ba﹣b,

25

将该不等式两边同时乘以 a b 得, aabb>abba,即证. 【点评】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用和不等式的证明,涉及指数函数的性质, 属于中档题.

b b

26


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