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第四章 4.2 4.2.2&4.2.3 圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用






4.2.2&4.2.3

圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用

预习课本 P129~132,思考并完成以下问题
1.圆与圆的位置关系有哪几种?它们分别怎样去判断?

2.两圆相交,怎样求公共弦所在的直线方程?

3.两圆相交,圆

心连线与两圆的公共弦有什么关系?

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[新知初探]
1.圆与圆的位置关系 相交、 外切 、 内切、 圆与圆的位置关系有五种, 分别为外离 、 内含. ____ 2.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法:若两圆的半径分别为 r1,r2,两圆连心线的长为 d,则两圆的位置关系的判断方法如下:

位置关系 图示

外离

外切

相交

内切

内含

d=r1+ d与r1,r2 d ________ > r + r 1 2 _________ r2 ___ 的关系
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|r1-r2|<d ____________ < r 1+ r 2 ________
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<|r1-r2| d =|r1-r2| d _________ __________
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(2)代数法:设两圆的一般方程为
2 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D2 1+E1-4F1>0), 2 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D2 + E 2 2-4F2>0), 2 2 ? ?x +y +D1x+E1y+F1=0, 联立方程得? 2 2 ? ?x +y +D2x+E2y+F2=0,

则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:

方程组解的个数

2组
2 个 ____
相交 _____
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1组

0组

两圆的公共点个数
两圆的位置关系

1 个 ____
内切或外切 ____________
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0个 _____
外离或内含 ______________
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[点睛]

(1)圆和圆相离,两圆无公共点,它包括外离和内含;

(2)圆和圆相交,两圆有两个公共点; (3)圆和圆相切, 两圆有且只有一个公共点, 它包括内切和外切.

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[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外 切 ( × )

(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交( × ) (3) 从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆 的公共弦所在的直线方程 ( × )

(4)过圆 O:x2+y2=r2 外一点 P(x0,y0)作圆的两条切线,切点 为 A,B,则 O,P,A,B 四点共圆且直线 AB 的方程是 x0x+ y0y=r2
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(√ )
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2.圆(x+2)2+y2=4 与圆(x-2)2+(y-1)2=9 的位置关系为( A.内切 C.外切
解析:选 B

)

B.相交 D.相离
两圆的圆心分别为(-2,0),(2,1),半径分别为 r

=2,R=3,两圆的圆心距离为 ?-2-2?2+?0-1?2= 17, 则 R-r< 17<R+r,所以两圆相交,选 B.

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3. 已知两圆 x2+y2=10 和(x-1)2+(y-3)2=20 相交于 A, B 两点, 则直线 AB 的方程是________.
解析:圆的方程(x-1)2+(y-3)2=20 可化为 x2+y2-2x-6y =10.又 x2+y2=10, 两式相减得 2x+6y=0,即 x+3y=0. 答案:x+3y=0

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圆与圆位置关系的判断

[典例]

已知两圆 C1:x2+y2+4x+4y-2=0,C2:x2+y2-

2x-8y-8=0,判断圆 C1 与圆 C2 的位置关系.
[解] [法一 几何法]

把圆 C1 的方程化为标准方程,得(x+2)2+(y+2)2=10.圆 C1 的圆心坐标为(-2,-2),半径长 r1= 10. 把圆 C2 的方程化为标准方程,得(x-1)2+(y-4)2=25.圆 C2 的圆心坐标为(1,4),半径长 r2=5.
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圆 C1 和圆 C2 的圆心距 d=

?-2-1?2+?-2-4?2=3 5,

又圆 C1 与圆 C2 的两半径长之和是 r1+r2=5+ 10,两半 径长之差是 r2-r1=5- 10. 而 5- 10<3 5<5+ 10,即 r2-r1<d<r1+r2, 所以两圆的位置关系是相交.

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[法二

代数法]

将两圆的方程联立得到方程组
2 2 ? x + y +4x+4y-2=0,① ? ? 2 2 ? x + y -2x-8y-8=0,② ?

由①-②得 x+2y+1=0,③ 由③得 x=-2y-1,把此式代入①, 并整理得 y2-1=0,④ 所以 y1=1,y2=-1,代入 x+2y+1=0 得 x1=-3,x2=1. 所以圆 C1 与圆 C2 有两个不同的公共点(-3,1),(1,-1),即两 圆的位置关系是相交.
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判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法: 将两圆的圆心距 d 与两圆的半径之差的绝对 值,半径之和进行比较,进而判断出两圆的位置关系,这是 在解析几何中主要使用的方法. (2)代数法:将两圆的方程组成方程组,通过解方程组, 根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系.

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[活学活用]

到点 A(-1,2),B(3,-1)的距离分别为 3 和 1 的直线有_______条.
解析:到点 A(-1,2)的距离为 3 的直线是以 A 为圆心,3 为半径 的圆的切线;同理,到 B 的距离为 1 的直线是以 B 为圆心,半径 为 1 的圆的切线,所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线, 而这两圆的圆心距|AB|= ?3+1?2+?-1-2?2=5. 半径之和为 3+1=4,因为 5>4, 所以圆 A 和圆 B 外离,因此它们的公切线有 4 条. 答案:4
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与两圆相交有关的问题
[典例] 求经过两圆 x2+y2+6x-4=0 和 x2+y2+6y-28=

0 的交点且圆心在直线 x-y-4=0 上的圆的方程. 2 2 ? ?x +y +6x-4=0, [解] 法一:解方程组? 2 2 得两圆的交点 ? ?x +y +6y-28=0,
A(-1,3),B(-6,-2). 设所求圆的圆心为(a,b),因为圆心在直线 x-y-4=0 上, 故 b=a-4. 则有 ?a+1?2+?a-4-3?2= ?a+6?2+?a-4+2?2,

?1 7? 1 解得 a=2,故圆心为?2,-2?, ? ?

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半径为

?1 ?2 ? 7 ?2 ? +1? +?- -3? = ?2 ? ? 2 ?

89 2.

? 1?2 ? 7?2 89 故圆的方程为?x-2? +?y+2? = 2 , ? ? ? ?

即 x2+y2-x+7y-32=0. 法二: ∵圆 x2+y2+6y-28=0 的圆心(0,-3)不在直线 x-y -4=0 上,故可设所求圆的方程为 x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y- 28)=0(λ≠-1),
? 3 3λ ? ? 其圆心为?-1+λ,-1+λ? ?,代入 ? ?

x-y-4=0,求得 λ=-7.

故所求圆的方程为 x2+y2-x+7y-32=0.
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1.圆系方程 一般地过圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 与圆 C2:x2+ y2+D2x+E2y+F2=0 交点的圆的方程可设为:x2+y2+D1x+ E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1),然后再由其他 条件求出 λ,即可得圆的方程. 2.两圆相交时,公共弦所在的直线方程 若圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 与圆 C2:x2+y2+D2x +E2y+F2=0 相交, 则两圆公共弦所在直线的方程为(D1-D2)x +(E1-E2)y+F1-F2=0.
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3.公共弦长的求法 (1)代数法:将两圆的方程联立,解出交点坐标,利用两点 间的距离公式求出弦长. (2)几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、 半弦长、弦心距构成的直角三角形,根据勾股定理求解.

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[活学活用] 求两圆 x2+y2-2x+10y-24=0 和 x2+y2+2x+2y-8=0 的公共 弦所在直线的方程及公共弦长.
2 2 ? ?x +y -2x+10y-24=0, 解: 联立两圆的方程得方程组? 2 2 ? ?x +y +2x+2y-8=0,

两式相

减得 x-2y+4=0,此为两圆公共弦所在直线的方程. 法一:设两圆相交于点 A,B,则 A,B 两点满足方程组
? ?x-2y+4=0, ? 2 2 ? x + y +2x+2y-8=0, ? ? ?x=-4, 解得? ? ?y=0 ? ?x=0, 或? ? ?y=2.

所以|AB|= ?-4-0?2+?0-2?2=2 5,即公共弦长为 2 5.
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法二:由 x2+y2-2x+10y-24=0,得(x-1)2+(y+5)2=50, 其圆心坐标为(1,-5),半径长 r=5 2,圆心到直线 x-2y+4 |1-2×?-5?+4| =0 的距离为 d= =3 5. 2 1+?-2? 设公共弦长为 2l,由勾股定理得 r2=d2+l2,即 50=(3 5)2+l2, 解得 l= 5,故公共弦长 2l=2 5.

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直线与圆的方程的应用
[典例 ] 为了适应市场需要,某地准备建

一个圆形生猪储备基地(如图),它的附近有一 条公路,从基地中心 O 处向东走 1 km 是储备 基地的边界上的点 A, 接着向东再走 7 km 到达 公路上的点 B;从基地中心 O 向正北走 8 km 到达公路的另一点 C.现准备在储备基地的边界上选一点 D,修建一条由 D 通往公路 BC 的专用线 DE,求 DE 的最短距离.
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[解]

以 O 为坐标原点,OB,OC 的直线

分别为 x 轴和 y 轴,建立平面直角坐标系,则 圆 O 的方程为 x2+y2=1, 因为点 B(8,0), C(0,8), x y 所以直线 BC 的方程为8+8=1,即 x+y=8. 当点 D 选在与直线 BC 平行的直线(距 BC 较近的一条)与圆相 |0+0-8| 切所成切点处时,DE 为最短距离.此时 DE 的最小值为 2 -1=(4 2-1)km.
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求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤 (1)审题:认真审题,明确题意,从题目中抽象出几何模 型,明确已知和未知; (2)建系:建立平面直角坐标系,用坐标表示点,用方程 表示曲线,从而在实际问题中建立直线与曲线的方程; (3)求解:利用直线与圆的方程的有关知识求解问题; (4)还原:将运算结果还原到实际问题中去.
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[活学活用] 一艘轮船沿直线返回港口的途中, 接到气象台的台风预报, 台风中 心位于轮船正西 70 km 处,受影响的范围是半径为 30 km 的圆形 区域,已知港口位于台风中心正北 40 km 处,如果这艘轮船不改 变航线,那么它是否会受到台风的影响?
解:以台风中心为坐标原点,以东西方向 为 x 轴建立直角坐标系(如图所示), 其中取 10 km 为单位长度,则受台风影响的圆形 区域所对应的圆的方程为 x2+y2=9,
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港口所对应的点的坐标为(0,4), 轮船的初始位置所对应的点的 x y 坐标为(7,0),则轮船航线所在直线 l 的方程为7+4=1,即 4x 28 +7y-28=0, 圆心(0,0)到 l: 4x+7y-28=0 的距离 d= 2 4 +72 28 28 = ,因为 >3,所以直线与圆相离.故轮船不会受到台 65 65 风的影响.

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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(二十四)”

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