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充分条件与必要条件(2课时原创精品)


一、复习引入

一、命题: 可以判断真假的陈述句,可写成:若p则q.

二、四种命题及相互关系: 原命题 若p则q
互 否 互逆

逆命题 若q则p
互 否

互为

逆否

否命题 若 p则 q

互逆

r />逆否命题 若 q则 p

注:两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性.

二、新课 例 1:判断下列命题的真假. (1)若x>a2+b2,则x>2ab ; (2)若ab=0,则a=0. 解(1)因为若x>a2+b2 ,而a2+b2≥2ab,所以x>2ab .

真命题
(2)因为若ab=0 ,则应该有:a=0 或b=0. 所以并不能得到a一定为0. 假命题

一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以 得出q.这时,我们就说,由p可推出q,记作

p
? (1) 两个△全等

q
两个△面积相等 四边形是矩形 △中有两条边相等 x=y A∩C=B∩C x+y>8

? (2) 四边形对角线相等
? (3) △中有两个角相等

? (4) x2=y2
? (5)集合A=B

? (6) x=y

总结分类(归类), 四种类型:

(1)若x>a2+b2,则x>2ab ;

(2)若ab=0,则a=0.

1.在真命题(1)中,p足以导致q,也就是说,条件p 充分说明q成立 . 所以我们就说p是q的充分条件. 2.换个角度:“要使x>a2+b2 成立 ,就必须x>2ab成 立”, 所以,我们说:“x>2ab” 是“x>a2+b2”的必要条件. 定义 充分条件与必要条件:一般地,如果已知 p ? q 那么就说, p 是q 的充分条件(sufficient condition), q 是p 的必要条件(necessary condition).

例1: 下列“若p, 则q”形式的命题中,哪些命题 中的 p是q的充分条件? (1)若x ? 1,则x 2 ? 4 x ? 3 ? 0; (2)若f ( x) ? x,则 f ( x)为增函数; (3)若x为无理数, 则x 为无理数.
例2 : 下列“若p, 则q”形式的命题中, 哪些命题中的q是p的必要条件? (1)若x ? y,则x 2 ? y 2 ; (2)若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等; (3)若a ? b, 则ac ? bc.
2

练习:填表
p q p是q的什么条件 q是p的什么条件 必要 充分
充分 充分 必要 充分 必要 必要 必要 充分 必要 充分

y是有理数
x?5

y是实数
x?3

m+n是偶数 a?b a?0 ( x ? 1)( y ? 2) ? 0 x ? ?1且y ? 2

m,n是奇数 a?b ab ? 0

概念辨析

已知p:x∈(0,1), q:x∈(-1,3), 则条件p与q之间的逻辑关系是什么?
p是q的充分条件;q是p的必要条件.
从集合的角度来看充分条件、必要条件 (1)若A ? B, 则A是B的充分条件 (2)若B ? A, 则A是B的必要条件

探究

探究1若p是q的充分条件,则﹁p是﹁q 的什么条件?﹁p是﹁q的必要条件. 探究2若p是q的必要条件,则﹁p是﹁q 的什么条件?﹁p是﹁q的充分条件.

探究3若p不是q的充分条件,则q可能 是p的必要条件吗?p可能是q的必要条 件吗?

探究 已知p : 整数a是6的倍数,q:整数a是2和3的倍数.
那么p是q的什么条件?q又是p的什么条件?
一般地,如果既有p ? q,又有q ? p,就记作p ? q, 此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件.

如果p ? q,那么p与q互为充要条件.

练习:p:三角形的三条边相等; q:三角形的三个角相等.

例3:下列各题中,哪些 p是q的充要条件? () 1 p : b ? 0,q : 函数f ( x) ? ax 2 ? bx ? c是偶函数; (2)p : x ? 0,y ? 0,q : xy ? 0; (3) p : a ? b,q : a ? c ? b ? c.
解:在(1)(3)中,p ? q,所以(1)(3)中的p是q的充要条件. 在(2)中,q ?? p,所以(2)中的p不是q的充要条件.

从逻辑推理关系看充分条件、必要条件: 1) A B且 B A,则A是B的
充分非必要条件 必要非充分条件 既不充分也不必要条件 充分且必要条件

2)若A B且B A,则A是B的 3)若A B 且B A,则A是B的 4)A B且B A,则A是B的

例4、请用“充分不必要”、“必要不充分”、 “充要”、“既不充分也不必要”填空: 必要不充分 (1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的______条件 . 充要 (2)“同位角相等”是“两直线平行”的___条 件. 充分不必要 (3)“x=3”是“x2=9”的______条件. 既不充分也不必要 (4)“四边形的对角线相等”是“四边形为平行四

例5.在下列电路图中,闭合开关A是灯泡B亮的什么条件: 如图(1)所示,开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要 条件; 如图(2)所示,开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分 条件; 如图(3)所示,开关A闭合是灯泡B亮的 充要 条件; 如图(4)所示,开关A闭合是灯泡B亮的 条件;
既不充分也不必要

例6:已知p是q的充分条件,s是p的充 分条件,r是q 的必要条件,又是 s的充分条件,问s是q的什么条 件?p是s 的什么条件?
练习:设A,B都是C的充分条件, D是B的充分条件,D又是C的必 要条件,那么B是A的什么条件? C是D的什么条件?

补充练习 1.设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M”是 必要而不充分 “a∈N”的____________________ 条件。 x>1 2.x>2的一个必要而不充分条件是_____________ 。 必要而不充分 条件q:“直线l的斜率为-2”,则p是q的_____________ 条件。 3 5? 4. ___________ “cos? ? ? ” 是 “ ? ? 2k? ? , k ? Z”的必要而不充分 2 6 条件。 5.设p、r都是q的充分条件,s是q的充分必要条件,t是s 充分 条件, 的必要条件,t是r的充分条件,那么p是t的_______ 充要 条件。 r是t的________

3.条件p:“直线l在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍”,

6. 方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有实数根是 必要不充分条件. ac ? 0 的_________
2

?x ? y ? 4 ?x ? 2 必要不充分 条件. 7. ? 是? 的_________ ? xy ? 4 ?y ? 2
2

1 ?0, 8.已知 p : ? x ? 3x ? 2 ? 0 , q : 2 x ? x?6 充分不必要 必要不充分 则 p 是q 的 _______ 条件 , ? p 是 ? q 的 _______

条件.

例 7、 已知 p : ? x2 ? 8x ? 20 ≥ 0,q : x2 ? 2x ? 1 ? m2 ≤ 0(m ? 0) , ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围.

解:由 x2 ? 2x ? 1 ? m2 ≤ 0(m ? 0) , 得 1 ? m ≤ x ≤1 ? m(m ? 0) ,

∴ ? q 即 A= {x | x ? 1 ? m,或x ? 1 ? m(m ? 0)} ;

由不等式得 ?2 ≤ x ≤10 ,∴ ? p 即 B= {x | x ? ?2,或x ? 10} ,

∵? p 是?q 的必要不充分条件,且 m>0,∴A ? B , ?

?1 ? m ≤ ?2, ? 故 ?1 ? m ≥ 10,且不等式组中的第一、 二两个不等式不能 ?m ? 0, ?

同时取等号,解得 m≥9 为所求.

练习、若 f ( x) 是 R 上的减函数,且

f (0) ? 3, f (3) ? ?1 . 设 P ? ? x ?1 ? f ( x ? t ) ? 3? ,

充分不必要条件,则实数 t 的取值范围是(C ) (A)t≤0 (B)t≥0 (C)t≤-3 (D)t≥-3

Q = ? x f ( x ) ? ?1? , 若 “x ? P”是 “ x ? Q ” 的

【充要条件的证明】 例8 已知: ⊙O 的半径为 r ,圆心 O 到直线 l 的距离为 d . 求证: d ? r 是直线 l 与 ⊙O 相切的充要条件.
分析: p : d ? r ,

q:

直线 l 与 ⊙O 相切.

要证 p 是 q 的充要条件,就是要证明两个命题成立: ⑴充分性( p ? q ) ; ⑵必要性( p ? q )

【充要条件的找寻】
x x

例 9、 求关于 x 的方程 9 ? (4 ? a) ? 3 ? 4 ? 0 有解的 一个充要条件.

例 9.求关于 x 的方程 9x ? (4 ? a) ? 3x ? 4 ? 0 有解的一个充要条件. 法一:令 3x ? t (t ? 0) , 即求关于 t 的一元二次方程 t 2 ? (4 ? a)t ? 4 ? 0 有正根的充要条 件,
?△= (4 ? a)2 ? 16 ≥ 0 ∵4>0,∴ ? 解得 a ≤ -8 , ??(4 ? a) ? 0 ∴方程 9x ? (4 ? a) ? 3x ? 4 ? 0 有解的一个充要条件为 a ≤ -8

法 二 : 令 3x ? t (t ? 0) , 即 求 存 在 正 实 数 t 满 足
t2 ? 4 a?? ? 4 的充要条件. t t2 ? 4 ? 4 ≤ -8 (当且仅当 t ? 2 时取等号) ∵当 t ? 0 时, ? t t2 ? 4 ? 4 ≤ -8 ∴a ? ? t

练习 x x 1. 若关于 x 的方程 4 ? a ? 2 ? 4 ? 0 有实数 {a|a≤-4} 解,则实数 a 的取值范围是___________.
取值范围问题是一种常见问题类型,很多时候实 质是充要条件的确定问题. 2. 不 等 式 loga ( x2 ? 2x ? 3) ≤ ?1 在 x ? R 上 恒 成 立,则实数 a 的取值范围是(

( A) ?2, ???

( B)(1, 2]

1 (C )[ ,1) 2

C

)
1 ( D)(0, ] 2

分析:这里需要分类讨论,一步一步转化把 问题化简的能力.

1.四种关系
1) A B且 B A,则A是B的
充分非必要条件 必要非充分条件

2)若A B且B A,则A是B的 3)若A B 且B A,则A是B的 4)A B且B A,则A是B的

既不充分也不必要条件 充分且必要条件

2.充要条件的证明
3.充要条件的找寻


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