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江浦高级中学高三数学练习(九)


江浦高级中学高三数学练习(九)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1.已知集合 A ? ?1, 3? , B ? ?1, 2, m ? ,若 A ? B ,则实数 m = 2.若向量 a ? (2, 3), b ? ( x , ? 6) ,且 a ? b ,则实数 x = ▲ ▲ . ▲ . .

3.在 ? ABC

中,已知 sin A : sin B : sin C ? 2 : 3 : 4 ,则 cos C ?
2 2 2

4.已知 p : x ? 4 x ? 5 ? 0, q : x ? 2 x ? 1 ? m ? 0( m ? 0) ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则 m 的最大值为 ▲
1 a n a n ?1 } 的前 100 项

5. 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , a 5 ? 5 , S 5 ? 15 ,则数列 { 和为_ ▲ 6. 已知向量 a , b 的夹角为 45°,且 | a |? 1 , | 2 a ? b |?

10 ,则 | b | =__________.

∥ 7.已知四边形 ABC D 为梯形, AB CD , l 为空间一直线,则“ l 垂直于两腰 AD , BC ”是
“l 垂 直于两底 AB , D C ”的 ▲ 条件(填写“充分不必要”, “必要不充分”, “充要”,

“既不充分也不必要”中的一个). 8.若 sin ?
?? ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ,则 cos ? ? 2? ? = ?6 ? 3 ? 3 ?



? ? 9.设向量 a ? (2 cos ? , 2 sin ? ), b ? (2 cos ? , 2 sin ? ), , 且直线 2 x cos ? ? 2 y sin ? ? 1 ? 0 与

? ? 2 2 圆 ( x ? cos ? ) ? ( y ? sin ? ) ? 1 相切,则向量 a 与 b 的夹角为
10. 已 知 f ( x ) ? a ? ▲ .
1 2 ?1
x



.

是 定 义 在 ( ?? , ? 1] ? [1, ?? ) 上 的 奇 函 数 , 则 f ( x ) 的 值 域 为

11.记等比数列 ? a n ? 的前 n 项积为 Tn ( n ? N * ) ,已知 a m ?1 a m ?1 ? 2 a m ? 0 ,且 T2 m ?1 ? 128 , 则m ? ▲ .

12. 已知曲线 y ? ? a ? 3 ? x 3 ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线, 函数 f ( x ) ? x 3 ? ax 2 ? 3 x ? 1 在 ?1, 2 ? 上 单调递增,则 a 的范围为 ▲ .

1 1 ? ? x ? 2 , x ? [0, 2 ) ? 13. 已 知 函 数 f ( x ) ? ? 若 存 在 x1 , x 2 , 当 0 ? x1 ? x 2 ? 2 时 , ? 2 x ?1 , x ? [ 1 , 2) ? ? 2
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,则 x1 f ( x 2 ) 的取值范围是


2 2

14. 在平面直角坐标系 xOy 中,设 A、B、C 是圆 x +y =1 上相异三点,若存在正实数 ?, ? , 使得 O C = ? OA ? ? OB ,则 ? 2 ? ? ? ? 3 ? 的取值范围是
2

????

??? ?

??? ?



.

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.(本小题满分 14 分) 1 2 已知函数 f ( x ) ? 3 sin x cos x ? cos x ? ( x ? R ) . 2 (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x ) 在区间 [0,

?
4

] 上的函数值的取值范围.

16. 已知函数 f ( x ) ? m ? n , 其中 m ? (sin ? x ? cos ? x , 3 cos ? x ) ,n ? (cos ? x ? sin ? x ,
2 sin ? x ) ,其中 ? > 0 ,若 f ( x ) 相邻两对称轴的距离大于等于

?
2



⑴求 ? 的取值范围. ⑵在 ? ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边, a ? 大时, f ( A ) ? 1 ,求 ? ABC 的面积.
3 , b ? c ? 3 ,当 ? 最

17.(本小题满分 14 分) 某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成:①原材料费每件 50 元;②职工工资支 出 7500+20x 元;③电力与机器保养等费用为 x 2 ? 30 x ? 600 元.其中 x 是该厂生产这种产品 的总件数。 (1) 把每件产品的成本费 P ? x ? (元)表示成产品件数 x 的函数, 并求每件产品的最低成本费; (2)如果该厂生产的这种产品的数量 x 不超过 170 件且能全部销售,根据市场调查,每件 产品的销售价为 Q ? x ? (元),且 Q ( x ) ? 1240 ?
1 30 x ,试问生产多少件产品,总利润最高?
2

并求出最高总利润。(总利润=总销售额-总的成本)

18.(本小题满分 16 分) 设向量 a ? ( x , 2 ), b ? ( x ? n , 2 x ? 1) ( n ? N ) ,函数 y ? a ? b 在
[ 0 ,1] 上 的 最 大 值 与 最 小 值 的 和 为 a n , 又 数 列 {b n } 满 足 :

?

nb 1 ? ( n ? 1) b 2 ? ? ? 2 b n ?1 ? b n ? (

9 10

)

n ?1

?(

9 10

)

n?2

???

9 10

?1.

⑴求 a n 、 b n 的表达式. ⑵ C n ? ? a n bn , 问数列 { c n } 中是否存在正整数 k , 使得对于任意的正整数 n , 都有 C n ≤ C k 成立,若存在,求出 k 的值,若不存在,说明理由.

19.对于函数 f ( x ) ,若存在实数对( a, b ),使得等式 f ( a ? x ) ? f ( a ? x ) ? b 对定义域中的 每一个 x 都成立,则称函数 f ( x ) 是“( a, b )型函数”. (1)判断函数 f ( x ) ? 4 是否为“( a, b )型函数”,并说明理由; (2) 已 知 函 数 g ( x ) 是 “(1,4) 型 函 数 ”, 当 x ? [0, 2] 时 , 都 有 1 ? g (x )? 3成 立 , 且 当 x ? [ 0 , 1]
x

20.(本小题满分 16 分) 已知数列 ? a n ? , ?b n ? 满足: a 1 ? 3 ,当 n ? 2 时, a n ?1 ? a n ? 4 n ;对于任意的正整数

n
b1 ? 2 b2 ? ? ? 2
n ?1

bn ? na n .设 ? b n ? 的前 n 项和为 S n .

(Ⅰ)计算 a 2 , a 3 ,并求数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)求满足 13 ? S n ? 14 的 n 的集合.

参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1 100 1.3; 2..9; 3. ; 4.2; 5. ; 6. 3 2 ; 4 101 7.充分不必要; 8. ?
7 9

;9.

?
3

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.

17⑴ f ( x ) ? m ? n ? cos ? x ? sin ? x ?
2 2

3 sin 2? x ? cos 2? x ?

3 sin 2? x

? 2 sin( 2? x ?

1 2? ? ? ? ? ≥ ? 0 ? ? ≤1 6 2 2 2? 2? 2 ? ? 1 ⑵ ? max ? 1 , f ( A ) ? 2 sin( 2 A ? ) ? 1 ? sin( 2 A ? ) ? , 6 6 2 ? ? 13 ? ? 5? ? ? ? ? A? 0 ? A ? ? ,故 ? 2 A ? ,∴ 2 A ? 6 b 6 6 6 3 1 2 2 2 2 a ? 3 ? b ? c ? 2 bc ? ? ( b ? c ) ? 3bc ? 9 ? 3bc ? bc ? 2 2

?

),

T

?

∴ S ? ABC ?

1 2

bc sin A ?

1 2

?2?
2

3 2

?

3 2


8100 x ? x ? 40 , x ? N

.(1) P ? x ? ? 50 ?

7500 ? 20 x x

?

x ? 30 x ? 600 x

?

*

???3 分

由基本不等式得: P ? x ? ≥ 2

8100 x

? x ? 40 ? 220 ?????????5 分

当且仅当

8100 x

? x ,即 x ? 90 时等号成立,所以 P ? x ? ?

8100 x

? x ? 40 , x ? N ,每件产品
*

的最低成本费为 220 元。?

??6 分

(2)设总利润 y ? f ? x ? 元,则
f ( x ) ? x[ Q ( x ) ? P ( x )] ? 1240 x ?
?? 1 30
3 2

1 30

x ? 8100 ? x ? 40 x
3 2

x ? x ? 1200 x ? 8100,

x ? N 且 x ≤ 170 ????????9 分

?

18. y ? a ? b ? x ? ( n ? 4 ) x ? 2 , ⑴ 对称轴为 x ? ?
2

n?4 2

? 0 , y 在[0, ∴ 1]上递增,

x ? 0 时, y ? ? 2 , x ? 1 时, y ? n ? 3 ,∴ a n ? n ? 1

∵ nb 1 ? ( n ? 1) b 2 ? ? ? 2 b n ?1 ? b n ? (

9 10

)

n ?1

?(

9 10

)

n?2

?? ? )
n?2

令 n ? n ? 1 ,则 ( n ? 1) b1 ? ( n ? 2 ) b 2 ? ? ? b n ?1 ? ( 相减,得 b1 ? b 2 ? ? ? b n ?1 ? b n ? ( 当 n ? 1 时, b1 ? S 1 ? 1 , 当 n ? 2 时, b n ? S n ? S n ?1 ? (
n ?1 ?1 ? bn ? ? 1 ∴ 9 n?2 ?( ) ?? ? 10 10

9 10

?1 10 9 n?3 9 ? ( ) ??? ?1 10 10

9

9 10

)

n ?1

? Sn

9 10

)

n ?1

?(

9 10

)

n?2

??

1 10

?(

9 10

)

n?2

n?2

n ?1 ?? 2 ? ⑵ C n ? ? a n bn ? ? n ? 1 9 n?2 ?( ) ? 10 ? 10

n?2

,设存在正整数 k ,使得对于任意的正整数

n ,都有 C n ? C k 成立,∵ C 2 ? C 1 ?

当 n ? 2 时, C n ?1

? 0 ,∴ C 2 ? C 1 , 10 10 9 n?2 8 ? n ? Cn ? ( ) ? ,∴当 n ? 8 时, C n ?1 ? C n 10 100

3

?2?

23

当 n ? 8 时, C n ?1 ? C n ,当 n ? 8 时, C n ?1 ? C n ∴ C 1 ? C 2 ? ? ? C 8 ? C 9 ? C 10 ? ? ,∴存在正整数 k ? 8 或 9,使得对于任意的正 整数 n ,都有 C n ? C k 成立. ????????16 分 19.解: (1)函数 f ( x ) ? 4 是“( a, b )型函数”?????????2 分
x
a 因 为 由 f ( a ? x ) ? f ( a ? x ) ? b , 得 16 ? b , 所 以 存 在 这 样 的 实 数 对 , 如 a ? 1, b ? 16 ??????6 分

(2) 由 题 意 得 , g (1 ? x ) g (1 ? x ) ? 4 , 所 以 当 x ? [ 1 , 2 时 , g ( x ) ? ]
2 ? x ? [ 0 , 1,]

4 g (2 ? x )

,其中

而 x ? [0,1] 时 , g ( x ) ? x ? m (1 ? x ) ? 1 ? x ? mx ? m ? 1 ? 0 , 且 其 对 称 轴 方 程 为
2 2

x?

m 2

,
m 2 ? 1 ,即 m ? 2 时, g ( x ) 在 [0,1] 上的值域为 [ g (1), g (0)] ,即 [2, m ? 1] ,则 g ( x ) 4 4

① 当

?m ? 1 ? 3 ? , 2] ? [ , m ? 1] ,由题意得 ? 4 在 [0, 2] 上的值域为 [2, m ? 1] ? [ ,此 m ?1 m ?1 ?1 ? ?m ?1 时无解?????????11 分

②当

1 2

?

m 2

? 1 ,即 1 ? m ? 2 时, g ( x ) 的值域为 [ g (

m 2

), g ( 0 )],即 [ m ? 1 ?

m

2

4
2

, m ? 1] ,
] ,则由题

所以则 g ( x ) 在 [0, 2] 上的值域为 [ m ? 1 ?

m

2

4

, m ? 1] ? [

4 m ?1

,

4 m ?1? m 4

4 ? ? m ?3 ?1 2 ? ?m ? 1 ? m ? ? 4 意得 ? m ? 1 ? 且? ,解得 1 ? m ? 2 ????????13 分 4 4 ? ? ?1 ? m ?1 ? 3 ? m ?1 ? ?
2

20.(Ⅰ)在 a n ?1 ? a n ? 4 n 中,取 n ? 2 ,得 a 1 ? a 2 ? 8 ,又, a 1 ? 3 ,故 a 2 ? 5 . 同样 取 n ? 3 可得 a 3 ? 7 . ???????? 2 分 由 a n ?1 ? a n ? 4 n 及 a n ?1 ? a n ? 4 ( n ? 1) 两式相减可得:a n ?1 ? a n ?1 ? 4 , 所以数列 ? a n ? 的奇数项和偶数项各自成等差数列,公差为 4 ,而 a 2 ? a 1 ? 2 ,故 ? a n ? 是公差为 2 的 等差数列,? a n ? 2 n ? 1 . ???????? 5 分 (Ⅱ)在 b1 ? 2 b2 + ? ? 2 n ?1 bn ? na n 中令 n ? 1 得 b1 ? a 1 ? 3 . ???????? 6 分 又 b1 ? 2 b2 ? L ? 2 n bn ?1 ? ( n ? 1) a n ?1 ,与 b1 ? 2 b2 ? L ? 2 n ?1 bn ? na n 两式相减可得:
2 b n ?1 ? ( n ? 1) a n ?1 ? na n ? ( n ? 1)( 2 n ? 3) ? n ( 2 n ? 1) ? 4 n ? 3 , b n ?1 ?
n

4n ? 3 2
n



即当 n ? 2 时, b n ?

4n ? 1 2
n ?1


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