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(高中用)一元二次不等式及其解法(下)


一元二次不等式及其解法
一、一元二次不等式与相应二次函数、方程的关系 判别式Δ =b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 一元二次不等式 ax2+bx+c c>0 (a>0)的解集 ax2 + bx + c < 0(a > 0) 的解集 二、基础训练 ? 有两相异实根 x1,x2 (x1<x2)

有两相同实根 x1=x2=- Δ >0 Δ =0 Δ <0

b 2a

没有实根

R

2? x ? 0 的解集是 ?x | ?4 ? x ? 2? x?4 1 1 2、不等式 ( ? x )( ? x ) ? 0 的解集为 2 3
1、不等式 3、已知集合 A={x|x2-7x+6≤0,x∈Z},B={x|2x2-x-6>0,x∈Z},则 A∩B 的子集个数为( A.16 B.32 C.15 D.8 )

4、已知(ax-1)(x-1)>0 的解集是{x|x<1 或 x>2},则实数 a 的值为________. 5、设二次不等式 ax2+bx+1>0 的解集为{x|-1<x< A.-6 B.-5 C.6 D.5

1 }, 则 ab 的值为( ) 3

提高:已知不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为{x|α <x<β ,0<α <β }, 求不等式 cx2+bx+a<0 的解集. 三、例题分析 【例 1】解下列不等式: (1)2x2+4x+3<0; 探究提高 (2)-3x2-2x+8≤0; (3)8x-1≥16x2.

解一元二次不等式的一般步骤是:(1)化标准形式;(2)确定判别式Δ 的符号;(3)若Δ ≥0,则求出该不等

式对应的二次方程的根,若Δ <0,则对应 的二次方程无根;(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集.特别地,若 一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式,则可立即写出不等式的解集. 含参数的一元二次不等式的解法 【例 2】已知不等式

ax ? 1 ? 0 (a∈R). x ?1

(1)解这个关于 x 的不等式;

(2)若 x= -a 时不等式成立,求 a 的取值范围.
1 综上所述,a<-1时,解集为 {x | ?1 ? x ? }; a



(1)原不等式等价于(ax-1)(x+1)>0.

①当a=0时,由-(x+1)>0,得x<-1;

1 ②当a>0时,不等式化为 ( x ? )( x ? 1) ? 0, a 1 解得x<-1或x> ; a 1 ③当a<0时,不等式化为 ( x ? )( x ? 1) ? 0; a 1 1 若 ? ?1, 即-1<a<0,则 ? x ? ?1; a a 1 若 ? ?1, 即a=-1,则不等式解集为空集; a 1 1 若 ? ?1, 即a<-1,则 ? 1 ? x ? . a a

a=-1时,原不等式无解; 1 -1<a<0时,解集为{x | ? x ? ?1}. a a=0时,解集为{x|x<-1}; 1 a>0时,解集为 {x | x ? ?1或x ? }. a (2)∵x=-a时不等式成立, ? a2 ?1 ? 0, 即-a+1<0, ∴ ? a ?1 ∴a>1,即a的取值范围为(1,+∞).

探究提高

(1)含参数的一元二次不等式可分为两种情形:一是二次项系数为常数,参数在一次项或常数项的位

置,此时可考虑分解因式,再对参数进行讨论,若不易分解因式,则要对判别式Δ 分类讨论,分类应不重不漏;二是 二次项系数为参数,则应考虑二次项系数是否为 0,然后再讨论二次项系数不为 0 的情形,以便确定解集的形式.注 意必须判断出相应方程的两根的大小,以便写出解集. (2)含参数不等式的解法问题,是高考的重点内容,主要考查等价转化能力和分类讨论的数学思想. 变式 1:解不等式 x2-(a+a2)x+a3>0. 解:将不等式 x2-(a+a2)x+a3>0 变形为(x-a)(x-a2)>0. 当 a<0 时,有 a< a2, 当 0<a<1 时,有 a> a2, 当 a>1 时,有 a< a2, 解集为{x|x<a 或 x> a2}; 解集为{x|x< a2 或 x>a}; 解集为{x|x<a 或 x> a2};

当 a=0 时,解集为{x|x∈R,且 x≠0}; 当 a=1 时,解集为{x|x∈R,且 x≠1}. 不等式恒成立问题 【例 3】 关于 x 的不等式 x2+ax-a+1>0 在 x∈[0,1]上恒成立,求实数 a 的取值范围. 归纳:函数式中含有两个参数,知道其中一个的范围求另一个的取值范围,常用的方法有: 1.ax2+bx+c>0 恒成立的充要条件是 a ? 0, ? ? 0或a ? b ? 0,c ? 0 ax2+bx+c<0 恒成立的充要条件是 a ? 0, ? ? 0或a ? b ? 0, c ? 0

2.分离参数法,即化为 a>f(x)恒成立或 a<f(x)恒成立. a>f(x)恒成立?a>f(x)max;a<f(x)恒成立?a<f(x)min. 练习:1、若 1<x≤2 ,不等式 ax2-2ax-1<0 恒成立,求实数 a 的取值范围. (key a≥-1) 2、已知不等式 mx2-2x-m+1<0. (1)若对所有的实数 x 不等式恒成立,求 m 的取值范围; (2)设不等式对于满足|m|≤2 的一切 m 的值都成立, 求 x 的取值范围.


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