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2008年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答


2008 年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答
一、填空题(满分 40 分,每小题答对得 8 分) 1 2 题 号 答 案 N(0.5, 0.25) 3 4 5 8194

3?

3 21 7

-509031.5

3 ?1 8

1.在 P(1, 1), Q

(1, 2), M(2, 3), N(0.5, 0.25) 四个点中,能成为函数 y = ax 的图像与 其反函数的图像的公共点的只可能是 .

1 1 1 ? 1 ?2 ? 1 ? 答: 因为 0.25 ? ? ? ? ? ? ? , 且 0.25 ? ? log 1 ? log 1 0.5 , 所以 N(0.5, 0.25) 4 4 ? 16 ? ? 16 ? 16 2 16 x ?1? 可以是函数 y ? ? ? 的图像与其反函数 y ? log 1 x 的图像的公共点.易知,其余三点均不 ? 16 ? 16
可能是函数 y = ax 的图像与其反函数的图像的公共点. 2.如右图所示,ABCD 是一张长方形纸片,将 AD、BC 折起,使 A、B 两点重合于 CD 边上的点 P ,然后压平得折痕 EF 与 D GH. 若 PE=2cm, PG=1cm, EG= 7 cm. 则 长方形纸片 ABCD 的面积为 cm. 解:由对称性知:AE=PE=2cm, BG=PG=1cm,所以
C D A F P H C B

1

0.5

E

G

AB = AE+EG+GB = PE+EG+PG = 2+ 7 +1 = 3+ 7 (cm), 又由 PE=2cm,PG=1cm,EG= 7 cm,由余弦定理可知,在△PEG 中,∠EPG =120? , AD 等于△PEG 中边 EG 上的高 h,易由△PEG 的面积求得

PE ? PG sin120 2 ? 1? sin120 3 ? ? (cm). EG 7 7 所以,长方形纸片 ABCD 的面积为 3 3 3 21 (2 ? 7 ? 1) ? ? (3 ? 7) ? ? 3? (cm)2. 7 7 7
AD = h = 3.二次函数 f (x)满足 f (–10) = 9,f (–6) = 7 和 f (2) = –9,则 f (2008) = 解:设 f (x) = ax2+bx+c,则由题意可得 (1) ?9 ? 100a ? 10b ? c ? (2) ?7 ? 36a ? 6b ? c ??9 ? 4a ? 2b ? c (3) ? 由(1)减(3)得 18 = 96a – 12b,即 3 = 16a – 2b; 由(2)减(3)得 16 = 32a – 8b,即 4 = 8a – 2b; 解最后两式,得 a= – ,b= – .

5 1 . 2 8 5 7 1 以 a= – ,b= – 代入 –9 = 4a+2b+c,得 c= – . 2 2 8
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因此,二次函数 f (x) = ? x 2 ?

5 7 x ? ,所以 2 2 20082 5 ? 2008 7 f (2008) ? ? ? ? ? ?509031.5 . 8 2 2

1 8

4.如图所示,线段 OA = OB = OC =1,∠AOB = 60? ,∠BOC = 30? ,以 OA,OB, OC 为直径画 3 个圆, 两两的交点为 M, N, P, 则阴影部分的曲边三角形的面积是 . 解 : 如 图 , 连 接 AC , AN , BN , AM , BM , MP,NP,OM,ON,OP,易知∠OPA=∠OPC =90? , ∠ANO =∠BNO = 90? ,∠BMO =∠CNO = 90? ,所以 A, P, C 共线; A, N, B 共线; B, M, C 共线. 由 OA=OB=OC=1, 可知 P,M,N 分别是 AC,BC,AB 的中点,MPNB 为 平行四边形, BN=MP,BM=NP,所以 BN 与 MP 长度 相等, BM 与 NP 长度相等,因此, 曲边三角形 MPN 的面积= SMPNB = 而

1 S△ABC, 2

S△ABC = SAOCB – S△AOC = S△AOB + S△BOC – S△AOC 3 1 1 3 ?1 ? ? ? = , 4 4 2 4

所以,曲边三角形 MPN 的面积=

3 ?1 1 S△ABC = . 8 2

5.对任意正实数 x,用 F(x)表示 log2x 的整数部分,则 F(1)+ F(2)+ F(3)+?+ F(1022)+ F(1023) = . 解:对正整数 n 我们实验分析找规律: n F(n) 1 0 2,3 1 4,5,6,7 2 8,9,10,11,12,13,14,15 3 16,17,18,19,20,??,29,30,31 4 ?? ?? 规律:取值 F(1)的正整数有 1=20 个, 取值 F(2)的正整数有 2=21 个, 取值 F(3)的正整数有 4=22 个, ?? ?? 取值 F(k)的正整数有 2k–1=2F(k)个, 所以 F(1)+ F(2)+ F(3)+?+ F(1022)+ F(1023)= 0× 20+1× 21+2× 22+3× 23+?+9× 29 1 2 3 9 2 3 4 10 设 T = 1× 2 +2× 2 +3× 2 +?+9× 2 ,则 2T = 1× 2 +2× 2 +3× 2 +?+9× 2 ,于是 T = –2–22–23–?–29+9× 210 = –1022+9216=8194, 即 F(1)+ F(2)+ F(3)+?+ F(1022)+ F(1023) = 8194.

2008 年北京市中学生数学竞赛高中一年级复赛参考解答

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二、 (满分 15 分) 证明:tan3 ? tan2 ? tan1 ? tan ? tan ? tan ? tan3 ? tan2 ? tan1 ? tan ? tan ? tan .

2 tan1 ? tan 2 ? 1 ,于是 1 ? tan1 ? tan 2 ? 0 . ∵ 1 + 2 = 3, ∴ tan(1 ? 2) ? tan 3 ,


证明:1,2,3 弧度都不等于

?

1 2

1 3

1 6

1 2

1 3

1 6

+nπ , n?Z , 则 tan 1, tan 2, tan 都 3有 意 义 . 且

tan 3 ? tan 2 ? tan1 ? tan 3 ? tan 2 ? tan1 . (1) 1 1 1 ? 1 1 1 1 同理 由于 0 ? ? ? ? , tan ? tan ? 1 ,于是 1 ? tan ? tan ? 0 , 6 3 2 4 3 6 3 6 1 1 1 1 ?1 1? ∵ ∴ tan ? ? ? ? tan , ? ? , 6 3 2 6 3 2 ? ? 1 1 tan ? tan 1 1 1 1 1 1 6 3 ? tan 1 即 , ∴ tan ? tan ? tan ? tan ? tan ? tan , 1 1 2 6 3 2 2 3 6 1 ? tan ? tan 6 3
因此 因此 (1)+(2)得

t a n? 1 tan 2 ?tan, 3 1 ? t a n? 1 t a n 2

∴ tan1 ? tan 2 ? tan 3 ? tan1 ? tan 2 ? tan 3

1 1 1 1 1 1 tan ? tan ? tan ? tan ? tan ? tan . 2 3 6 2 3 6

(2)

1 1 1 1 1 1 tan3 ? tan 2 ? tan1 ? tan ? tan ? tan ? tan3 ? tan 2 ? tan1 ? tan ? tan ? tan . 2 3 6 2 3 6
三、 (满分 15 分)AB 是已知圆的一条弦,它将圆分成两部分,M 和 N 分别是两段弧的中 点,以 B 为旋转中心,将弓形 AMB 顺时针转一个角度成弓形 A1 B ,如图所示, AA1 的中 点为 P.求证: MP ? NP . 证明:取 AB 的中点 C,A1B 的中点 C1,易知 A1B=AB,于是 A1C1=AC. 连接 MC1,NC,则 MC1⊥A1B,NC⊥AB, 在未旋转时, C1 与 C 是同一点, MN 是垂直于 AB 的直径,由相交弦定理得 MC1· NC=AC· CB=AC2. 连接 PC,PC1,则 PC1 // AC, PC // AC 1 1 ,∠A1C1P =∠C1PC = ∠ACP,所以 MC1· CH=PC1· PC,即

MC1 PC1 , ? PC CN

又 ∠MC1P=90? +∠A1C1P=90? +∠ACP=∠NCP, 所以 △MC1P∽△PCN,所以∠MPC1=∠PNC.?(12 分) 设 PN 交 AB 于 K,∠C1PN =∠CKN,所以 ∠MPN =∠MPC1+ ∠C1PN =∠PNC+∠CKN=90? ,因此 MP ? NP . 四、 (满分 15 分) 定义在区间[0, 1]上的函数 f (x)满足 f (0)= f (1)=0, 且对任意的 x1, x2?[0, 1] 都有 f (

x1 ? x2 )≤f (x1)+ f (x2). 2
2008 年北京市中学生数学竞赛高中一年级复赛参考解答 第3页 共4页

(1) 证明,对任意的 x?[0, 1]都有 f (x)≥0;

≥0,所以,对任意的 x?[0, 1]都有 f (x)≥0. (2) 由 f (0)= f (1)=0,得 f (

3 )的值; 4 1 1 1 1 (3) 计算 f ( )+f ( )+?+ f ( k )+?+ f ( 2008 ). 2 4 2 2 2x 解:(1) 任取 x1= x2= x?[0, 1],则有 f ( )≤f (x)+ f (x), 即 f (x)≤2f (x),于是 f (x) 2
(2) 求 f (

f(

1 )=0,k=1, 2, 3,?, 2008. 2k 1 1 1 1 因此,f ( )+f ( )+?+ f ( k )+?+ f ( 2008 )=0. 2 4 2 2

0 ?1 1 )≤f (0)+ f (1)=0+0=0,于是 f ( )≤0. 2 2 1 1 但由(1)的结果知 f ( )≥0,所以 f ( )=0, 2 2 1 ?1 1 1 3 由 f ( )=0,f (1)=0,则 f ( 2 )≤f ( )+ f (1)=0+0=0,于是 f ( )≤0. 2 2 2 4 3 3 由(1)的结果知 f ( )≥0,所以 f ( )= 0. 4 4 1 0? 1 2 )≤f (0)+ f ( 1 )=0+0=0,于是 f ( 1 )≤0. (3) 由 f(0)=0,f ( )=0,得 f ( 2 2 2 4 1 1 1 但由(1)的结果知 f ( )≥0,所以 f ( )=f ( 2 )=0,继续求下去,可得 4 4 2

五、 (满分 15 分)北京市中学有 m (m>2)位中学生为“北京奥运会”共提交了 n 条不同 的建议,已知其中任两名学生提交的建议中至少有一条建议是相同的,也至少有一条建 议是不同的.求证:提交建议的学生数 m 不超过 2n–1. 证明:设 A 为 m 位中学生所提不同建议的集合,Ai (i=1, 2, ?, m)表示 第 i 个学生提 的建议的集合,以│X│表示集合 X 中元素的个数, X 表示 X 的补集,则│A│=n;因为任 两名学生提出的建议中都至少有一条是相同的, 也至少有一条是不同的, 所以 Ai ∩Aj ≠ ?, Ai ≠ Aj,(1≤i≤j≤m). 因为 Ai ∩ Ai =?,可以断定 Ai ? Aj (i, j ? 1,2,

, m 且 i ? j) .

如若不然,假设某个 Ai ? Aj ,由 Ai ∩ Ai =? 可得 Ai ∩Aj = ?,与 Ai ∩Aj ≠ ? 矛盾! 这样就形成了如下的 2m 个集合: A1 , A2 ,

, Am , A1 , A2 ,
n

, Am ,他们都是 A 的子集合,

且彼此不等.因为 n 个元素的集合的子集个数为 2 ,所以 2m≤2n,即 m≤2n–1. 所以,提交建议的学生数 m 不超过 2n–1. (事实上,等号可以达到,我们通过 n = 4 的情况说明,m 可以等于 24–1=8;比如: {a},{a, b},{a, c},{a, d},{a, c, d},{a, b, c},{a, b, d},{a, b, c, d} 就是一例)
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