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2016年全国高中数学联赛(四川)初赛试题及答案


2016 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)
(5 月 22 日下午 14:30——16:30)
题 目 得 分 评卷人 复核人 考生注意:1、本试卷共三大题(16 个小题) ,全卷满分 140 分. 2、用黑(蓝)色圆珠笔或钢笔作答. 3、计算器、通讯工具不准带入考场. 4、解题书写不要超过密封线. 得 分 评卷人 一、单项选择题(本大题共 6 个小题,每小

题 5 分,共 30 分) 一 二 三 13 14 15 16 总成绩

1、在 ? ABC 中,设内角 A、B、C 的对边长分别为 a,b,c ? ABC 是正三角形, 命题 p: B+C=2A,且 b+c=2a; , 命题 q: 则命题 p 是命题 q 的 A、充要条件 C、必要不充分条件 6 2、若 i 为虚数单位,复数 z ? A、-1 B、充分不必要条件 D、既不是充分条件也不是必要条件





3 1 ? i ,则 z 2016 的值是 2 2
C、 i D、1





B、-i

2 3、已知函数 f ( x) ? x ? 2tx ? t , 当 x ?[?1,1] 时,记 f ( x ) 的最小值为 m,则 m 的最大值是

【 A、-2 B、0 C、



1 D、1 4 n ( , ) 表示不超过 [ ] ,且与 n 互质的正整数的个数,则 f (100,3) ? 4、对任意正整数 n 与 k( k ? n ) , f nk k
【 A、11 B、13 C、 14 D、19 其中[x] 表示不超过实数 x 的最大整数, 【 C、 5 D、5 】 5、设数列{ an }满足: a1 ? 6, an ?1 ? [ an ? 】

5 4

3 2 an ? 2], n ? N * 4

Sn 为{ an }前 n 项和,则 S2016 的个位数字是
A、1 B、2

? 6、已知 F1 , F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且 ?F 1PF 2 ? 60 ,则该椭圆和双曲线的

离心率之积的最小值是 A、

【 B、



3 3

3 2

C、 1

D、 3

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得 分

评卷人

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)

7、在 ( x ?

4 ? 4)5 的展开式中 x3 的系数是 x

(用具体数字作答)

8、若实数 ? , ? , ? 构成以 2 为公比的等比数列, sin ? ,sin ? ,sin ? 构成等比数列,则 cos ? 的值为 9、已知正四棱锥 S-ABCD 侧棱长为 4, ? ASB= 30 ,过点 A 作截面与侧棱 SB、SC、SD 分别交于 E、F、
?

G,则截面 AEFG 周长的最小值是 10、已知 ? ABC 的外心为 O,且 2OA ? 3OB ? 4OC ? 0,则 cos ?BAC 的值是 11、实数 x, y , z , w 满足 x ? y ? z ? w ? 1 ,则 M ? xw ? 2 yw ? 3xy ? 3zw ? 4 xz ? 5 yz 的最大值是 12、对于任何集合 S,用 S 表示集合 S 中的元素个数,用 n(S)表示集合 S 的子集个数.若 A、B、C 是三个 有限集,且满足条件: ① A ? B ? 2016 ;② n( A) ? n( B) ? n(C ) ? n( A ? B ? C ) 则 A ? B ? C 的最大值是 得 分 评卷人 三、解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分)

??? ?

??? ?

??? ?

13、设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2n ? r ( r 为常数) , 记 bn ? 2(1 ? log 2 an ) (n ? N ) .
*

(1)求数列 {anbn } 的前 n 项和 Tn ; (2)若对于任意的正整数 n ,都有

1 ? bn 1 ? b1 1 ? b2 ? ?? ? ? k n ? 1 成立, b1 b2 bn

2016 年全国高中数学联赛(四川初赛)第 2 页 (共 8 页)

14、已知 a 、 b 、 c 为正实数, 求证: abc ?

a?b?c ? (a ? b ? c)(b ? c ? a)(c ? a ? b) 1 1 1 ? ? a 2 b2 c 2

15、已知抛物线 y2?2px 过定点 C(1,2),在抛物线上任取不同于点 C 的一点 A,直线 AC 与直线 y?x?3 交于点 P,过点 P 作 x 轴的平行线交抛物线于点 B. (1)求证:直线 AB 过定点; (2)求△ABC 面积的最小值.

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16、已知 a 为实数,函数 f(x)?|x2?ax|?lnx,请讨论函数 f(x)的单调性.

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2016 年全国高中数学联赛(四川)初赛试题 参考答案及评分标准
说明: 1、评阅试卷时,请依据评分标准.选择题和填空题只设 5 分和 0 分两档;其它各题的评阅,请严格按 照评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它中间档次. 2、如果考生的解答题方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评阅时可参考本评分标准适 当划分档次评分,5 分一个档次,不要再增加其它中间档次. 一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 1、A 2、D 3、C 4、C 5、A 6、B 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 7、180 8、 ?

1 2

9、 4 3

10、

1 4

11、

3 2

12、2015

三、解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分) 13、设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2n ? r ( r 为常数) , 记 bn ? 2(1 ? log 2 an ) (n ? N ) .
*

(1)求数列 {anbn } 的前 n 项和 Tn ; (2)若对于任意的正整数 n ,都有 求实数 k 的最大值. 解: (1)由条件易知 a1 ? 2 ? r, a2 ? S2 ? S1 ? 2, a3 ? S3 ? S2 ? 4 ,
2 又由 a2 ? a1a3 得 r ? ?1 .

1 ? bn 1 ? b1 1 ? b2 ? ?? ? ? k n ? 1 成立, b1 b2 bn

……5 分

于是 Sn ? 2n ? 1 .故 an ? 2n?1 , bn ? 2(1 ? log2 an ) ? 2n , anbn ? n ? 2n . 因此 Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? ?? (n ?1) ? 2n?1 ? n ? 2n ① ②

2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ?? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1

由①-②得: ?Tn ? 21 ? 22 ? ?? 2n?1 ? 2n ? n ? 2n?1 ,故 Tn ? (n ?1) ? 2n?1 ? 2 . 所以,数列 {anbn } 的前 n 项和为 Tn ? (n ?1) ? 2n?1 ? 2 (n ? N* ) . ……10 分 (2) 因为 k ?

1 ? bn 1 ? b1 1 ? b2 1 1 1? 2 1? 4 1 ? 2n , ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? b2 bn 4 2n n ? 1 b1 n ?1 2

构造 f (n) ?

1 1? 2 1? 4 1 ? 2n ? ? ?? ? , 4 2n n ?1 2
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f (n ? 1) n ? 1 1 ? 2(n ? 1) 4n2 ? 12n ? 9 ? ? ? ? 1, f (n) 4n2 ? 12n ? 8 n ? 2 2(n ? 1)
3 2, 4

……15 分

于是 { f ( n)} 严格单增,则 f ( n) 的最小值为 f (1) ? 即实数 k 的最大值是

3 2. 4

……20 分

14、已知 a 、 b 、 c 为正实数,

a?b?c ? (a ? b ? c)(b ? c ? a)(c ? a ? b) . 1 1 1 ? ? a 2 b2 c 2 a?b?c 证明: (1)先证: abc ? 1 1 1 ? ? a 2 b2 c 2
求证: abc ? 等价于证明: (ab)2 ? (bc)2 ? (ca)2 ? abc(a ? b ? c) , 令 x ? ab, y ? bc, z ? ca , 由不等式 x2 ? y 2 ? z 2 ? xy ? yz ? zx 知结论成立. (2)再证: a ? b ? c ? (a ? b ? c)(b ? c ? a)(c ? a ? b) ? ……5 分

? 1 1 1? ? 2? 2? 2 ?a b c ?

(*)

由于不等式是轮换对称的,不妨设 a ? max{a, b, c} ,则 a ? b ? c ? 0, c ? a ? b ? 0 ①当 b ? c ? a ? 0 时,结论显然成立; ②当 b ? c ? a ? 0 时,令 a ? y ? z, b ? z ? x, c ? x ? y ,

1 1 1 (b ? c ? a ) , y ? (c ? a ? b) , z ? (a ? b ? c ) , 2 2 2 故 x, y, z 均大于 0.
则x? 不等式(*)变为: 2( x ? y ? z ) ? 8 xyz[

……10 分

1 1 1 ? ? ] 2 2 ( y ? z ) ( z ? x) ( x ? y ) 2
……15 分

只需证:

1 1 1 4 4 4 ? ? ? ? ? , 2 2 yz zx xy ( y ? z ) ( z ? x) ( x ? y) 2
2

注意到: ( y ? z ) ? 4 yz ,则

4 1 ? , 2 ( y ? z) yz
……20 分

同理:

4 1 4 1 ? , ? .所以,原不等式成立. 2 2 ( z ? x) zx ( x ? y ) xy

2016 年全国高中数学联赛(四川初赛)第 6 页 (共 8 页)

15、已知抛物线 y2?2px 过定点 C(1,2),在抛物线上任取不同于点 C 的一点 A,直线 AC 与直线 y?x?3 交于点 P,过点 P 作 x 轴的平行线交抛物线于点 B. (1)求证:直线 AB 过定点; (2)求△ABC 面积的最小值. 解: (1)由抛物线 y2?2px 过定点 C(1,2), y A 可得抛物线方程为 y2?4x. 设点 A 坐标为(
2 y0 ,y0)( y0≠2), 4

C O P B

Q x

则直线 AC 的方程为 y?2?

y0 ? 2 (x?1), 2 y0 ?1 4

即 y?2?

4 (x?1), y0 ? 2 ? y0 ? 6 2 y0 ? 12 , ). y0 ? 2 y0 ? 2

与 y?x?3 联立解得 P 点坐标为(

……5 分

所以 B 点坐标为(

( y0 ? 6)2 2 y0 ? 12 , ). y0 ? 2 ( y0 ? 2)2
2 y0 ? 12 ),直线 AB 过定点 Q(3,2). y0 ? 2

2 当 y0 ?12 时,A 坐标为(3,y0),B 点坐标为(3,

2 y0 ? 12 2 y y0 y0 ? 2 ( y ? 6) 2 当 y0 ≠12 时, ≠ 0 ,直线 AB 的方程为 y ? y ? ( x ? ), 0 2 4 4 ( y0 ? 2)2 y0 ( y0 ? 6)2 ? 4 ( y0 ? 2)2
2 0

2

y0 ?

2 y0 ( y0 ? 2) ( y0 ? 2) 2 (4 x ? ) , (或: y ? y ? ( x ? ), ) y 0 0 2 2 4 y0 ? 12 y0 ?3 4 易得,直线 AB 也过定点 Q(3,2). ……10 分

化简得,y? y0?

法 2:由抛物线 y2?2px 过定点 C(1,2),可得抛物线方程为 y2?4x. 设直线 AB 的方程为 x?my?a,与抛物线方程联立得,y2?4my?4a?0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1?y2?4m,y1y2??4a, P 点坐标为 B(y2?3,y2),因为 AP 过定点 C, y ?2 y ?2 所以 2 ? 1 ,又 x1?my1?a, y2 ? 3 ? 1 x1 ? 1 所以(m?1)y1y2?(2m?4)y1?(a?1)y2?2a?6?0. ……5 分 将 y1y2??4a,y2?4m?y1 代入上式,得(?2m?3?a)y1?(2a?4m?6)?0. 即(?2m?3?a)(y1?2)?0. 因此式对任意 y1≠2 都成立,所以?2m?3?a?0,即 3?2m?a, 因此直线 x?my?a 过定点 Q(3,2). ……10 分 (2)由(1)可设直线 AB 的方程为 x?3?m(y?2), 与抛物线方程联立得 y2?4my?4(2m?3)?0.则 y1?y2?4m,y1y2?4(2m?3), S△ABC?
1 |CQ|?|y1?y2|?|y1?y2|? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ?4 (m ? 1)2 ? 2 .?? 2

所以当 m?1 时,△ABC 面积的最小值为 4 2 .

……20 分

2016 年全国高中数学联赛(四川初赛)第 7 页 (共 8 页)

16、已知 a 为实数,函数 f(x)?|x2?ax|?lnx,请讨论函数 f(x)的单调性. 解:由条件知函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) .? (???若 a≤0,则 f(x)? x2?ax?lnx, ??于是 f ?( x) ? 2 x ? a ?

1 2 x 2 ? ax ? 1 ? ,令 f ?( x) ? 0 ,得? x x

x1 ?

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ? 0 , x2 ? ?0. 4 4

所以, f ( x ) 在(0,

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 )上单调递减,在( ,?∞)上单调递增.……5 分 4 4 2 ? ? x ? ax ? ln x ,当x ≥ a 时 (2)若 a>0,则 f(x)? ? 2 ?, ? ?? x ? ax ? ln x ,当0<x<a 时

① 先讨论 g(x)?x2?ax?lnx (x≥a)的单调性. g′ (x)?2x?a? 当
a ? a2 ? 8 1 2 x2 ? ax ? 1 ? .令 g′ (x)?0,得 x? >0, 4 x x

a ? a2 ? 8 >a,即 a<1 时, 4

g(x)在(a, 当

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 )上单调递减,在( ,?∞)上单调递增; 4 4

a ? a2 ? 8 ≤a,即 a≥1 时,g(x)在(a,?∞)上单调递增. ……10 分 4 ② 再讨论当 a>0 时,h(x)??x2?ax?lnx (0<x<a)的单调性. 1 ?2 x2 ? ax ? 1 h′ (x)??2x?a? ? . x x 当??a2??≤0,即 0<a≤ 2 2 时,h′ (x)≤0,h(x)在(0, a)上单调递减;

当??a2??>0,即 a> 2 2 时, 令 h′(x)? 0,得 0 ? x1 ? 所以 h(x)在(0, 在( 综上可得: ① 当 a<1 时,f(x)在(0,
a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 )上单调递减,在( ,?∞)上单调递增; 4 4

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ? a, <a, 0 ? x2 ? 4 4

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ),( ,a)上单调递减, 4 4

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , )上单调递增. 4 4

……15 分

② 当 1≤a≤ 2 2 时,f(x)在(0, a)上单调递减,在(a,?∞)上单调递增; ③ 当 a> 2 2 时,f(x)在(0, 在(
a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ),( ,a)上单调递减, 4 4

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , ),(a,?∞)上单调递增. 4 4

……20 分

2016 年全国高中数学联赛(四川初赛)第 8 页 (共 8 页)


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