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特级教师王连笑2009年高考数学思想方法与教学专题课件(8个ppt )7.偶然与必然思想


7.或然与必然的思想 7.或然与必然的思想 (王连笑) 或然
世间的事物千姿百态,千变万化 有些事物和现象是确定的 世间的事物千姿百态 千变万化,有些事物和现象是确定的 有些事物和现象 千变万化 有些事物和现象是确定的, 模糊的或随机的. 则是不确定的.模糊的或随机的 随机现象有两个最基本的特征,一是结果的随机 则是不确定的 模糊的或随机的 随机现象有两个最基本的特征 一是结果的随机 这是偶然,二是频率的稳定性 这是必然.为了了解随机现象的规律性 性,这是偶然 二是频率的稳定性 这是必然 为了了解随机现象的规律性 产生了概 这是偶然 二是频率的稳定性,这是必然 为了了解随机现象的规律性,产生了概 率论这一数学分支. 率论这一数学分支 概率所研究的随机现象,研究的过程是在“偶然 中寻找“必然 偶然”中寻找 必然”, 概率所研究的随机现象,研究的过程是在 偶然 中寻找 必然 ,然后再用 “必然 的规律去解决 偶然 的问题,这其中所体现的数学思想就是或然与必然 必然”的规律去解决 偶然”的问题 或然与必然 必然 的规律去解决“偶然 的问题,这其中所体现的数学思想就是或然 的思想。 的思想。 随着新教材的实施,高考中对概率内容的考查已经放在了重要的位置, 随着新教材的实施,高考中对概率内容的考查已经放在了重要的位置,通过 古典概型,几何概型 条件概率,互斥事件有一个发生的概率 相互独立事件同时 几何概型,条件概率 互斥事件有一个发生的概率, 对古典概型 几何概型 条件概率 互斥事件有一个发生的概率, 发生的概率, n 次的概率以及 以及随机事件的分布列与数学 发生的概率, 次独立重复试验发生了 k 次的概率以及随机事件的分布列与数学 期望等重点内容,一方面考查基本概念和基本方法, 期望等重点内容,一方面考查基本概念和基本方法,另一方面考查在解决实际 问题中能否运用或然与必然的辩证关系,从而体现了或然与必然的思想, 或然与必然的辩证关系 或然与必然的思想 问题中能否运用或然与必然的辩证关系,从而体现了或然与必然的思想 下面的例题,可以从求古典概型 几何概型,条件概率及统计等不同的角度反 可以从求古典概型,几何概型 下面的例题 可以从求古典概型 几何概型 条件概率及统计等不同的角度反 或然与必然的数学思想 与必然的数学思想. 映或然与必然的数学思想

古典概型)(2008 北京卷 文 18)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分 北京卷,文 甲 【例 1】(古典概型 】 古典概型 四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者. 到 A B,C,D 四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者. , 求甲、 岗位服务的概率; (Ⅰ)求甲、乙两人同时参加 A岗位服务的概率; 求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率. (Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率. 分析及解 ( 记甲、 【分析及解】 Ⅰ)记甲、乙两人同时参加 A岗位服务为事件 EA ,那么
3 A3 1 P(EA) = 2 4 = , C5 A4 40

1 即甲、 即甲、乙两人同时参加 A岗位服务的概率是 . 40
4 A4 1 设甲、 (Ⅱ) 、 设甲 乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E , P(E) = 2 4 = , 那么 C5 A4 10 9 所以, 所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P(E) =1? P(E) = . 10

几何概型)(2007 海南和宁夏卷 文 ) 设有关于 x 的一元二次方程 海南和宁夏卷,文 【 例 2】(几何概型 】 几何概型 x 2 + 2ax + b 2 = 0 . 1 3 四个数中任取的一个数, , 1 , (Ⅰ)若 a 是从 0,2,四个数中任取的一个数, b 是从 0,2 三个数中任取的 一个数,求上述方程有实根的概率. 一个数,求上述方程有实根的概率. 3] 任取的一个数, 2] 任取的一个数, (Ⅱ)若 a 是从区间 [0, 任取的一个数,b 是从区间 [0, 任取的一个数,求 上述方程有实根的概率. 上述方程有实根的概率. 分析及解 有实根” 【分析及解】设事件 A 为“方程 a 2 + 2ax + b2 = 0 有实根” . 当 a > 0 , b > 0 时,方程 x 2 + 2ax + b 2 = 0 有实根的充要条件为 a ≥ b . (Ⅰ)基本事件共 12 个: (0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, . 0) (0 1) (0 2) (1 0) (11) (1 2) (2 0) (2 1) (2 2) (3 0) (31) (3 2) 的取值, 的取值. 其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值. 个基本事件, 事件 A 中包含 9 个基本事件,事件 A 发生的概率 b 9 3 为 P( A) = = . 12 4 2 (Ⅱ)试验的全部结束所构成的区域为 a>b 0 {(a,b) | 0 ≤ a ≤ 3, ≤ b ≤ 2} .
A 构 成 事 件 的 0 {(a,b) | 0 ≤ a ≤ 3, ≤ b ≤ 2,a ≥ b} .







O
图7-1

3

a

1 3 × 2 ? × 22 2 2 = 所以所求的概率为 = 3× 2 3

几何概型)把长为 米的线段分成三段, 【例 3】(几何概型 把长为 a 米的线段分成三段,能组成三角形的概率是多 】 几何概型 少? 分析及解】 【分析及解】设分成的三段为 x, y, a ? x ? y. 则 x + y < a. 如果这三段能组成三角形, 如果这三段能组成三角形,则满足 y a ? ?x + y < 2 , A ? x + y > a ? x ? y, ? a ? ? x + (a ? x ? y) > y, 解得 ? x < , F ? D 2 ? y + (a ? x ? y) > x. ? ? a ? y< , x ? O E B 2 ? S?DEF 1 所以, 图7-2 = . 所以,所求的概率为 P = S?OAB 4

次的概率)(2007 江苏卷 某气象站天气 江苏卷)某气象站天气 【例 4】(n 次独立重复试验发生了 k 次的概率 】 计算( 预报的准确率为 80%,计算(结果保留到小数点后第 2 位) : 次准确的概率; (Ⅰ)5 次预报中恰有 2 次准确的概率; 次准确的概率; (Ⅱ)5 次预报中至少有 2 次准确的概率; 次准确, 次预报准确的概率. (Ⅲ)5 次预报中恰有 2 次准确,且其中第 3 次预报准确的概率. 分析及解 ( 【分析及解】 Ⅰ) 5次预报中恰有 2 次准确的概率为 2 P (2) = C5 ×0.82 ×(1?0.8)5?2 =10×0.82 ×0.23 ≈ 0.05 . 5 (Ⅱ) 5次预报中至少有 2 次准确的概率为 1? P (0) ? P (1) 5 5
0 1 =1?C5 ×0.80 ×(1? 0.8)5?0 ?C5 ×0.81 ×(1?0.8)5?1 =1?0.00032 ? 0.0064 ≈ 0.99. (Ⅲ) 5次预报中恰有 2 次准确,且其中第 3次预报准确”的概率为 “ 次准确, 次预报准确” 1 0.8×C4 ×0.8×(1? 0.8)4?1 = 4×0.82 ×0.23 ≈ 0.02.

(互斥事件有一个发生的概率 全国Ⅰ 理文 【例 5】互斥事件有一个发生的概率 】互斥事件有一个发生的概率)(2008 全国Ⅰ卷,理文 20)已知 5 只动物 已知 只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物. 中有 1 只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果 呈阳性的即为患病动物,呈阴性即没患病.下面是两种化验方案: 呈阳性的即为患病动物,呈阴性即没患病.下面是两种化验方案: 方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止. 方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止. 方案乙: 将它们的血液混在一起化验. 方案乙:先任取 3 只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患 然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止; 病动物为这 3 只中的 1 只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结 只化验. 果呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验. 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率. 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率. 分析及解 【分析及解】设 A1 、 A2 分别表示依方案甲需化验 1 次、2 次。 B 表示依方案乙需化验 3 次; A 表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。 示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。 独立, 依题意知 A2 与 B 独立,且 A = A1 + A2 B
1 2 1 1 1 A4 1 C4 ? C2 2 P( A1 ) = 1 = , P( A2 ) = 2 = , P( B) = 3 1 = C5 5 A5 5 C5 ? C3 5 1 1 2 7 P( A) = P( A1 + A2 B) = P( A1 ) + P( A2 ) ? P( B) = + × = 5 5 5 25 8 ∴ P( A) = 1 ? P( A) = = 0.72 25

分布列与 广东卷,理 【例 6】(分布列与数学期望 】 分布列 数学期望)(2008 广东卷 理 17)随机抽取某厂的某种产品 随机抽取某厂的某种产品 200 件, 经质检, 经质检, 其中有一等品 126 件、 二等品 50 件、 三等品 20 件、 次品 4 件. 已 件一、 万元、 万元、 万元, 知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元,而 1 件 万元. 件产品的利润(单位:万元) 次品亏损 2 万元.设 1 件产品的利润(单位:万元)为 ξ . 的分布列; (Ⅰ)求 ξ 的分布列; 件产品的平均利润( 的数学期望) (Ⅱ)求 1 件产品的平均利润(即 ξ 的数学期望) ; 经技术革新后,仍有四个等级的产品, (Ⅲ)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1% ,一等品率 万元, 提高为 70% .如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元,则三等品率 最多是多少? 最多是多少? 分析及解 ( 【分析及解】 Ⅰ) ξ 的所有可能取值有 6,2,1, ? 2 ; , , , 126 50 P (ξ = 6) = = 0.63 , P (ξ = 2) = = 0.25 , 200 200 20 4 P (ξ = 1) = = 0.1 , P (ξ = ? 2) = = 0.02 . 200 200 故 ξ 的分布列为 ξ 6 2 1 ?2 0.63 0.25 0.1 0.02 P (Ⅱ) E ξ = 6 × 0.63 + 2 × 0.25 + 1 × 0.1 + ( ? 2) × 0.02 = 4.34 . (Ⅲ)设技术革新后的三等品率为 x ,则此时 1 件产品的平均利润为 E ( x ) = 6 × 0.7 + 2 × (1 ? 0.7 ? 0.01 ? x ) + ( ? 2) × 0.01 = 4.76 ? x (0 ≤ x ≤ 0.29) 依题意, 依题意, E ( x ) ≥ 4.73 ,即 4.76 ? x ≥ 4.73 ,解得 x ≤ 0.03 . 所以三等品率最多为 3%. .

海南,宁夏卷 宁夏卷,理 文 从甲 从甲、 【例 7】 茎叶图 )(2008 海南 宁夏卷 理,文)从甲、乙两品种的棉花中各抽 】 ( 根棉花的纤维长度(单位: ,结果如下 ) 结果如下: , 测了 25 根棉花的纤维长度(单位:mm) 结果如下: 甲品种: 271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 甲品种: 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品种: 284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 乙品种: 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计了如下茎叶图 由以上数据设计了如下茎叶图
甲 3 7 5 5 5 4 7 3 3 9 4 8 5 5 7 4 1 0 2 1 0 3 1 2 27 28 29 30 31 32 33 34 35 4 2 4 2 0 1 3 6 乙

8

5 6 7 3 5 5 6 8 8 2 2 4 7 9 3 6 7

根据以上茎叶图,对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较, 根据以上茎叶图,对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较,写出两个统计 结论: 结论: ① ; ② .

分析及解 ( ) 【分析及解】 1)乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均 长度( 乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度 . 甲品种棉花的纤维长度) 长度(或:乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度) (或 (2)甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散. 或:乙品 )甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散. ( 种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中(稳定) .甲品种棉花的纤维 种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中(稳定) 甲品种棉花的纤维 . 长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大) 长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大) . (3)甲品种棉花的纤维长度的中位数为 307mm,乙品种棉花的纤维长度的 ) , 中位数为 318mm. . (4)乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的,而且大多集中在中间(均值 )乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的,而且大多集中在中间( 附近) 甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值( ) 也大致对称, .甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值 附近) 甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值( 352)外,也大致对称,其分布 . 较均匀. 较均匀.

海南,宁夏卷 宁夏卷,理 , 【例 8】 方差)(2008 海南 宁夏卷 理) A B 两个投资项目的利润率分别为 】 方差) ( 根据市场分析, 随机变量 X1 和 X2.根据市场分析,X1 和 X2 的分布列分别为 X1 P 5% % 0.8 10% % 0.2 X2 P 2% % 0.2 8% % 0.5 12% % 0.3

(Ⅰ)在 A B 两个项目上各投资 100 万元,Y1 和 Y2 分别表示投资项目 A 万元, , 所获得的利润, 和 B 所获得的利润,求方差 DY1,DY2; 项目, 项目, (Ⅱ)将 x(0 ≤ x ≤100) 万元投资 A 项目,100 ? x 万元投资 B 项目, f (x) 表 项目所得利润的方差的和. 示投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和.求 f (x) 的最 小值, 为何值时, 取到最小值. (注 小值,并指出 x 为何值时, f (x) 取到最小值. 注: D(aX + b) = a2 DX ) (

【分析及解】 Ⅰ)由题设可知 Y1 和 Y2 的分布列分别为 分析及解 ( Y1 P 5 0.8 10 0.2 Y2 P 2 0.2 8 0.5 12 0.3

EY1 = 5× 0.8 +10× 0.2 = 6 , DY1 = (5 ? 6)2 × 0.8 + (10 ? 6)2 × 0.2 = 4 ,

EY2 = 2× 0.2 + 8× 0.5 +12× 0.3 = 8 ,
DY2 = (2 ? 8)2 × 0.2 + (8 ? 8)2 × 0.5 + (12 ? 8)2 × 0.3 = 12 .

? x ? ? 100 ? x ? ? x ? ? 100 ? x ? Y2 ? = ? ? DY1 + ? (Ⅱ) f (x) = D? Y1 ? + D? ? DY2 ? 100 ? ? 100 ? ? 100 ? ? 100 ? 4 4 ?x2 + 3(100 ? x)2 ? = 2 (4x2 ? 600x + 3×1002 ) , = 2? ? 100 100 600 为最小值. = 75 时, f (x) = 3 为最小值. 当x= 2× 4
2 2

湖北卷,理 在某校举行的数学竞赛中, 【例 9】 正态分布) 2006 湖北卷 理)在某校举行的数学竞赛中,全体参 】 正态分布) ( ( 赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布 N (70,100) .已知成绩在 90 分以上 含 90 分) 已知成绩在 ( 的学生有 12 名. 试问此次参赛的学生总数约为多少人? (Ⅰ)试问此次参赛的学生总数约为多少人? 名的学生, (Ⅱ)若该校计划奖励竞赛成绩排在前 50 名的学生,试问设奖的分数线约 为多少分 为多少分? 可供查阅的(部分) 可供查阅的(部分)标准正态分布表 φ ( x0 ) = P(x < x0 )

x0
1. 2 1. 3 1. 4 1. 9 2. 0 2. 1

0 0.884 9 0.903 2 0.919 2 0.971 3 0.977 2 0.982 1

1 0.886 9 0.904 9 0.920 7 0.971 9 0.977 8 0.982 6

2 0.888 8 0.906 6 0.922 2 0.972 6 0.978 3 0.983 0

3 0.890 7 0.908 2 0.923 6 0.973 2 0.978 8 0.983 4

4 0.892 5 0.909 9 0.925 1 0.973 8 0.979 3 0.983 8

5 0.894 4 0.911 5 0.926 5 0.974 4 0.979 8 0.984 2

6 0.896 2 0.913 1 0.927 8 0.975 0 0.980 3 0.984 6

7 0.898 0 0.914 7 0.929 2 0.975 6 0.980 8 0.985 0

8 0.899 7 0.916 2 0.930 6 0.976 2 0.981 2 0.985 4

9 0.901 5 0.917 7 0.931 9 0.976 7 0.981 7 0.985 7

分析及解 ( 【分析及解】 Ⅰ)设参赛学生的分数为 ξ ,因为 ξ ~ N(70,100),由条件 , , 知, P (ξ ≥ 90 ) = 1 ? P (ξ < 90 ) = 1 ? F ( 90 )

? 90 ? 70 ? = 1? Φ ? - = ? = 1 ? Φ ( 2) =1-0.9772=0.228. ? 10 ? 分以上( 这说明成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生人数约占全体参赛人数的 2.28 %, 12 因此, ≈526(人) 因此,参赛总人数约为 ( 。 0.0228 (Ⅱ)假定设奖的分数线为 x 分,则 50 ? x ? 70 ? P ( ξ ≥ x ) = 1 ? P (ξ < x ) = 1 ? F ( x ) = 1 ? Φ ? = =0.0951, , ? ? 10 ? 526 x ? 70 ? x ? 70 ? = 0.9049 ,查表得 ≈1.31,解得 x=83.1. 即 Φ? , = ? 10 ? 10 ? 故设奖得分数线约为 83.1 分。


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