当前位置:首页 >> 数学 >>

广东省江门市普通高中2015届高三调研测试数学(理)试题


秘密★ 启用前

试卷类型:B

江门市 2015 届普通高中高三调研测试
数 学(理科)
参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

(a ? b) 3 ? a 3 ? 3a 2 b ? 3ab 2 ? b 3
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知 R 为实数集, A ? ?x | 2 x ? 3 ? 3x? , B ? ?x | x ? 2? ,则 A ? B ? A. ?x | x ? 2? 2. i 是虚数单位,则 ( A. 1 B. ?x | x ? ?3?
3 1 1 3 i ? )(? ? i) ? 2 2 2 2 1 3 B. ? ? i 2 2
1

C. ?x | 2 ? x ? 3?

D. R

C. ?

1 2

3 i 2

D. ? ?

1 2

3 i 2

3.已知三个实数: a ? 3 2 、 b ? ( ) 3 、 c ? log3 A. a ? b ? c B. a ? c ? b

1 2

1 ,它们之间的大小关系是 2

C. b ? c ? a

D. b ? a ? c

4.已知 a 是非零向量, b ? c ,则“ a ? b ? a ? c ”是“ a ? (b ? c ) ”成立的 A.充分非必要条件 C.非充分非必要条件 B.必要非充分条件 D.充要条件
3 2
正视图

5.如图 1,某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是 直角三角形、等腰三角形和半圆,则该几何体的体积 为 A. 4 C. 2?
0

4
侧视图

B. 8 D. 4?
图1
俯视图
0

6.在 ?ABC中, ?A 、 ?B 、 ?C 的对边分别为 a 、 b 、 c , 若 ?A ? 75 、 ?B ? 60 、 c ? 10 ,则 b ? A. 5 3 B. 5 6 C. 10 3 D. 10 6

7.在同一直角坐标系中,直线 A.直线经过圆心

x y ? ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 的位置关系是 3 4
C.相切 D.相离

B.相交但不经过圆心

8.已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? 1 ,若 f ( x) 存在唯一的零点 x 0 ,且 x0 ? 0 ,则常数 a 的 取值范围是
江门市 2015 届普通高中高三调研测试—理科数学 第 1 页 共 9 页

A. (?? , ? 2)

B. (?? , ? 1)

C. (1 , ? ? )

D. (2 , ? ?)

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.双曲线 9 x 2 ? 16 y 2 ? 144 的离心率 e ? . . 10.△ ABC 是等腰直角三角形,已知 A(1,1),B(1,3),AB⊥BC,点 C 在第一象限, 点 ( x, y ) 在△ ABC 内部或边界上,则 z ? 2 x ? y 的最大值是 直线 A1M 与 DN 所成角的大小是 12.若 f ( x ) ? ? . . 11.如图 2,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 CD、CC1 的中点,则异面

?? x ,

x?0

2 ?x ? 2x , x ? 0

,则 f ( x ) 的最小值是

13.已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? ?

1 1 , an ? 1 ? ( n ? 1 ),计算并 4 an ?1
图2

观察数列 ?a n ? 的前若干项,根据前若干项的变化规律推测,

a2015 ?



(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)

? x ? cos 2 ? 14.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C : ? ( ? 为参数),以坐标原点为 ? y ? sin ? cos ?
极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 则曲线 C 的极坐标方程为 .
D

15.(几何证明选讲选做题)如图, O 的直径 AB 与弦 CD 交于点 P ,

CP =

7 , PD = 5, AP = 1 ,则 ?DCB =____. 5

A C

O P

B

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin x(sin x ? cos x) , x ? R . (1)求 f ( x) 的最小正周期 T 和最大值 M ; (2)若 f (

?

? 1 ? ) ? ? ,求 cos? 的值. 2 8 3
江门市 2015 届普通高中高三调研测试—理科数学 第 2 页 共 9 页

17.(本小题满分 14 分) 已知 ?a n ? 是等差数列, a2 ? 3 , a3 (1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)对一切正整数 n ,设 bn ?
(?1) n n ,求数列 ?b n ? 的前 n 项和 S n . a n ? a n ?1

?5.

18.(本小题满分 14 分) 如图 3,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥ 底面 ABCD, PD=DC.E 是 PC 的中点,作 EF⊥ PB 交 PB 于点 F. (1)求证:PA//平面 EDB;
P

1 (2)求证:PF= PB; 3 (3)求二面角 C-PB-D 的大小.
D

F

E

C
B

A

图3

19.(本小题满分 12 分) 一艘船每小时的燃料费与船的速度的平 方 成正比, 如果此船速度是 10km/h, 那么 . . 每小时的燃料费是 80 元.已知船航行时其他费用为 500 元/时,在 100 km 航程中,航 速多少时船行驶总费用最少?此时总费用多少元?

江门市 2015 届普通高中高三调研测试—理科数学

第 3 页 共 9 页

20.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A、B 的坐标分别是 ( 0 , ? 3 ) 、 ( 0 , 3 ) ,直线 AM、 BM 相交于点 M,且它们的斜率之积是 ? (1)求点 M 的轨迹 L 方程; (2)若直线 l 经过点 P( 4 , 1 ) ,与轨迹 L 有且仅有一个公共点,求直线 l 的方程.

1 . 2

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? 1 ( a ?R 是常数). (1)设 a ? ?3 , x ? x1 、 x ? x2 是函数 y ? f ( x) 的极值点,试证明曲线 y ? f ( x) 关于点

M(

x1 ? x2 x ? x2 , f( 1 ) ) 对称; 2 2 (2)是否存在常数 a ,使得 ?x ? [ ? 1 , 5 ] ,| f ( x) |? 33 恒成立?若存在,求常数 a 的
(注:曲线 y ? f ( x) 关于点 M 对称是指,对于曲线 y ? f ( x) 上任意一点 P ,若点 P 关于 M 的对

值或取值范围;若不存在,请说明理由.
称点为 Q ,则 Q 在曲线 y ? f ( x) 上.)

江门市 2015 届普通高中高三调研测试—理科数学

第 4 页 共 9 页

江门市 2015 届普通高中高三调研测试参考答案及评分参考
一、选择题 BDAD CBBA 二、填空题 5 ⒐ ⒑ 3 4 三、解答题
? 2



⒓ ?1

⒔ 5

⒕ ? ?co? s
? 4

⒖ 45

⒗解:⑴ f ( x) ? sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ……2 分,? 2 sin(2 x ? ) ? 1 ………………………4 分 最小正周期 T ?
2? ? ? ……5 分,最大值 M ? 2 ? 1 …………………………………6 分 2

? ? ? 1 ⑵依题意, 2 sin[2( ? ) ? ] ? 1 ? ? …………………………………………………7 分
2 8 4 3

2 2 1 sin ? ? ? 即 2 sin? ? 1 ? ? ……8 分, …………………………………………10 分 3 3

1 ……………………………………………………………12 分 3 ⒘解:⑴依题意,数列 ?a n ? 的公差 d ? a3 ? a 2 ? 2 ……………………………………2 分 cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ?
∵ a 2 ? a1 ? d ……3 分,∴ a1 ? a 2 ? d ? 1 ……………………………………………4 分

?a ? d ? 3 ?a ? 1 (或:设数列 ?a n ? 的公差为 d ,则 ? 1 ……2 分,解得 ? 1 ………………4 分) ?d ? 2 ?a1 ? 2d ? 5
数列 ?a n ? 的通项公式 a n ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 ………………………………………6 分 ⑵ 由⑴得 a n?1 ? 2n ? 1 , bn ?
(?1) n n (?1) n n ………………………………7 分 ? a n ? a n ?1 (2n ? 1)( 2n ? 1)

1 ( ?1) n (?1) n ? [ ? ] ……………………………………………………………………9 分 4 2n ? 1 2n ? 1

(?1) n (?1) n 1 1 1 1 n ? 1 时, S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? {(?1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? [ ? ]} ……11 分 4 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1

(?1) n (?1) n ? 2n ? 1 1 ………………………………………13 分 ? [?1 ? ]? 4 2n ? 1 4(2n ? 1)
n ? 1 时, S1 ? b1 ? ? 也符合上式,∴ ?n ? N? , S n ?

1 3

(?1) n ? 2n ? 1 ………………14 分 4(2n ? 1)

⒙证明与求解:(方法一) ⑴连接 AC,交 BD 于 O,连接 OE,则 O 是 AC 的中点……………………………1 分
江门市 2015 届普通高中高三调研测试—理科数学 第 5 页 共 9 页

OE 是△PAC 的中位线,OE//PA………………………………………………………2 分 OE ? 平面 EDB,PA ? 平面 EDB, ,∴PA//平面 EDB………………………………4 分 ⑵∵PD⊥底面 ABCD,BC ? 平面 ABCD,∴PD⊥BC……………………………5 分 ∵ABCD 是正方形,∴BC⊥CD,∵PD ? CD=D,∴BC⊥平面 PCD……………6 分 BC⊥PC,EF⊥PB,∠BPC 是公共角,∴△ PEF~△ PBC…………………………7 分 PE 3 1 ? PC ? a = PB…………8 分 设 PD=DC ? a ,则 PC ? 2a ,PB ? 3a , PF ? PB 3 3 ⑶由⑵知 BC⊥平面 PCD,∴BC⊥DE………………………………………………9 分 ∵PD=DC,E 是 PC 的中点,∴PC⊥DE,∵PC ? BC=C,∴DE⊥平面 PBC…10 分 DE⊥PB,EF⊥PB,DE ? EF=E,∴PB⊥平面 DEF………………………………11 分 ∴PB⊥DF, ∠DFE 是二面角 C-PB-D 的平面角……………………………………12 分 2 a ………………………13 分 在△DFE 中,∵DE⊥平面 PBC,∴DE⊥EF,DE ? 2 PE 6 DE ? EF ? ? BC ? a ,tan∠DFE ? ? 3 ,∠DFE ? ………………………14 分 PB 6 EF 3 (方法二)⑴以 D 为原点, DA 、 DC 、 DP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向建立空间直 C (0 , 1 , 0) , 角坐标系……1 分, 设 PD=DC=1, 则 D(0 , 0 , 0) ,A(1 , 0 , 0) ,B(1 , 1 , 0) , P(0 , 0 , 1) ………………………………………………………………………………2 分 1 1 连接 AC,交 BD 于 O,连接 OE,则 O 是 AC 的中点, O( , , 0) ……………3 分 2 2 1 1 1 1 E 是 PC 的中点,∴ E(0 , , ) , OE ? ( ? , 0 , ) ………………………………4 分 2 2 2 2 PA ? (1 , 0 , ? 1) , PA ? ?2OE ,PA//OE………………………………………………5 分 OE ? 平面 EDB,PA ? 平面 EDB, ,∴PA//平面 EDB………………………………6 分 ⑵设 PF ? ? PB ? ? (1 , 1 , ? 1) ……………………………………………………………7 分
1 1 , ? ? ? ) …………………………………………………8 分 2 2 1 1 ∵EF⊥PB,∴ EF ? PB ? (? , ? ? , ? ? ? ) ? (1 , 1 , ? 1) ? 0 …………………………9 分 2 2

则 EF ? EP ? PF ? (? , ? ?

1 1 即 3? ? 1 ? 0 ,解得 ? ? ,PF= PB…………………………………………………10 分 3 3
⑶由⑵知 EF ? (
DF ? PB ? (

1 1 1 1 1 2 , ? , ) , DF ? DP ? PF ? (? , ? , 1 ? ? ) ? ( , , ) …11 分 3 3 3 3 6 6

1 1 2 , , ) ? (1 , 1 , ? 1) ? 0 ,∴DF⊥PB,∠DFE 是二面角 C-PB-D 的平面 3 3 3 DF ? EF 1 ? ? ……13 分,∠DFE ? ……………………14 分 角……12 分, cos ?DFE ? 3 | DF || EF | 2

⑶(方法三)平面 PBD 的一个法向量是 AC ? (?1 , 1 , 0) ……………………………11 分 平面 PBC 的一个法向量是 DE ? (0 ,
1 1 , ) …………………………………………12 分 2 2

江门市 2015 届普通高中高三调研测试—理科数学

第 6 页 共 9 页

AC ? DE 1 ? …………………………………………………………13 分 | AC | ? | DE | 2 ? ? 所以 ? AC, DE ?? ,二面角 C-PB-D 的大小为 …………………………………14 分 3 3 cos ? AC , DE ??

(各评卷点、评卷教师请注意:本题方法一⑴⑵⑶问的给分依次是 4 分、4 分、6 分, 而方法二三⑴⑵⑶问的给分依次是 6 分、4 分、4 分,因此,本题的给分板⑴⑵⑶问 分别设计为 6 分、4 分、6 分,评卷时要么按方法一给分,要么按方法二三给分) ⒚解:设每小时燃料费与航速平方的比例系数为 k ,则 80 ? k ? 10 2 ………………1 分

4 ………………………………………………………………………………2 分 5 设航速为 x km/h 时,总费用为 y 元,则
解得 k ?

y?

4 2 100 100 50000 …………………………………6 分 x ? ? ? 500 ……5 分, ? 80x ? 5 x x x

(方法一)令 y? ? 80 ?

50000 ? 0 ……8 分,解得 x ? 25 (负值舍去)………………………9 分 x2 0 ? x ? 25 时, y ? ? 0 , x ? 25 时, y ? ? 0 ,∴ x ? 25 是极小值点,也是最小值点

……10 分,此时 y ? 80 ? 25 ?

50000 ? 4000 (元)……………………………………11 分 25
50000 ……8 分, ? 4000 (元)……………………9 分 x

(方法二)∵ x ? 0 ,∴ y ? 2 80 x ? 等号成立当且仅当 80x ?

50000 ……10 分, 解得 x ? 25 (负值舍去)…………………11 分 x 答:航速为 25km/h 时,总费用最少,此时总费用为 4000 元……………………12 分
⒛解:⑴设 M( x , y )是轨迹上任意一点, k AM ? 依题意, k AM ? k BM ?

y ?3 y ?3 1 ? ? ? ………………………………………………4 分 x x 2 x2 y2 ? ?1, 整理化简得轨迹方程为 其中 x ? 0 ………………………………………6 分 18 9 ⑵显然所求直线 l 存在斜率,设 l : y ? 1 ? k ( x ? 4) …………………………………7 分 ? 3 ?1 ①当直线 l 经过 A 点时, k ? ? 1 ……8 分,代入 y ? 1 ? k ( x ? 4) 得 y ? x ? 3 0?4 ……………………………………………………………………………………………9 分 3 ?1 1 ②当直线 l 经过 B 点时, k ? ? ? ……10 分,代入 y ? 1 ? k ( x ? 4) 得 0?4 2 1 y ? ? x ? 3 ……………………………………………………………………………11 分 2

y?3 y ?3 , k BM ? ……………2 分 x x

江门市 2015 届普通高中高三调研测试—理科数学

第 7 页 共 9 页

? x2 y2 ?1 ? ? ③当点 P 为切点时,由 ? 18 得 9 ? y ? 1 ? k ( x ? 4) ?

(2k 2 ? 1) x 2 ? 4k (4k ? 1) x ? (32k 2 ? 16k ? 16) ? 0 ……………………………………12 分
解 ? ? [?4k (4k ? 1)] 2 ? 4(2k 2 ? 1)(32k 2 ? 16k ? 16) ? k 2 ? 4k ? 4 ? 0 得 k ? ?2 ………13 分 1 代入 y ? 1 ? k ( x ? 4) 得 y ? ?2 x ? 9 , 综上所述, 直线 l 的方程为 y ? ? x ? 3 或 y ? x ? 3 2 或 y ? ?2 x ? 9 …………………………………………………………………………14 分 (注:①②③三种情况独立给分) 21.证明与求解:⑴ f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 1 , f ?( x ) ? 3x 2 ? 6 x ……………………………1 分 解 f ?( x ) ? 0 得 x1 ? 0 , x2 ? 2 ……………………………………………………………2 分 x ? x2 x ? x2 M( 1 , f( 1 ) ) 即 M (1 , ? 3 ) ………………………………………………3 分 2 2 曲线 y ? f ( x) 上任意一点 P( x0 , x0 3 ? 3x0 2 ? 1) 关于 M 对称的点为

Q(2 ? x0 , ? x0 ? 3x0 ? 5 ) ……………………………………………………………4 分
直 接 计 算 知 , f (2 ? x0 ) ? (2 ? x0 ) 3 ? 3(2 ? x0 ) 2 ? 1 ? ? x0 3 ? 3x0 2 ? 5 , 点 Q 在 曲 线 y ? f ( x) 上,所以,曲线 y ? f ( x) 关于点 M 对称……………………………………5 分 ⑵(方法一) | f ( x) |? 33 即 | x 3 ? ax 2 ? 1 |? 33 ,? 33 ? x 3 ? ax 2 ? 1 ? 33 …………………6 分 x ? 0 时,不等式恒成立…………………………………………………………………7 分
32 ? x 3 34 ? x 3 ? a ? ………………………………………8 分 x2 x2 32 ? x 3 32 34 ? x 3 34 64 ? ? x ? g ( x ) ? ? ? x ? 2 , g1? ( x) ? ?1 ? 3 , 作 g 1 ( x) ? ? , 2 2 2 2 x x x x x
x ? 0 时,不等式等价于 ?
68 g2? ( x ) ? ?1 ? 3 ……9 分,解 g1? ( x) ? 0 、 g2? ( x) ? 0 得 x1 ? 4 、 x2 ? ?3 68 ……………10 分 x

3

2

x
g1? ( x )

[ ? 1 , 0)

(0 , 4)

4
0 极大值 -

(4 , 5 ]

- ↘ +

+ ↗ -

- ↘ -

g1 ( x)
g2? ( x )

↗ ↘ ↘ …………………………………………………………………………………12 分
g1 (?1) ? ?31 , g1 (4) ? ?6 , g1 ( x) ? ? g 2 (?) ? 35 , g 2 (5) ? ?

g 2 ( x)

32 ? x 3 在 [?1 , 0) ? (0 , 5] 的最大值为 ? 6 ; x2

34 ? x 3 91 91 , g 2 ( x) ? 在 [?1 , 0) ? (0 , 5] 的最小值为 ? …13 分 2 25 25 x

综上所述, a 的取值范围为 [?6 , ?

91 ] ………………………………………………14 分 25
第 8 页 共 9 页

江门市 2015 届普通高中高三调研测试—理科数学

(方法二) f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax , a ? 0 时, f ( x) ? x 3 ? 1不符合题意,∴ a ? 0 ,解 f ?( x ) ? 0 得
x1 ? 0 , x2 ? ?

2a ………………………………………………………………………6 分 3

当 x2 ? ?

2a ?[?1 , 5] 时, f ( x) 在 [?1 , 5] 内的极值点为 x1 ……7 分, | f ( x) |? 33 当且仅 3

2a ? 2a 15 3 ? ?? 3 ? 5或 ? 3 ? ?1 ?a ? ? 2 或a ? 2 ? ? ? 当 ?| f (0) |? 33 ……8 分,即 ?| a ? 2 |? 33 …9 分,解集为空集 ? …10 分 ?| f ( ?1) |? 33 ?| 25a ? 124 |? 33 ? ? ? ? ?| f (5) |? 33

当 x2 ? ?

2a ?[?1 , 5] f ( x) 在 [?1 , 5] 内的极值点为 x1 、 x2 ……11 分, | f ( x) |? 33 当且 3

2a ? ?? 1 ? ? 3 ? 5 3 ? 15 ? ? ?a? ? 2 2 ?| f (0) |? 33 ? ? 2a 91 ? ? 4 a 3 ? 1 |? 33 仅当 ?| f ( ? ) |? 33 …… 12 分,即 ?| …… 13 分,解集为 [?6 , ? ] , 3 25 ? ? 27 | a ? 2 | ? 33 ?| f ( ?1) |? 33 ? ? ?| 25a ? 124 |? 33 ? ?| f (5) |? 33 ? ?

∵ [?6 , ?

91 91 91 ] ? ? ? [?6 , ? ] ,∴ a 的取值范围为 [?6 , ? ] ……………………14 分 25 25 25

江门市 2015 届普通高中高三调研测试—理科数学

第 9 页 共 9 页


赞助商链接
相关文章:
2015届广东省江门市普通高中高三调研测试数学(理)试题
2015届广东省江门市普通高中高三调研测试数学(理)试题_数学_高中教育_教育专区。...秘密★启用前 试卷类型:B 江门市 2015 届普通高中高三调研测试 数 学(理科) ...
江门市2015年普通高中高三调研测试理科数学
江门市2015年普通高中高三调研测试理科数学_数学_高中教育_教育专区。2015年 含...3 ,同理 | P 1P 3 | ?| P 2P 3 |? 3 , (方法二)设 P 3 ( x3...
2018届广东省江门市普通高中高三调研测试理科数学试题...
2018届广东省江门市普通高中高三调研测试理科数学试题及答案 - 江门市普通高中 2018 届高三(上)调考 数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 ...
2018届广东省江门市普通高中高三调研测试理科数学试题...
2018届广东省江门市普通高中高三调研测试理科数学试题及答案 - 江门市普通高中 2018 届高三(上)调考 数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 ...
2018届广东省江门市高三普通高中调研测试理科数学试题...
2018届广东省江门市高三普通高中调研测试理科数学试题及答案 - 江门市普通高中高三调研测试 数 参考公式:锥体的体积公式 V ? 学(理科)试 题 本试卷共 4 页,21...
广东省江门市普通高中2015届高三上学期调考数学试卷(理科)
广东省江门市普通高中 2015 届高三上学期调考数学试卷 (理科)参考答案与试题...解题时要注意运算法则的合 理运用. 3. (5 分)已知三个实数: A.a>b>c ...
2018届广东省江门市高三普通高中调研测试理科数学试题...
2018届广东省江门市高三普通高中调研测试理科数学试题及答案 - 江门市普通高中高三调研测试 数 参考公式:锥体的体积公式 V ? 学(理科)试 题 本试卷共 4 页,21...
2017届广东省江门市普通高中高三调研测试理科数学试题...
2017届广东省江门市普通高中高三调研测试理科数学试题及答案 - 江门市普通高中 2017 届高三(上)调考 数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 ...
广东省江门市普通高中2015届高三上学期调考数学试卷(理科)
广东省江门市普通高中 2015 届高三上学期调考数学试卷 (理科)参考答案与试题...解题时要注意运算法则的合 理运用. 3. (5 分)已知三个实数: A.a>b>c ...
江门市2016年普通高中高三调研测试理科数学
江门市2016年普通高中高三调研测试理科数学_数学_高中...3 ,同理 | P 1P 3 | ?| P 2P 3 |? 3 ...【恒心】2015届广东省江... 暂无评价 9页 ¥0...
更多相关标签: