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自主招生考试中的平面几何问题


6  

中 等 数 学 

匦园圃

‘  
寰 产 素 
( L “ 东省济宁一 中, 2 7 2 1 0 1 )  

自主 招生考试中的 平面几何 问题  

中图分类号 : 0 1 2 3 . 1  

文献标识码: A  

文章编号 : 1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 3 ) 0 4 — 0 0 0 6— 0 3  

近几年, 各高校 自主招生试题中出现 了   不少平面几何试题 , 尤其是在北京大学等学  校联 合 自主招 生试 题 中 , 每 年 都 会有 一 道 平 
面几何 问题 . 本文仅 举几 例 , 希 望能从 中找 到 


同理 , s △ 即 c =s  R c = ‘  
故. s △ 即 R ;S  日 c — S  邢 一S  


一I s   c  

些 备考方 法.  

+ S z  ̄ n c = 了 1 .  

例 2 已知 0为 △ A B C内一 点 , 且 满 足 
B A O=   C A 0=   C l i O=   A C O . 证 明:  

1 对定 理 的考查 

例1   如图 l , 已知 △ A B C面 积 为 l , 点 
D、 E、  分别在边 B C、 C A、 A B上 , B D =2 DC ,  

△A B C的i边长构成等差数列.   ( 2 0 1   l , 北京 大学保 送生考 试 )  

C E= 2 E A, A F: 2 F B , A D、 B E 、 C F两两相 交,   交点 为 P、 Q、 R . 求△ P   的面积.  

【 分析 】 由条件先考虑应用角元 塞瓦定 
理, 再结合分析的方法 , 可找到一条寻求解决  问题 的途径 .  

荔 =   A B A C O B C   = O    曰 = ,   0 c ,   R   / —   / — I \   \   \   c  
L  B C O   ?  
C  
罔 1  

网2  

( 2 0 0 9 , 中 国科 学 技 术 大 学 自主招 生 考 
试)  

堑 业 . 皇   . s i n   y: 1  
s i n   s i n   O t  s i n   O /  



由直线 B P E截 / kA D C应 用梅 涅 劳 
.  

s i n   a=s i nf l - s i n  .  

斯定理得 


A P   DB   C E PD‘   ‘  
AP

注意到 ,  
B C  =A B? AC  

P D   3 旱 、   = 一  而 A P P D   = 丢 4     =   ?   朋 = 号 — ; 、   肋 : 号 × 号 — ;  艇   艇 = 号 亏     ?
?  ?

车  s i n   2 o r =s i n ( 0 c + / 3 ) ? s i n (  +  )  
铮1 - c o 8   : c 0 s  - y ) 一 o 0 s ( 2 0 c + / 3 +   )   1+ c o s ( /  ̄ +  )=c o s ( / 3 一 ’ , )+c o 8   2 a   1一 C O S   2  = ̄ o s ( / 3 一  ) 一 ̄ o s ( / 3 +  )  
§ s i n   n= s i n 卢? s i n  .  





收稿 R期 : 2 0 1 2—1 0— 2 5  

2 0 1 3年第 4期 

7  


【 评注 】 本题是非常典型的一道习题 , 三 
角形 内满 足  B A O=   C B O=   A C O:8的  点 0称 为 △ A B C的“ 布 洛卡点” . 布 洛 卡 点  的一个 基 本性 质是 

1 0 , C D= 8, D E: 4, E F与 o0切于点 F, B F  

与H D交于点 G .  

. 

c o t   A +c o t   B +c o t   C =c o t  .  

2 多点共 圆 问题 

O  

证 明或 利用 多点 共 圆问题 是历 年来 高 中 

‘  

∥ 
  .

数学联赛加试 中常考的内容. 近几年 , 在高校  的 自主招生考试 中关于多点共圆的问题也时 
有 出现.  

/B  
图4  

例 3 如图3 , 在锐 角 △ A B C中 , 已知 B E  

( 1 ) 求 G H;   ( 2 ) 联结 F D, 判断 F D与 A B是 否 平行 ,  
并 加 以证 明.  

上A C于点 E , C D_ l _ A B于点 D, B C= 2 5 , C E   = 7, B D =1 5 . 若 B E与 C D 交 于 点 H, 联 结  D E , 以D E为直径作 圆, 该圆与 A C交于另一  点F . 求A F的长度.  

( 2 0 1 2 , 卓越人 才培养合 作高 校联合 自   主选拔 考试 )  
解 ( 1 ) 联结 A F 、 O E、 O F . 则A 、 F、 G 、 H   四点共 圆.   由E F是 切线 知 O F上 E F .   于是 ,   F G E=   B A F=   E F G .   从而 , E F=E G .   又O E   =O H 2 + H E   = O F   + E  , 贝 0  
E  = O  + 月  一 O  : 3 2 + 铲一 5   : 4 &  

/ /  
— 、 \ 
3  

所以,   = E G= 4 √ 3.  
从而 , G H=E H—E G=8— 4 , 3.  
( 2 ) F D与 A B不 平行.  
反 证法 .  

( 2 0 1 2 , 清华 大学等学 校联合 自主招 生  考试 )   解 联结 D F . 由已知条件有 

cos   = 

若F D ∥A B , 以 D为坐标原点 、 A B所在 
的直线为 Y 轴建立平面直角坐标系.   则 F( 4, 3 ) , E( 8 , 一3 ) .  

, c 0 s   c = 寺  


s i n   B=   4 s i n   c=   2 4  

:  s i n   A:s I n   B. c 。 s   C+s i n   C. c o s曰:- : 4 - :s i n曰  
,  

所   = 一 寻 .   而  = 号 ,  . = 一   3 - ×   3 = 一 詈 ≠ 一 l ,  
这与 E F是 喇 的切线 矛盾 .  

/ A=   B  

AC=B C=2 5 .  

因此, 结论成立.  
3 三角形 问题 

由C D上 A B, D F_ l - A C , 知 D、   分 别 为  A B、 A E的 中点.   又A E= A C—C E=1 8 , 故A F= 9 .  
例4   如图 4 , 己知 A B是 o 0 的 直 径 ,  

C E上 A B于点 Ⅳ , 与OD交 于点 c 、 D, 且A B  

例 5 如图 5 , 己知△ A B C的 两条 高线  A D、 B E交于点 Ⅳ, 其外接圆的网心为 0 , 过0   作D  - 上 I  c于点 F , o H与 A F交 于点 G . 则 

中 等 数 学 

S △ o F G : . s △ G   =(  

BE ? AE =PE? D  =6   j ‘ BE =AE =   .  

再 由相 交 弦定理得 
GE. EF :BE。
.  

故G E: 2, P G=1 .  

由切 割线定 理得 P A  = P G? 尸  

从而 ,   = √ 6.  
I 冬 I   5  

4 几何 变换 

( A) 1 : 4 ( B ) 1 : 3 ( C) 2 : 5 ( D) 1 : 2  

( 2 0 1 0 , 清华 大 学 等 学 校 联 合 自主 招 生 
考试 )  

例 7 如图 7 , 在六 边 形 A C   B A 1 C B l 中,  
已知 A C l=A B 1 , B C 1 =B A 1 ,  
A   C  



因为 0为 △ A B C的外 心 , 且O F上 

C A 1 =C B l , 且 
+   =   A1 +   +   C   C1 .  
AI  

B C , 所以, F是边 B C的中点.   故A F是 边 B C上 的 中线.   由欧 拉定 理 , 知 O H与A F的 交 点 G为 
△A B C 的重心.   则F G : G A=1 : 2 .  


B1 +  

证 明: △A B C的 面 积 是 

六边 形 A C   B A 1   C Bl面 积 的 
半.  

图7  

又△ O F G∽ △ H A G, 故两 三角 形 的面 积 
之 比为 1 : 4 .  

( 2 0 0 8 , 北 京大学 自主招生考 试 )  

证明 如图 8 , 旋转△ B c A , 至△ 8 A ; C   .  

例 6 如图 6 , 己知△ A B C内接于oD ,   过B C的中点 D作平行 于 A C的直线 z , z 与  A B交于点 E, 与o0交于点 G 、 F , 与oD在点  A处的切线交于点 P . 若P E= 3 , E 1 ) = 2 , E F   3, 则  的 长为 (   ) .  


A?  

’ 

网8  

C  

则△ B c A 1   △  : c 。   A B1 C=   A C 1 A : ,  

C l A , - C A l = B l C , A C l = A B l   △A C l A :   △A B   C  
6  

A A  =AC .  

( A)  

( B )  

( c )  

( D) 2  

又A : B=B C , A B= A B, 贝 0  
△A B C一  ̄ - / 3 △A B A: .  

( 2 0 1 l , 卓越人 才培养合作 高校联合 自  
主选拔考试) ‘  

故5   c =| s  删 {  




因为 A c ∥P F , 所以 ,  
B D E=   BC A=   P A E  

I s   c +¥ t c R l c+S A A C A 1.  
l  

j  P、 A 、 D、 E四点共圆  

因 此 , S △ 惦 c = ÷ s 六 边 肜 ^ c   . I  


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