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2014年高中数学复习方略课时作业:6.4基本不等式(人教A版·数学理·浙江专用)


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课时提升作业(三十六)
一、选择题 1.设 0<a<b,则下列不等式中正确的是 ( (A)a<b< (B)a< (C)a< (D) < <b< <a&l

t; <b ) < <b )

2.(2013·衢州模拟)已知 f(x)=x+ -2(x<0),则 f(x)有 ( (A)最大值为 0 (C)最大值为-4 (B)最小值为 0 (D)最小值为-4

3.(2012·湖北高考)设 a,b,c∈R,则“abc=1”是“ + + ≤a+b+c”的 ( )

(A)充分条件但不是必要条件 (B)必要条件但不是充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要的条件 4.某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次, 一年的总存储费用为 4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最 小,则 x= ( )

(A)20

(B)10

(C)16

(D)8

5.(2013·绍兴模拟)若 a+b=2,则 3a+3b 的最小值是 ( (A)18 (C)2 (B)6 (D)2

)

6.(2012· 陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a<b), 其全程的平均时速为 v,则 ( (A)a<v< (C) <v< ) (B)v= (D)v= )

7.已知 x,y 均为正数,且 x≠y,则下列四个数中最大的一个是 ( (A) ( + ) (C) (B) (D)

8.(2013 ·杭州模拟 ) 已知 x>1,y>1, 且 lnx, ,lny 成等比数列,则 xy ( ) (B)有最大值 (D)有最小值 ( ) (D)2

(A)有最大值 e (C)有最小值 e

9.若 a>0,b>0,且 a+b=1,则 ab+ 的最小值为 (A)2 (B)4 (C)

10.(2013 · 余 姚 模 拟 ) 已 知 f(x)=log2(x-2), 若 实 数 m,n 满 足 f(m)+f(2n)=3,则 m+n 的最小值为 ( (A)5 二、填空题 (B)7 (C)8 ) (D)9

11.若正数 x,y 满足 x+4y=4,则 xy 的最大值为

.

12. 设 a>0,b>0, 若 lga 和 lgb 的 等 差 中 项 是 0, 则 + 的 最 小 值 是 . 的最小值为 .

13.设 x≥0,则函数 y= 14. 若 当 x>1 时 不 等 式 是 .

>m2+1 恒 成 立 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围

三、解答题 15.若 x,y∈R,且满足(x2+y2+2)(x2+y2-1)-18≤0,(1)求 x2+y2 的取值范 围.(2)求证:xy≤2. 16.(能力挑战题)东海水晶制品厂去年的年产量为 10 万件,每件水晶产 品的销售价格为 100 元,固定成本为 80 元.从今年起,工厂投入 100 万 元科技成本,并计划以后每年比上一年多投入 100 万元科技成本.预计 产量每年递增 1 万件,每件水晶产品的固定成本 g(n)与科技成本的投 入次数 n 的关系是 g(n)= 后的年利润为 f(n)万元. (1)求出 f(n)的表达式. (2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元? .若水晶产品的销售价格不变,第 n 次投入

答案解析
1.【解析】选 B.方法一:令 a=1,b=4,

则 ∴a<

=2, <

=, <b. ,a+b<2b,

方法二:∵0<a<b,∴a2<ab,∴a< ∴ <b,∴a< < <b.

【变式备选】下列结论中正确的是 ( (A)若 3a+3b≥2 ,则必有 a>0,b>0

)

(B)要使 + ≥2 成立,必有 a>0,b>0 (C)若 a>0,b>0,且 a+b=4,则 + ≤1 (D)若 ab>0,则 ≥ ,A

【解析】选 D.当 a,b∈R 时,一定有 3a>0,3b>0,必有 3a+3b≥2

错.要使 + ≥2 成立,只要 >0, >0 即可,这时只要 a,b 同号,B 错.当 a>0,b>0,且 a+b=4 时,则 + = ,由于 ab≤( 当 a>0,b>0 时,a+b≥2 > ,所以 ≤ ≥ = )2=4,所以 + = ≥1,C 错. ,而当 a<0,b<0 时,显然有

,所以当 ab>0 时,一定有

,故 D 正确.

2.【解析】选 C.∵x<0,∴-x>0, ∴x+ -2=-(-x+ )-2≤-2 -2=-4,

当且仅当-x= ,即 x=-1 时等号成立. 3.【解析】选 A.由于 + + = ≤ = .可知当

abc=1 时,可推出 + + ≤a+b+c;反之,如 a=1,b=4,c=9,满足 + + ≤ a+b+c,但 abc=1 不成立. 4.【解析】选 A.该公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,则 需要购买 次,运费为 4 万元/次,一年的总存储费用为 4x 万元,故一年

的总运费与总存储费用之和为( ·4+4x)万元. 而 ·4+4x≥2 =160,当且仅当 =4x,即 x=20 时,一年的总运

费与总存储费用之和最小. 5.【解析】选 B.3a+3b≥2 =2 =6.

6.【解析】选 A.设甲乙两地的路程为 s,则往返时间分别是 t1= ,t2= , 所以平均速度是 v= < ,即 a<v< . =, = , = ,因此 = = ,因为 a<b,所以 >a,

7.【解析】选 A.取 x=1,y=2,可得 ( + )= , 最大的是 ( + ),故选 A.

8.【解析】选 C.∵x>1,y>1,且 lnx, ,lny 成等比数列, ∴lnx·lny= ≤( ) 2,

∴lnx+lny≥1? xy≥e. 9.【思路点拨】由已知利用基本不等式得 ab 的取值范围而后换元利用 函数的单调性求解. 【解析】选 C.由 a+b=1,a>0,b>0 得 2 ≤a+b=1,∴ ≤ ,∴ab≤ .

令 ab=t,则 0<t≤ , 则 ab+ =t+ ,结合函数的图象可知 t+ 在(0, ] 上单调递减 ,故当 t= 时,t+ 有最小值为 +4= . 10. 【 解 析 】 选 B. 由 已 知 得 log2(m-2)+log2(2n-2)=3, 即 log2[(m-2)(2n-2)]=3, 因此 于是 n= +1.

所以 m+n=m+

+1=m-2+

+3≥2

+3=7.当且仅当 m-2=

,即

m=4 时等号成立,此时 m+n 取最小值 7. 11.【解析】由基本不等式可得 x+4y≥2 =4 ,于是 4 ≤4,xy≤

1,当且仅当 x=2,y= 时取等号,故 xy 的最大值为 1. 答案:1 12.【解析】由已知得 lga+lgb=0,即 ab=1,于是 + = 当且仅当 a=b=1 时取等号,故 + 的最小值是 2. 答案:2 13.【解析】y= = x+1+ 9. 答案:9 14.【思路点拨】关键是用基本不等式求 的最小值,可将其分子按照 ≥2 = =x+1+ +5,而 x≥0,所以由基本不等式可得 =a+b≥2 =2,

=4,当且仅当 x=1 时取等号,故函数的最小值等于

分母 x-1 进行配方,然后分解为 3 项,再利用基本不等式求最值. 【解析】由于 = =(x-1)+ +2≥2 +2=6,当且仅当 x=3 时

取等号,所以要使不等式恒成立,应有 m2+1<6,解得- <m< . 答案:- <m< 15.【解析】(1)(x2+y2+2)(x2+y2-1)-18≤0,即(x2+y2)2+(x2+y2)-20≤0, 有(x2+y2+5)·(x2+y2-4)≤0,因为 x2+y2+5>0,所以有 0≤x2+y2≤4. (2)由(1)知 x2+y2≤4,由基本不等式得 xy≤ ≤ =2,所以 xy≤2.

16.【解析】(1)第 n 次投入后,产量为(10+n)万件,销售价格为 100 元,

固定成本为

元,科技成本投入为 100n 万元. )-100n(n∈N*).

所以,年利润为 f(n)=(10+n)(100(2)由(1)知 f(n)=(10+n)(100=1000-80( 当且仅当 + =

)-100n

)≤520(万元). ,

即 n=8 时,利润最高,最高利润为 520 万元. 所以,从今年算起第 8 年利润最高,最高利润为 520 万元.

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