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1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理


1.1

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

一、选择题 1、现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,则不同
选法的种数是( ) A.56 5×6×5×4×3×2 C. 2 B.65 D.6×5×4×3×2

2、某地政府召集 5 家企业的负责人开会,其中甲企业有 2 人到会,其余 4 家企业各有 1 人到会,会 上有 3 人发言,则这 3 人来自 3 家不同企业的可能情况的种数为( ) A.14 B.16 C.20 D.48

3、有 4 名高中毕业生报考大学,有 3 所大学可供选择,每人只能填报一所大学,则这 4 名高中毕业
生报名的方案数为( A.12 ) B .7 C.34 D.43

4、集合 P={x,1},Q={y,1,2},其中 x,y∈{1,2,…,9}且 P?Q,把满足上述条件的一对有序整数 (x,y)作为一个点,则这样的点的个数是( ) A.9 B.14 C.15 D.21

5、二年级(1)班有学生 56 人,其中男生 38 人,从中选取 1 名男生和 1 名女生作代表参加学校组织的
社会调查团,则选取代表的方法种数为( ) A.94 B.2 128 C.684 D.56

6、 有一排 5 个信号的显示窗, 每个窗可亮红灯、 可亮绿灯、 可不亮灯, 则共可以出的不同信号有( A.25 种 B.52 种 C.35 种 D.53 种

)

7、从甲地到乙地,每天有直达汽车 4 班,从甲地到丙地,每天有 5 个班车,从丙地到乙地,每天有 3 个班车,则从甲地到乙地不同的乘车方法有( ) A.12 种 B.19 种 C.32 种 D.60 种

二、填空题 8、加工某个零件分三道工序,第一道工序有 5 人,第二道工序有 6 人,第三道工序有 4 人,从中选
3 人每人做一道工序,则选法共有________种.

9、将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使每一条棱的两端点异色,若只有五种颜色可使用,
则不同染色的方法种数为________.

10、在由 0,1,3,5 所组成的没有重复数字的四位数中,能被 5 整除的数共有________个.

三、解答题 11、书架的第一层有 6 本不同的数学书,第二层有 6 本不同的语文书,第三层有 5 本不同的英语书.
(1)从这些书中任取 1 本,有多少种不同的取法? (2)从这些书中任取 1 本数学书,1 本语文书,1 本英语书共 3 本书的不同的取法有多少种? (3)从这些书中任取 3 本,并且在书架上按次序排好,有多少种不同的排法.

12、用 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个无重复数字的比 2 000 大的四位偶数?

13、某外语组有 9 人,每人至少会英语和日语中的一门,其中 7 人会英语,3 人会日语,现要从中选 出会英语和日语的各一人,共有多少种不同的选法?

以下是答案 一、选择题 1、A [每位同学可自由选择 5 个讲座中的其中 1 个讲座,故 6 名同学的安排可分 6 步进行,每步均
有 5 种选择,因此共有 56 种不同选法.]

2、B [按题意分成两类:
第一类:甲企业有 1 人发言,有 2 种情况,另两个发言人出自其余 4 家企业,有 6 种情况, 由分步乘法计数原理知有 N1=2×6=12(种)情况; 第二类:3 人全来自其余 4 家企业,有 4 种情况. 综上可知,共有 N=N1+N2=12+4=16(种)情况.]

3、C [4 名高中毕业生报考 3 所大学,可分 4 步,每步有 3 种选择,则这 4 名高中毕业生报名的方
案数为 3× 3× 3× 3=34.]

4、B [当 x=2 时,y 可取 3,4,5,6,7,8,9,共 7 个点;
当 x=y 时,y 可取 3,4,5,6,7,8,9,共 7 个点. ∴这样的点共有 7+7=14(个).]

5、C [男生为 38 人,女生为 18 人,
第 1 步从男生 38 人中任选 1 人,有 38 种不同的选法; 第二步从女生 18 人中任选 1 人,有 18 种不同的选法. 只有上述两步完成后,才能完成从男生中和女生中各选 1 名代表这件事, 根据分步乘法计数原理共有 38×18=684(种)选取代表的方法.]

6、 C [一个窗有 3 种可能情况(红、 绿、 不亮), 每个窗出现一种情况的方法种数为 3× 3× 3× 3× 3=35(种),
即为表示的不同信号.]

7、B [从甲地到乙地有两类方案:甲地直达乙地,甲地经丙地到乙地,
共有 4+3×5=19(种)方法.]

二、填空题 8、120 9、120

解析 如右图,若先染 A 有 5 种色可选,B 有 4 种色可选,C 有 3 种色可选,D 有 2 种色可选,则不 同染色方法共有 5×4×3×2=120(种).

10、10
解析 先考虑个位和千位上的数, 个位数字是 0 的有 3×2×1=6(个),个位数字是 5 的有 2×2×1=4(个), 所以共有 10 个.

三、解答题 11、解 (1)因为共有 17 本书,从这些书中任取 1 本,共有 17 种取法.
(2)分三步:第一步,从 6 本不同的数学书中取 1 本,有 6 种取法; 第二步,从 6 本不同的语文书中取 1 本,有 6 种取法; 第三步:从 5 本不同的英语书中取 1 本,有 5 种取法. 由分步乘法计数原理知,取法总数为 N=6×6×5=180(种). (3)实际上是从 17 本书中任取 3 本放在三个不同的位置上,完成这个工作分三个步骤, 第一步:从 17 本不同的书中取 1 本,放在第一个位置,有 17 种方法; 第二步:从剩余 16 本不同的书中取 1 本,放在第二个位置,有 16 种方法; 第三步:从剩余 15 本不同的书中取 1 本,放在第三个位置,有 15 种方法; 由分步乘法计数原理知,排法总数为 N=17×16×15=4080(种).

12、解 完成这件事有三类方法:
第一类是用 0 做结尾的比 2 000 大的 4 位偶数,它可以分三步去完成: 第一步,选取千位上的数字,只有 2,3,4,5 可以选择,有 4 种选法; 第二步,选取百位上的数字,除 0 和千位上已选定的数字以外,还有 4 个数字可供选择,有 4 种选法; 第三步,选取十位上的数字,还有 3 种选法. 依据分步乘法计数原理,这类数的个数有 4×4×3=48(个); 第二类是用 2 做结尾的比 2 000 大的 4 位偶数,它可以分三步去完成:第一步,选取千位上的数字, 除去 2,1,0,只有 3 个数字可以选择,有 3 种选法;第二步,选取百位上的数字,在去掉已经确定的首尾两 数字之后,还有 4 个数字可供选择,有 4 种选法;第三步,选取十位上的数字,还有 3 种选法.依据分步 乘法计数原理,这类数的个数有 3×4×3=36(个); 第三类是用 4 做结尾的比 2 000 大的 4 位偶数,其步骤同第二类,可得有 36 个. 对以上三类结论用分类加法计数原理,可得所求无重复数字的比 2 000 大的四位偶数有 48+36+36= 120(个).

13、解 依题意得既会英语又会日语的有 7+3-9=1(人),6 人只会英语,2 人只会日语.
第一类:从只会英语的 6 人中选一人有 6 种方法,此时选会日语的有 2+1=3(种)方法. 由分步乘法计数原理可得 N1=6×3=18(种). 第二类:从既会英语又会日语的 1 人中选有 1 种方法,此时选会日语的有 2 种方法. 由分步乘法计数原理可得 N2=1×2=2(种). 综上,由分类加法计数原理可知,不同选法共有 N=N1+N2=18+2=20(种).


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