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圆锥曲线寒假(无题)


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… … … ○ … … … …

参考答案 1. (Ⅰ)

x2 y 2 ?2 ? ? ? 1 (Ⅱ)直线 l 过定点,定点坐标为 ? , 0? 4 3 ?7 ?

【解析】 试题分析: (Ⅰ)由已知得: a ? c ? 3 , a ? c ? 1 解这个方程组求出 a、c 即得椭圆的标准方 程

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

? y ? kx ? m, ? (Ⅱ)将直线方程与椭圆的方程联立, ? x 2 y 2 ? 1. ? ? 3 ?4
将直线方程代入椭圆方程得: (3 ? 4k ) x ? 8mkx ? 4(m ? 3) ? 0
2 2 2

用韦达定理找到点 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) 的坐标与 k、m 的关系 再由 AA2 ? BA2 可得 A、B 的坐标间的一个关系式,由此消去 x1 , x2 , y1 , y2 得 m、k 之间的关 系式, 用此关系式将直线 l : y ? kx ? m 的方程中的参数 m 或 k 换掉一个, 由此即可看出直线 是否恒过一个定点 试题解析: (Ⅰ)由已知与(Ⅰ)得: a ? c ? 3 , a ? c ? 1 ,

? a ? 2 , c ? 1 ,?b2 ? a 2 ? c 2 ? 3

?椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

4分

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) ,

? y ? kx ? m, ? 联立 ? x 2 y 2 ? 1. ? ? 3 ?4
得 (3 ? 4k ) x ? 8mkx ? 4(m ? 3) ? 0 ,
2 2 2

? ? ? ? 64m 2 k 2 ? 16(3 ? 4k 2 )(m 2 ? 3) ? 0,即3 ? 4k 2 ? m 2 ? 0,则 ? 8mk ? , ? x1 ? x2 ? ? 2 3 ? 4 k ? ? 4(m 2 ? 3) x ? x ? . ? 1 2 3 ? 4k 2 ?
又 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m 2 ?

3(m2 ? 4k 2 ) , 3 ? 4k 2

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因为椭圆的右顶点为 D(2, 0) ,

? k AD k BD ? ?1 ,即

y1 y ? 2 ? ?1 , x1 ? 2 x2 ? 2

? y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 ,
? 3(m2 ? 4k 2 ) 4(m2 ? 3) 16mk ? ? ? 4 ? 0, 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

?9m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0
解得:

m1 ? ?2k , m2 ? ?

2k ,且均满足 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0 , 7

当 m1 ? ?2k 时, l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (2, 0) ,与已知矛盾; 当 m2 ? ?

2k 2? ? ?2 ? 时, l 的方程为 y ? k ? x ? ? ,直线过定点 ? , 0? 7? 7 ? ?7 ?
?2 ?7 ? ?

所以,直线 l 过定点,定点坐标为 ? , 0? 考点:1、椭圆的方程;2、直线与圆锥曲线的位置关系 2.(Ⅰ)

x2 y2 ? ? 1 , y 2 ? 4 x ;(Ⅱ) ?8,??? . 4 3

【解析】 试题分析: (Ⅰ)求 曲线 C1 , 则设该曲线上某点 M ( x, y ) , 然后根据题目条件, 得到关于 x, y

的方程,再化简即可得到

x2 y2 ? ? 1 .曲线 C 2 可以根据抛物线的几何性质得到,F ?1,0? 为 4 3
2

抛物线焦点,从而得到 y ? 4 x ;(Ⅱ)用点斜式设出 l 2 的方程为 x ? ky ? 1 ,与抛物线方程 联立,即可得到关于点 C , D 坐标的方程.再根据韦达定理即得到 CD 的长度.由题意可设 l1 的方程为 y ? ?k ( x ? 1) ,代入

x2 y2 ? ? 1 可得关于点 A, B 坐标的方程.再根据韦达定理即 4 3

得到 AB 的长度.因为 AB ? CD ,从而四边形 ACBD 的面积为 S ? 通过基本不等式即可得到四边形 ACBD 面积的取值范围为 ?8,??? .

1 AB ? CD ,经化简, 2

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试题解析:(Ⅰ)设 M ( x, y ) ,则由题意有 2

?x ? 1?2 ? y 2

? x ? 4 ,化简得:

x2 y2 ? ? 1. 4 3
4分

故 C1 的方程为

x2 y2 ? ? 1 ,易知 C 2 的方程为 y 2 ? 4 x . 4 3
2 2

(Ⅱ)由题意可设 l 2 的方程为 x ? ky ? 1 ,代入 y ? 4 x 得 y ? 4ky ? 4 ? 0 , 设 C ?x1 , y1 ?, D?x2 , y 2 ? ,则 y1 ? y 2 ? 4k ,
2 所以 CD ? CF ? DF ? x1 ? 1 ? x 2 ? 1 ? k ( y1 ? y 2 ) ? 4 ? 4(k ? 1) .

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

7分

因为 l1 ? l 2 ,故可设 l1 的方程为 y ? ?k ( x ? 1) ,代入

x2 y2 ? ? 1得 4 3
8k 2 , 4k 2 ? 3

?4k

2

? 3 x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,设 A?x3 , y3 ?, B?x4 , y 4 ? ,则 x3 ? x 4 ?

?

1 1 1 12 k 2 ? 1 所以 AB ? AF ? BF ? ?4 ? x3 ? ? ?4 ? x 4 ? ? 4 ? ?x3 ? x 4 ? ? . 2 2 2 4k 2 ? 3
故四边形 ACBD 的面积为

?

?

10 分

1 24 k 2 ? 1 24t 2 3 ? 1 1 ? 3? ? S ? AB ? CD ? ? ? ? 4t ? 1 ? ? 2? ? ? s ? ? 2? 2 2 4t ? 1 2 ? 4t ? 1 s 4k ? 3 ? 2? ?
( 其中t ? k ? 1 ? 1, s ? 4t ? 1 ? 3 )
2

?

?

2

设 f ( s) ? s ?

1 1 s2 ?1 ( s ? 3), 则f ?( s) ? 1 ? 2 ? 2 ? 0,故f ( s)在?3, ? ? ?单调递增 ,因此 s s s

S?

3? 1 1 ? 3? ? ? s ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? 2 ? ? 8 ,当且仅当 s ? 3 即 k ? 0 等号成立. 2? s 3 ? 2? ?
13 分

故四边形 ACBD 面积的取值范围为 ?8,??? .

考点: 1.曲线与方程; 2.抛物线的几何性质; 3.直线与圆锥曲线的位置关系; 4.基本不等式; 5.函数的单调性. 3. (1) x ?
2

y2 1 ? 1; (2) (ⅰ) k1 ? k2 ? ? ; (ⅱ)定点 (0, ?2 ? 2 3) 或 (0, ?2 ? 2 3) . 3 4

【解析】 试题分析: (Ⅰ)由题意,先确定点 N 是 MF1 中点,然后由 F1 M ? PN ? 0 确定|PM|=|PF1|, 从而得到|∣PF1|-|PF2∣|=||PM|-|PF2||=|MF2|=2<|F1F2|,再根据双曲线的几何性质,即可
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得到点 P 的轨迹方程; (2) (ⅰ)设出点 P ( x0 , y0 ) ,由斜率公式得到 k1 ? k 2 的表达式,再根 据点 P 在椭圆上,得到其为定值; (ⅱ)将以 MN 为直径的圆上任一点坐标设出,即设点

???? ? ???? Q( x, y ) ,再根据过直径的弦所对的圆周角为直角这一几何性质得到 QM ? QN ? 0 ,从而得
到点 Q( x, y ) 的轨迹方程也即以 MN 为直径的圆的方程为

x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 12 ? (

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

3 ? 4k1 ) x ? 0 .因为 x 的系数有参数 k1 ,故 x ? 0 ,从而得到圆上定点 k1

(0, ?2 ? 2 3) 或 (0, ?2 ? 2 3) .即得到所求.
试题解析: (Ⅰ)连接 ON∵ F1 M ? 2 NM ∵ F1M ? PN ? 0 ∴F1M⊥PN ∴点 N 是 MF1 中点 ∴|MF2|=2|NO|=2

∴|PM|=|PF1|

∴|∣PF1|-|PF2∣|=||PM|-|PF2||=|MF2|=2<|F1F2| 由双曲线的定义可知:点 P 的轨迹是以 F1,F2 为焦点的双曲线.

y2 点 P 的轨迹方程是 x ? ?1 4 分 3
2

(ⅰ)? A(0,1) , B (0,?1) ,令 P ( x0 , y0 ) ,则由题设可知 x0 ? 0 ,

? 直线 AP 的斜率 k1 ?

y0 ? 1 y ?1 , PB 的斜率 k 2 ? 0 ,又点 P 在椭圆上,所以 x0 x0

2 2 x0 y ? 1 y0 ? 1 y0 ?1 1 2 ( x0 ? 0 ) ,从而有 k1k 2 ? 0 ? y0 ? 1, ? ? ? ? .8 分 2 4 x0 x0 x0 4

( ⅱ ) 设 点 Q( x, y ) 是 以 MN 为 直 径 的 圆 上 任 意 一 点 , 则 QM ? QN ? 0 , 又 易 求 得

???? ? ????

M (?

???? ? ???? 3 1 3 1 , ?2) 、 N (? , ?2) .所以 QM ? ( x ? , y ? 2) 、 QN ? ( x ? , y ? 2) .故有 k1 k1 k2 k2

(x ?
程为

3 1 1 ) ? ( x ? ) ? ( y ? 2)( y ? 2) ? 0 .又 k1 ? k2 ? ? ,化简后得到以 MN 为直径的圆的方 k1 k2 4

x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 12 ? (
?x ? 0

3 ? 4k1 ) x ? 0 . k1
,解得 ?

令?

2 2 ? x ? ( y ? 2) ? 12 ? 0

? ? ?x ? 0 ?x ? 0 或? . ? ? y ? ?2 ? 2 3 ? ? y ? ?2 ? 2 3
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所以以 MN 为直径的圆恒过定点 (0, ?2 ? 2 3) 或 (0, ?2 ? 2 3) . 考点:1.点的轨迹方程;2.直线与圆锥曲线的位置关系;3.向量数量积的坐标表示. 4. (1)动点 P 的轨迹方程为 x 2 ? 4 y ; (2)点 D 的纵坐标为 ?1 . 【解析】 试题分析: (1)设动点 P 的坐标为 ? x, y ? ,直接利用题中的条件列式并化简,从而求出动点 (2)先设点 A( x1 ? y1 )? B ( x2 ? y2 ) ,利用导数求出曲线 M 在点 A 和点 B 处的切 P 的轨迹方程; 线方程,并将两切线方程联立,求出交点 D 的坐标,利用两切线垂直得到 x1 x2 ? ?4 ,从而 求出点 D 的纵坐标. 试题解析: (1)设 P ? x , y ? ,则 Q ? x, ?1? ,∵ QP ? QF ? FP ? FQ , ∴ ? 0, y ? 1? ? ? ? x, 2 ? ? ? x, y ? 1? ? ? x, ?2 ? . 即 2 ? y ? 1? ? x ? 2 ? y ? 1? ,即 x ? 4 y ,
2

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

2

所以动点 P 的轨迹 M 的方程 x ? 4 y .
2

4分

(2)设点 A 、 B 的坐标分别为 ? x1 , y1 ? 、 ? x2 , y2 ? , ∵ l1 、 l 2 分别是抛物线 C 在点 A 、 B 处的切线, ∴直线 l1 的斜率 k1 ? y ' ∵ l1 ? l2 , ∴ k1k2 ? ?1 , 得 x1 x2 ? ?4 . ∵ A 、 B 是抛物线 C 上的点, ∴ y1 ? ①

x ? x1

?

x1 ,直线 l 2 的斜率 k2 ? y ' 2

x ? x2

?

x2 . 2

x12 x2 , y2 ? 2 . 4 4 x12 x1 x2 x ? ? x ? x1 ? ,直线 l2 的方程为 y ? 2 ? 2 ? x ? x2 ? . 4 2 4 2

∴直线 l1 的方程为 y ?

? x12 x1 y ? ? ? x ? x1 ? , ? ? 4 2 由? 2 ? y ? x2 ? x2 ? x ? x ? , 2 ? ? 4 2

x ?x ? x? 1 2, ? ? 2 解得 ? ? y ? ? 2 ? ?1. ? ? 2

∴点 D 的纵坐标为 ?1 . 考点:1.动点的轨迹方程;2.利用导数求切线方程;3.两直线的位置关系;4.两直线的交点
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5. (1)动点 P 的轨迹方程为 x 2 ? 4 y ; (2)点 D 的纵坐标为 ?1 . 【解析】 试题分析: (1)设动点 P 的坐标为 ? x, y ? ,直接利用题中的条件列式并化简,从而求出动点 (2)先设点 A( x1 ? y1 )? B( x2 ? y2 ) ,利用导数求出曲线 M 在点 A 和点 B 处的 P 的轨迹方程; 切线方程,并将两切线方程联立,求出交点 D 的坐标,利用两切线垂直得到 x1 x2 ? ?4 ,从 而求出点 D 的纵坐标.

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

试题解析: (1)设 P ? x , y ? ,则 Q ? x, ?1? ,∵ QP ? QF ? FP ? FQ , ∴ ? 0, y ? 1? ? ? ? x, 2 ? ? ? x, y ? 1? ? ? x, ?2 ? . 即 2 ? y ? 1? ? x ? 2 ? y ? 1? ,即 x 2 ? 4 y ,
2

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

所以动点 P 的轨迹 M 的方程 x 2 ? 4 y .

4分

(2)设点 A 、 B 的坐标分别为 ? x1 , y1 ? 、 ? x2 , y2 ? , ∵ l1 、 l 2 分别是抛物线 C 在点 A 、 B 处的切线, ∴直线 l1 的斜率 k1 ? y ' ∵ l1 ? l2 , ∴ k1k2 ? ?1 , 得 x1 x2 ? ?4 . ∵ A 、 B 是抛物线 C 上的点,
2 x12 x2 ∴ y1 ? , y2 ? . 4 4

x ? x1

?

x1 ,直线 l 2 的斜率 k2 ? y ' 2

x ? x2

?

x2 . 2



∴直线 l1 的方程为 y ?

x12 x1 x2 x ? ? x ? x1 ? ,直线 l2 的方程为 y ? 2 ? 2 ? x ? x2 ? . 4 2 4 2

? x12 x1 y ? ? ? x ? x1 ? , ? ? 4 2 由? 2 ? y ? x2 ? x2 ? x ? x ? , 2 ? ? 4 2

x ?x ? x? 1 2, ? ? 2 解得 ? ? y ? ? 2 ? ?1. ? ? 2

∴点 D 的纵坐标为 ?1 . 考点:1.动点的轨迹方程;2.利用导数求切线方程;3.两直线的位置关系;4.两直线的交点 6. (1)椭圆 C1 的方程是

??? ? x2 y 2 ? ? 1; (2) QS 的取值范围是 ?8 5, ?? . ? 3 2

?

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【解析】 试题分析: (1)利用直线 y ? x ? 2 与以原点为圆心,以椭圆 C1 的短半轴长的圆相切,先求 出 b 的值,再结合椭圆的离心率求出 a 的值,最终确定椭圆 C1 的方程; ( 2 )先设点
2 ??? ? ??? ? ? y12 ? ? y2 ? R ? , y1 ? 、 S ? , y2 ? ,利用向量坐标运算从条件 QR ? RS ? 0 出发,确定 y1 与 y2 之间 ? 4 ? ? 4 ? ??? ? 2 的关系,并利用基本不等式求出 y2 的取值范围,并求出 QS 的表达式,利用二次函数的单

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

调性求出 QS 的取值范围.

??? ?

0?0?2
试题解析: (1)由直线 l : y ? x ? 2 与圆 x ? y ? b 相切,得
2 2 2

2

?b?b? 2


e?


3 b2 2 ? 1 ? e2 ? 2 3 ,得 a 3 ,所以 a ? 3 ,

x2 y 2 ? ?1 C 2 所以椭圆 1 的方程是 3 ;

p ?1? p ? 2 2 C (2)由 2 ,故 2 的方程为 y ? 4 x ,
? y2 ? ? y2 ? R ? 1 , y1 ? S ? 2 , y2 ? Q ? 0, 0 ? 4 ?、 ? 4 ?, 易知 ,设 ? ??? ? ? y2 ? ? y2 ? ? y 2 ? y12 ? RS ? ? 2 , y2 ? ? ? 1 , y1 ? ? ? 2 , y2 ? y1 ? ? 4 ? ? 4 ? ? 4 ?, ∴

??? ? ??? ? 由 QR ? RS ? 0 ,得

2 y12 ? y2 ? y12 ?

16

? y1 ? y2 ? y1 ? ? 0



? 16 ? y2 ? ? ? y1 ? ? y1 ? ? y1 ? y2 ? ,所以 ,
2 ? y2 ? y12 ?

256 256 ? 32 ? 2 y12 ? 2 ? 32 ? 64 2 y1 y1

y12 ?
,当且仅当

256 y12 ,即 y1 ? ?4 时等号成

立.
2 ??? ? ? y12 ? 1 QS ? ? ? ? y12 ? 4 ? 4 ? 又

?y

2 1

? 8? ? 64
2



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? y ? 64 y ? 64 y ? ?8 ,所以当 ,即 2 时, ??? ? ?8 5, ?? QS ?
2 1 2 1

??? ? QS

min

?8 5





的取值范围是

?.

考点:1.椭圆的方程;2.平面向量的坐标运算;3.基本不等式 7.(I) p ? 1 , y 0 ? ?2 ; (II) ?ABD 的面积为定值,且为 【解析】 试题分析:(I)已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 上有一点 Q( 2, y 0 ) ,到焦点 F 的距离为
5 ,求 2

1 . 2

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

p 及 y 0 的值,有焦半径公式, FQ ? x0 ?

p ,及已知可得 p 的值,又因为 Q( 2, y 0 ) 在抛物 2

线上, 把 x ? 2 代入得可求 y 0 的值; (II) 判断 ?ABD 的面积是否为定值?关键是写出 ?ABD 的面积形式,解析几何中,求三角形的面积,常常采用分割法,分成两个公共底平行于坐标 轴,高为坐标之差来求,本题已给出 | y1 ? y 2 |? 2 ,只需求出 MD 的长即可,而 M 的横坐标 为
? y ? kx ? b x1 ? x2 , 由此可采用设而不求, 既有 ? 2 ,得:k 2 x 2 ? 2( kb ? 1) x ? b 2 ? 0( k ? 0) , y ? 2 x 2 ?

可得 x1 ? x 2 ?

2(1 ? kb) k2

, x1 x2 ?

b2 2 2 2 ,再由 | y1 ? y2 | ? k | x1 ? x2 | ? 4 ,可求出 k , b 关系, 2 k

可得 M 的坐标,从而得 D 的坐标, , 这 样 可 求 出 MD 的 长 , 得 ?ABC 的 面 积

S?

1 1 1 ? 2kb 1 | MD | ? | y1 ? y2 |? ? | | ?2 ? ,可解. 2 2 2 2k 2
p ,0) , 2

试题解析: (I)焦点 (
2? p 5 ? , p ? 1. 2 2

1分 3分 5分

? y 2 ? 2 x ,代入 Q( 2, y 0 ) ,得 y 0 ? ?2

? y ? kx ? b k 2 x 2 ? 2( kb ? 1) x ? b 2 ? 0( k ? 0) , (II) 联立 ? 2 , 得: ? ? 0, 即 1 ? 2kb ? 0 , y ? 2 x ?

6


x1 ? x 2 ? 2(1 ? kb) k2

, x1 x 2 ?

b2 k2

.

8分
4(1 ? 2kb) k
2

| y1 ? y 2 | 2 ? k 2 | x1 ? x 2 | 2 ? k 2 [( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] =

? 4 , ? 1 ? 2kb ? k 2 ,

11 分 1 ? kb 1 M ( 2 , ), k k

D(

1 , ), 2k k
2

1

13 分

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? ?ABC 的面积 S ?

1 1 1 ? 2kb 1 | MD | ? | y1 ? y2 |? ? | | ?2 ? 2 2 2 2k 2

15

分注:其他解法可参考给分. 考点:抛物线的方程,直线与抛物线的位置关系. 8. (Ⅰ)椭圆 C 的方程为
3 5 ( x ? 1) . 10 【解析】 y??
y2 x2 (Ⅱ)存在符合条件的直线 l 的方程为: ? ?1 ; 4 3

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

试题分析: (Ⅰ)已知椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1( a ? b ? 0) 的焦点为 F1 ( ?1,0) , F2 (1,0 ) ,且经过

3 3 点 P (1, ) ,求椭圆 C 的方程,显然 c ? 1 ,而 P (1, ) 正好是过焦点,且垂直于 x 轴的弦的端 2 2

点, 故

b2 3 2 2 再由 a 2 ? b2 ? c 2 , 解出 a , b 即可; (Ⅱ) 设过 F1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A 、 ? , a 2

B 两点,问在椭圆 C 上是否存在一点 M ,使四边形 AMBF 2 为平行四边形,若存在,求出直

线 l 的方程,若不存在,请说明理由,此题是探索性命题,一般都是假设存在符合条件的点
M ( x 0 , y 0 ) ,根据题意,若能求出直线 l 的方程,就存在,若不能求出直线 l 的方程,就不存

在,此题设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 ,代入方程得 AB 的中点为 ? ?

4 3m ? ? , 2 ? , 2 ? 3m ? 4 3m ? 4 ?

由于四边形 AMBF 2 为平行四边形, AB 与 MF 2 的中点重合,得 M 点坐标,代入椭圆方程 求出 m 的值,从而得存在符合条件的直线 l 的方程为: y ? ? 试题解析: (Ⅰ)? c ? 1,
? a ? 2, b ? 3 ,

3 5 ( x ? 1) . 10

b2 3 2 ? , a ? b2 ? c2 a 2

3分 5分

? 椭圆 C 的方程为

y2 x2 ? ?1 4 3

7分

(Ⅱ)假设存在符合条件的点 M ( x 0 , y 0 ) , 设直线 l 的方程为 x ? my ? 1
? x ? my ? 1 由? 2 得: ( 3m 2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 , ? ? 0 , 2 ? 3 x ? 4 y ? 12

8分

, 3m 2 ? 4 4 3m ? ? , ? AB 的中点为 ? ? ? 2 ? 3m ? 4 3m 2 ? 4 ?
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? y1 ? y 2 ?

6m

10 分

… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …

… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …

? x0 ? 1 4 ? 2 ?? 2 ? 3m ? 4 ?四边形 AMBF 2 为平行四边形,? AB 与 MF 2 的中点重合,即: ? y 3 m ? 0 ? ? 3m 2 ? 4 ? 2
? M (? 3m 2 ? 12
2

3m ? 4 3m 2 ? 4

,

6m

)

13 分

把点 M 坐标代入椭圆 C 的方程得: 27m 4 ? 24m 2 ? 80 ? 0 解得 m 2 ?
20 9

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

14 分 15 分

3 5 ( x ? 1) 10 考点:椭圆的方程,直线与椭圆位置关系.

? 存在符合条件的直线 l 的方程为: y ? ?

9. (1)

13 x2 y 2 (2) [ ?4, ) ; (3)证明过程详见解析. ? ? 1; 4 3 4

【解析】 试题分析:本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识,考查用代数方法研 究圆锥曲线的性质以及数形结合的数学思想方法, 考查运算求解能力、 综合分析和解决问题 的能力.第一问,利用离心率及 a 2 ? b2 ? c 2 解出 a 2 和 b 2 得到椭圆的标准方程;第二问,先 设出直线 l 的方程,因为直线与椭圆相交,消参得关于 x 的方程,因为相交于 2 个交点,所 以 ? ? 0 得到 k 2 的取值范围,设出 A, B 点坐标,则求出两根之和、两根之积及 y1 y2 ,所以

??? ? ??? ? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ,将上述的条件代入,得到 k 的表达式,求最值;第三问,先通过对
称,得到点 E 的坐标,列出直线 AE 的方程,令 y ? 0 ,得 x 的值正好得 1,所以得证. 试题解析:(1)解:由题意知 e ? 又b ?
6 1?1
2 2

4 2 c2 a 2 ? b2 1 c 1 2 ? ,即 a ? b , ? ,∴ e2 ? 2 ? 2 4 a 2 a a 3

? 3 ,∴ a ? 4, b ? 3 ,
y2 x2 ? ?1 . 4 3

故椭圆的方程为

2分

(2)解:由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,
? y ? k ( x ? 4) ? 2 y2 ?x ? ?1 2 2 2 2 ? 3 由? 4 得: (4k ? 3) x ? 32k x ? 64k ? 12 ? 0 ,
2 2 2 2 由 ? ? (?32k ) ? 4(4k ? 3)(64k ? 12) ? 0 得:

4分

k2 ?

1 4,

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… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …

… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …

设 A(x1,y1),B (x2,y2),则

x1 ? x2 ?

32k 2 64k 2 ? 12 , x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3



2 2 2 ∴ y1 y2 ? k ( x1 ? 4)k ( x2 ? 4) ? k x1 x2 ? 4k ( x1 ? x2 ) ? 16k ,

∴ OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) ? ∵0 ? k ?
2

??? ? ??? ?

64k 2 ? 12 32k 2 87 2 ? 4 k ? ? 16k 2 ? 25 ? 2 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

??? ? ??? ? 1 87 87 87 13 ,∴ ? ?? 2 ? ? ,∴ OA ? OB ? [?4, ) , 4 3 4k ? 3 4 4 ??? ? ??? ? 13 ∴ OA ? OB 的取值范围是 [ ?4, ) . 4
(3)∵ B, E 两点关于 x 轴对称,∴ E ( x2 , ? y2 ) , 直线 AE 的方程为 y ? y1 ?

y1 ? y2 y (x ? x ) ( x ? x1 ) ,令 y ? 0 得: x ? x1 ? 1 1 2 x1 ? x2 y1 ? y2 2 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) , x1 ? x2 ? 8

又 y1 ? k ( x1 ? 4) , y2 ? k ( x2 ? 4) ,∴ x ?

由将①代入得: x ? 1 ,∴直线 AE 与 x 轴交于定点 (1, 0) . 考点:1.椭圆的标准方程;2.椭圆的离心率;3.直线与椭圆的位置关系;4.两根之和、两根 之积. 10. (1) 【解析】 试题分析:(1)由题目给出的条件直接求解 a, b 的值,则可求出椭圆方程;(2)当所求直 线斜率不存在时,其方程为 x ? ? 2 ,符合题意;当直线斜率存在时,可设其斜率为 k , 写出直线的点斜式方程, 因为直线与圆相切, 所以根据圆心到直线的距离等于圆的半径可直 接求得直线的斜率,从而得到方程;( 3 )由题意可知,两直线的斜率都存在,设 AP :

2 x2 y 2 (2) x ? ? 2 或 6 x ? 12 y ? 10 3 ? 0 ; (3) (0,? ) . ? ? 1; 8 4 3

y ? kx ? 2 ,代入椭圆的方程从而求出点 P 的坐标,同理再求出点 Q 的坐标,从而可求出
直线 PQ 的方程,由方程可知当 x ? 0 时, y ? ? 试题解析: (1) F (2, 0) ,则 c=2, 又

2 2 恒成立,所以直线恒过定点 (0,? ) . 3 3

2 3 ? 2 ? 1 ,得 a 2 ? 8, b 2 ? 4 2 a a ?4

∴所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 . 8 4

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… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …

(2)M (

2 2 2 9 , 0) ,⊙M: ( x ? ) ? y 2 ? ,直线 l 斜率不存在时, x ? ? 2 , 2 2 2
2) ,

直线 l 斜率存在时,设为 y ? 3 ? k ( x ?

∴d ?

|

2 k ? 2k ? 3 | 6 3 2 ,解得 k ? ? ? 12 , 2 k2 ?1

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

∴直线 l 为 x ? ? 2 或 6 x ? 12 y ? 10 3 ? 0 . (3)显然,两直线斜率存在, 设 AP: y ? kx ? 2 , 代入椭圆方程,得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 8kx ? 0 ,解得点 P (

?8k 2 ? 4k 2 , ) 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ,

同理得 Q(

8k 2k 2 ? 4 2 ? 4k 2 k 2 ? 1 ?8k 直线 PQ : , ) y ? ? (x ? ) 2 2 2 3k k ?2 k ?2 , 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ,

令 x=0,得 y ? ?

2 2 ,∴直线 PQ 过定点 (0, ? ) . 3 3

考点:本题考查了椭圆的标准方程,考查了椭圆的简单几何性质,考查了直线和圆锥曲线的 关系,突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法. 11. (1)椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ?2 ? (2)直线 A2 Q 的斜率的取值范围是 ? ,1? ; ? ? 1; 12 4 ?3 ?

(3) cos ?F1QF2 的最小值是 ? . 【解析】 试题分析: (1)利用离心率以及 c 2 ? a 2 ? b2 确定 a 、 b 之间的等量关系,然后将点 ? 3,1? 的 坐标代入椭圆 C 的方程求出 a 、 b ,从而确定椭圆 C 的标准方程; (2)设直线 A2 Q 的斜率 为 k ? ,并设点 Q 的坐标为 ? x0 , y0 ? ,利用点 Q 在椭圆上以及斜率公式得到 kk ? ? ? ,进而 利用 k 的取值范围可以求出 k ? 的取值范围; (3)利用已知条件 QF1 ? QF2 ? 2a ? 4 3 , 利用余弦定理得到 cos ?F1QF2 ,结合基本不等式求出 cos ?F1QF2 的最小值.

1 3

1 3

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?c 6 ? ? 3 ?a ?a 2 ? 12 ?9 1 x2 y 2 ? 试题解析: (1) ? 2 ? 2 ? 1 ? ? 2 ,故椭圆 C 的方程为 ? ? 1; 12 4 ?b ? 4 ? ?a b ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? ?
(2)设 A2 Q 的斜率为 k ? ,设点 Q ? x0 , y0 ? , 则k ?

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

y0 y0 , k? ? , x0 ? a x0 ? a
2 2 2 y0 x0 y0 及 ? ? 1, 2 x0 ? a2 a 2 b2

? kk ? ?

则 kk ? ? ?

1 1 1 b2 1 ? ? =? 又? ? k ? ? , 2 a 3 3 2 3

2 ?2 ? ? ? k ? ? 1 ,故 A2Q 斜率的取值范围为 ? ,1? ; 3 ?3 ?
(3)设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为 a 、 b 、 c ,则有

a ? 2 3 , b ? 2 , c ? 2 2 , F1 F2 ? 2c ? 4 2 ,
由椭圆定义,有 QF1 ? QF2 ? 2a ? 4 3 ,

cos ?F1QF2 ?

QF1 ? QF2 ? F1 F2 2 QF1 ? QF2

2

2

2

? QF ?
?

1

? QF2
2b 2

?

2

? F1F2 ? 2 QF1 ? QF2

2

2 QF1 ? QF2
2

? QF1 ? QF2 ? ? ? 2 ? ?

?1

? 2?

b2 1 ?1 ? ? 2 a 3

1 ? cos ?FQF . 1 2 的最小值为 ? 3
(当且仅当 QF1 ? QF2 时,即 Q 取椭圆上下顶点时, cos ?F1QF2 取得最小值) 考点:1.椭圆的标准方程;2.点差法;3.余弦定理;4.基本不等式
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… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …

12. (1) 【解析】

x2 1 13 (2) ? , ( x ? 2) 2 ? y 2 ? ; (3)定值为 4. ? y 2 ? 1; 4 5 25

试题分析: (1)通过离心率和 a 的值求出椭圆的方程.(2)假设 M,N 坐标求出 TM ? TN 的式 子.M,N 又在椭圆上同时 M 的坐标与 N 的坐标是对成的.根据 M 的横坐标的范围求出 TM ? TN

???? ??? ?

???? ??? ?

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

的范围.(3)假设 P 点的坐标根据 M 的坐标写出直线 PR,并求出 R 的坐标。类似写出 S 的 坐标.坐标都转化为 M 点的坐标表示形式.即可求出定值.本题知识量较大.涉及椭圆的标准 方程的求法,最值问题,定值问题,这些问题的切入点都不好把握.要做好这类型题要有化 归的思想,整理化简的能力,整体把握解题思路的能力. 试题解析: (1)依题意,得 a ? 2 , e ?

c 3 2 2 ? ,∴ c ? 3, b ? a ? c ? 1 ; a 2

故椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

(2)方法一:点 M 与点 N 关于 x 轴对称,设 M ( x1 , y1 ) , N ( x1 , ? y1 ) , 不妨设 y1 ? 0 . 由于点 M 在椭圆 C 上,所以 y1 ? 1 ?
2

x12 . 4

由已知 T (?2, 0) ,则 TM ? ( x1 ? 2, y1 ) , TN ? ( x1 ? 2, ? y1 ) , 所以 TM ? TN ? ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x1 ? 2, ? y1 ) ? ( x1 ? 2) ? y1
2

????

??? ?

???? ??? ?

2

x12 5 5 8 1 ) ? x12 ? 4 x1 ? 3 ? ( x1 ? )2 ? . 4 4 4 5 5 ???? ??? ? 8 1 由于 ?2 ? x1 ? 2 ,故当 x1 ? ? 时, TM ? TN 取得最小值为 ? . 5 5 3 8 3 13 由(*)式, y1 ? ,故 M (? , ) ,又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 r 2 ? . 5 5 5 25 13 故圆 T 的方程为: ( x ? 2) 2 ? y 2 ? . 25 ? ( x1 ? 2) 2 ? (1 ?
(3)设 P( x0 , y0 ) ,则直线 MP 的方程为: y ? y0 ?

y0 ? y1 ( x ? x0 ) , x0 ? x1

令 y ? 0 ,得 xR ?

x1 y0 ? x0 y1 x y ? x0 y1 ,同理: xS ? 1 0 , y0 ? y1 y0 ? y1

故 x R ? xS ?

x12 y0 2 ? x0 2 y12 y0 2 ? y12
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又点 M 与点 P 在椭圆上,故 x0 ? 4(1 ? y0 ) , x1 ? 4(1 ? y1 ) ,
2 2 2 2

代入(**)式,得: xR ? xS ?

4(1 ? y12 ) y0 2 ? 4(1 ? y0 2 ) y12 4( y0 2 ? y12 ) ? ? 4. y0 2 ? y12 y0 2 ? y12

所以 OR ? OS ? xR ? xS ? xR ? xS ? 4 为定值. 考点:1.椭圆的方程.2.最值问题.3.定值问题.4.化归思想.5.整体思维.

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

x2 13.(1) (2) (0,1) . ? y 2 ? 1; 4
【解析】 试题分析:(1)先设出椭圆方程为

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,再根据条件离心率为 及椭圆 2 2 a b

上的点 ( 2,

2 ) ,代入即可得到椭圆方程; ( 2)先设出直线 l 方程 y ? kx ? m( m ? 0) 及 2

8km 4(m2 ? 1) P( x1 , y1 )、Q( x2 , y2 ) , 然 后 联 立 椭 圆 方 程 得 到 x1 ? x2 ? ? 及 , x1 x2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
? ? 64k 2 m2 ? 16(1 ? 4k 2 )(m2 ? 1) ? 16(4k 2 ? m2 ? 1) ? 0 .再由直线 OP、PQ、OQ 的斜率
依 次 成 等 比 数列 得 到 ?

8k 2 m2 1 ? m2 ? 0 , 由 m ? 0 得 到 k ? ? . 代 入 ? ? 0 中 及 直 线 2 1 ? 4k 2

OP、 OQ的斜率存在得到 0 ? m2 ? 2 ,且 m2 ? 1 ,然后由点到直线的距离公式及两点间距
离公式得到 ?OPQ 面积 S ?

1 PQ d ? m2 (2 ? m2 ) .最后由基本不等式得到 S ? 1 ,从而 2

得到 ?OPQ 面积的取值范围.

试 题 解 析 : (1) 由 题 意 可 设 椭 圆 方 程 为

x2 y 2 c 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , 则 ? (其中 2 a 2 a b

c 2 ? a 2 ? b2 , c ? 0 ) ,且
所以椭圆的方程为

2 1 ? 2 ? 1 ,故 a ? 2, b ? 1 . 2 a 2b

x2 ? y 2 ? 1. 4

(2)由题意可知,直线 l 的斜率存在且不为 0.故可设直线 l : y ? kx ? m(m ? 0) , 设 P( x1 , y1 )、Q( x2 , y2 ) ,

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由?

? y ? kx ? m
2 2 ?x ? 4 y ? 4

,消去 y 得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4(m ? 1) ? 0 ,
2 2 2 2 2 2 2

则 ? ? 64k m ? 16(1 ? 4k )(m ? 1) ? 16(4k ? m ? 1) ? 0 ,
2 2

且 x1 ? x2 ? ?

8km 4(m2 ? 1) , , x x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
2 2

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

故 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m , 因为直线 OP、PQ、OQ 的斜率依次成等比数列,

所以

y1 y2 k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 8k 2 m2 ? ? ? k 2 ,即 ? ? m2 ? 0 . x1 x2 x1 x2 1 ? 4k 2
1 1 ,即 k ? ? . 4 2
2 2

又 m ? 0 ,所以 k 2 ?

由于直线 OP、OQ 的斜率存在,且 ? ? 0 ,得 0 ? m ? 2 ,且 m ? 1 , 设 d 为点 O 到直线 l 的距离,则 d ?

2m 5



PQ ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ? 5(2 ? m 2 ) ,
所以 S ?

1 m2 ? 2 ? m2 PQ d ? m2 (2 ? m2 ) ? ? 1(m2 ? 1) , 2 2

故 ?OPQ 面积的取值范围为 (0,1) . 考点:1.椭圆的标准方程及几何性质;2.直线与圆锥曲线的位置关系;3.点到直线的距离公 式;4.基本不等式. 14. (1) y ? x ; (2) k EF ? ?
2

1 ; (3) t min ? ?11 . 4

【解析】 试题分析:本题考查抛物线、圆的标准方程以及直线与抛物线、圆的位置关系,突出解析几 何的基本思想和方法的考查:如数形结合思想、坐标化方法等.第一问,据点 M (4, 0) 到准 线l : x ? ?

p 17 的距离为 , 直接列式求得 P , 得到抛物线的标准方程; 第二问, 据条件 ?AHB 4 4

的角平分线为 HM ,即 HM ? x 轴,得 H (4, 2),而 HE , HF 关于 HM 对称,所以

1 k HE ? ?k HF,利用两点斜率公式代入得 y1 ? y2 ? ?2 yH ? ?4 ,所以求得 kEF ? ? ;第三 4

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问,先求直线 HA, HB 的方程,再求 AB 的方程,令 x ? 0 ,可得到 t ? 4 y0 ? 利用函数的单调性求函数的最值. 试题解析: (1)∵点 M 到抛物线准线的距离为 4 ? ∴p?

15 ( y0 ? 1) , y0

p 17 , ? 2 4

1 ,即抛物线 C 的方程为 y 2 ? x . 2

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

(2)法一:∵当 ?AHB 的角平分线垂直 x 轴时,点 H (4,2) ,∴ k HE ? ? k HF , 设 E ( x1 , y1 ) , F ( x2 , y2 ) , ∴

yH ? y1 y ? y2 , ?? H xH ? x1 xH ? x2



yH ? y1 y ? y2 , ?? H 2 2 2 2 yH ? y1 yH ? y2

∴ y1 ? y2 ? ?2 yH ? ?4 .

k EF ?

y2 ? y1 y2 ? y1 1 1 ? 2 ? ?? . x2 ? x1 y2 ? y12 y2 ? y1 4
3,

法二:∵当 ?AHB 的角平分线垂直 x 轴时,点 H (4,2) ,∴ ?AHB ? 60 ? ,可得 k HA ?
k HB ? ? 3 ,∴直线 HA 的方程为 y ?

3x ? 4 3 ? 2 ,

联立方程组 ?

? y ? 3x ? 4 3 ? 2 ?
3 3

y2 ? x
∴ yE ?

,得 3 y 2 ? y ? 4 3 ? 2 ? 0 ,

∵ yE ? 2 ?

3?6 13 ? 4 3 , xE ? . 3 3

同理可得 y F ?

1 ? 3 ?6 13 ? 4 3 , xF ? ,∴ k EF ? ? . 4 3 3

(3)法一:设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ,∵ k MA ?

4 ? x1 y1 ,∴ k HA ? , x1 ? 4 y1

可得,直线 HA 的方程为 (4 ? x1 ) x ? y1 y ? 4 x1 ? 15 ? 0 , 同理,直线 HB 的方程为 (4 ? x 2 ) x ? y 2 y ? 4 x 2 ? 15 ? 0 , ∴ (4 ? x1 ) y 0 ? y1 y 0 ? 4 x1 ? 15 ? 0 ,
2

(4 ? x 2 ) y 0 ? y 2 y 0 ? 4 x 2 ? 15 ? 0 ,
2 2 ∴直线 AB 的方程为 (4 ? y 0 ) x ? y0 y ? 4 y 0 ? 15 ? 0 ,

2

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令 x ? 0 ,可得 t ? 4 y 0 ?

15 ( y 0 ? 1) , y0
∴ t min ? ?11 .

∵ t 关于 y0 的函数在 [1, ??) 单调递增,

法二:设点 H (m 2 , m)(m ? 1) , HM 2 ? m 4 ? 7 m 2 ? 16 , HA2 ? m4 ? 7m2 ? 15 . 以 H 为圆心, HA 为半径的圆方程为 ( x ? m2 )2 ? ( y ? m)2 ? m4 ? 7m2 ? 15 , ⊙ M 方程: ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 1 . ① ②得: ② ①

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

直线 AB 的方程为 (2 x ? m2 ? 4)(4 ? m2 ) ? (2 y ? m)m ? m4 ? 7m2 ? 14 . 当 x ? 0 时,直线 AB 在 y 轴上的截距 t ? 4m ? ∵ t 关于 m 的函数在 [1, ??) 单调递增,

15 (m ? 1) , m

∴ t min ? ?11 .

考点:1.点线距离;2.圆外一点引两条切线的性质.

? 3? x2 . 15. (Ⅰ)椭圆的方程为 (Ⅱ)直线 l 的倾斜角为 或 ? y 2 ? 1; 4 4 4
【解析】 试题分析: (Ⅰ)由离心率 e ?

c 3 ? ,菱形的面积为 2a ? 2b ? 4 及 a 2 ? b2 ? c 2 解得 a 2

a ? 2, b ? 1,c ?

3,从而解得椭圆的方程.

(Ⅱ)设点斜式的直线方程,联立直线与椭圆的方程,写出 x1 ? x2 , x1 x2 ,再由弦长公式

AB ? 1+k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 求出 k ,再根据 k ? tan? 可求出倾斜
角.

e? 试题解析: (Ⅰ) 由已知得:

c 3 ? , 菱形的面积为 2a ? 2b ? 4 , 在椭圆中 a 2 ? b2 ? c 2 , a 2

可解的 a ? 2, b ? 1, c ? 3 ,故椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知点 A 的坐标为 (?2,0) ,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,

? y ? k ( x ? 2), ? 2 2 2 2 联立 ? x 2 得 (1 ? 4k ) x ? 16k x ? 16k ? 4 ? 0 ,则 2 ? ? y ? 1. ?4
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… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …

? ?? ? (16k 2 ) 2 ? 4(1 ? 4k 2 )(16k 2 ? 4) ? 0, 即16 ? 0成立, ? 16k 2 2 ? , ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 4k 2 ? ? 16k 2 ? 4 x x ? . ? 1 2 1 ? 4k 2 ?
由 AB ? 1+k
2

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

4 2 得 5

1? k

2

16k 2 2 16k 2 ? 4 4 2 4 4 2 2 (? ) ? 4? ? ,? 1 ? k ? ,解得 k ? ?1 ? 2 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 5 1 ? 4k 5

所以直线 l 的倾斜角为

?
4



3? . 4

考点:1、离心率、菱形面积公式、椭圆的标准方程;2、直线与椭圆的位置关系,弦长公式、 直线斜率的定义,倾斜角的范围. 16.(1)

x2 2 6 2 6 ? y 2 ? 1 ;(2) (?2,? )?( ,2) . 3 3 2

【解析】 试题分析:(1)先根据圆心到直线的距离等于半径,求出圆的半径即椭圆短半轴的长,然后 由离心率求出 a 和 b 的关系,进而得到 a 的值,写出椭圆方程即可;(2)先设出直线方程, 再由直线方程与椭圆方程联立方程组, 求得 A ? x1 , y1 ? ,B ? x2 , y2 ? 两点的横坐标满足的方程

?1 ? 2k ? x
2

2

? 8 k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 1 , 它 的 判 别 式 大 于 零 得 到 k 2 ?

1 ,然后由已知条件 2

??? ? ??? ? 2 5 PA ? PB ? ,结合两点间的距离公式以及根与系数的关系求得, 3 ??? ? ??? ? ??? ? 1 ? k 2 ? ,根据已知有 OA ? OB ? tOP 以及点 P 在 ? 4k 2 ? 1??14k 2 ? 13? ? 0 ,从而解得 1 4 2
椭圆上,先求出点 P 的坐标,然后代入椭圆方程可知 16k ? t (1 ? 2k ) ,结合求解的
2 2 2

1 1 ? k 2 ? ,即可得到 t 的解集. 4 2
试题解析:(1)由题意知,短半轴长为: b ?

0?0? 2 12 ? 12

?1,

c2 a 2 ? b2 1 c 2 2 ? , ∵e ? ? ,∴ e ? 2 ? a 2 a a2 2
即 a ? 2b ,∴ a ? 2 ,
2 2
2

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… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …

故椭圆 C 的方程为:

x2 ? y 2 ? 1. 2

2分

(2)由题意知,直线 AB 的斜率存在,设直线 AB : y ? k ? x ? 2 ? , 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , P ? x, y ? ,

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

? y ? k ? x ? 2? ? 2 2 2 2 由 ? x2 得, ?1 ? 2k ? x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 1 . 2 ? y ?1 ? ? 2
? ? 64k 2 ? 4 ?1 ? 2k 2 ?? 8k 2 ? 2 ? ? 0 ,解得 k 2 ?

1 . 2

4分

8k 2 8k 2 ? 2 . , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ??? ? ??? ? ??? ? ∵ OA ? OB ? tOP ,∴ ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ? t ? x, y ? , x1 ? x2 ?
解得 x ?

y ? y2 1 ?4k x1 ? x2 8k 2 ? ? k ? x1 ? x2 ? ? 4k ? ? ? ,y? 1 . ? ? 2 t t t t ?1 ? 2k ? t ?1 ? 2k 2 ?

∵点 P 在椭圆上,∴
2 2 2

(8k 2 ) 2 (?4k ) 2 ? 2 ?2, t 2 (1 ? 2k 2 ) 2 t 2 (1 ? 2k 2 ) 2
..7 分

∴ 16k ? t (1 ? 2k ) . ∵ PA ? PB ?

??? ? ??? ?

2 5 2 5 ,∴ 1 ? k 2 x1 ? x2 ? , 3 3
? 9

20 2 ∴ 1 ? k 2 ?? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? ? ,

?

??

? ? 64k 4 8k 2 ? 2 ? 20 ? ? 4? ? ∴ ?1 ? k ? , ? ?1 ? 2k 2 ?2 1 ? 2k 2 ? 9 ? ?
2

∴ (4k ? 1)(14k ? 13) ? 0 ,∴ k 2 ?
2 2

1 4

10 分



1 1 ? k2 ? , 4 2
2 2 2

16k 2 8 ? 8? ∵ 16k ? t (1 ? 2k ) ,∴ t ? , 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
2

∴ ?2 ? t ? ?

2 6 2 6 或 ?t ? 2, 3 3
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… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … ∴实数 t 取值范围为 (?2,?

2 6 2 6 )?( ,2) . 3 3

考点: 1.椭圆的标准方程; 2.点到直线的距离公式; 3.方程的根与系数的关系; 4.解不等式; 5.平面向量的坐标运算

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12 分


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