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1.1.1集合的含义与表示


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非凡教育个性化辅导授课案
教师: 郑杨 学生 课题 时间:2016 年 月__日 段 1.1.1 集合的含义与表示

知识点 1:集合的含义(重点) 1.元素与集合: (1)元素:一般地,我们把研究对象统称为元素,常用小写拉丁字母 a,b,c ,....来表示. (2)集合: 一些元素组成的总体叫做集合, 简称为集, 常用大写拉丁字母 A,B,C , ..来表示. 注意:①集合是一个整体,已暗含“所有” “全部” “全体”的含义,因此一些对象一旦组成集 合,那么这个集合就是这些对象的全体,而并非个别对象. 2.集合相等:指构成两个集合的元素是一样的. 3.元素与集合的关系: 关系 语言描述 记法 读法 a?A 属于 a 是集合元素 A 的元素 a 属于集合 A a?A 不属于 a 不是集合元素 A 的元素 a 不属于集合 A 注意: (1)符号“ ? ” “ ? ”只是表示元素与集合之间的从属关系,不能用来表示集合与集合之 间的关系, “ ? ”和“ ? ”的开口方向指向集合.对任何元素 a 和集合 A ,在 a ? A 和 a ? A 这两种 情况中,有且只有一种成立. (2) a与{a} 的区别与联系: a 表示一个元素;{a} 表示一个集合,该集合只有一个元素 a ,它们 之间的关系是 a ? {a} . 4.常用数集及符号表示: 数集 非负整数集 (自然数集) 符号 N 注意: N与N? 的区别. 经典例题讲解 考查角度 1:集合的含义 【例题 1】下列所给的对象能构成集合的是 .(填序号) ①所有的正三角形;②比较接近 1 的数的全体;③某校高一年级 16 岁以下的学生; ④平面直角坐标系内到原点距离等于 1 的点的全体;⑤我校教职员工中的年轻人; ⑥ 2 的近似值的全体.⑦数学必修 1 课本中所有难题;⑧不超过 20 的非负数;
⑨方程 x ? 16 ? 0 在实数范围内的解;
2

正整数集

整数集

有理数集
Q

实数集

N ?或N?

Z

R

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举一反三:①下列说法正确的是( ) A.某个村子里的高个子组成一个集合 B.参加 2012 年伦敦奥运会的部分中国运动员组成一个集合 C.集合 {1, 2, 3, 4, 5}和{5, 4, 3, 2, 1} 表示同一个集合
1 1 2 0.5, , , 能组成一个含有 5 个元素的集合 D. 1, 2 3 3

②下列给出的对象中,能组成集合的是( A.一切很大的数 B.无限接近于 0 的数

) C.美丽的小女孩 D.方程 x 2 ? 1 ? 0 的实数根

考查角度 2:元素与集合的关系 【例题 2】设 S ? {x | x ? m ? n ? 2, m, n ? Z}. (1)若 a ? Z ,则是否 a ? S . (2)对 S 中的任意两个元素 x1,x2 ,是否都有 x1 ? x2 ? S , x1 ? x2 ? S 成立?

举一反三:①用符号“ ? ”或“ ? ”填空: (1)若 A 表示由所有质数组成的集合,则 1 1 N? , 9 Q, (2) ? | ?2 | 3 (3) 8

A ,2 R.
N?

A ,3

A ,9

A;

Z , ( 5 )2

N,?3

②设集合 A 为偶数集,集合 B 为奇数集,若 a ? A,b ? B ,试判断 a ? b 与 A,B 的关系.

知识点 2:集合中元素的特性 1.确定性:给定一个集合,则任何一个对象是不是这个集合的元素,必须是明确的,即要么是 该集合中的元素,要么不是,二者必居其一 . 这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集 合. 2.互异性:一个给定集合的元素之间必须是互异的,即一个集合中的任意两个元素(对象)应 该是不同的, 相同对象在构成集合时只能作为一个元素出现在集合中. 例如: 方程 x 2 ? 4 x ? 4 ? 0

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2};反过来,当 {1, 的解的集合只能写成 {2} ,而不能写成 {2, ? 1,a} 表示一个集合时,有 a ? ?1 .

3.无序性:集合与其中元素的排列顺序无关,这个性质通常用于求在两个集合相等的状况下参 数的取值. 考查角度 1:集合中元素的互异性(易错点) 在同一个集合中,不能重复出现同一个元素,因而可以根据集合中元素的互异性对集合中的元 素进行检验. 【例题 3】若集合 M 中含有三个元素 ? 2 , 3x 2 ? 3x ? 4 , x 2 ? x ? 4 ,且 2? M ,求 x 的值.

举一反三:①已知集合 B 含有两个元素 a ? 3 和 2 a ? 1 ,若 ? 3 ? B ,试求实数 a 的值.

②已知集合 A 中有三个元素 a ? 2 , 2a 2 ? 5a , 12 ,且 ? 3 ? A ,求实数 a 的值.

考查角度 2:集合中元素的无序性

b 【例题 4】 含有三个实数的集合可表示为 {a, ,1} , 也可以表示为 {a 2 , a ? b,0} , 求 a 2012 ? b 2013 的值. a

举一反三:①设集合 A 是由 1,?2, a 2 ? 1 三个元素构成的集合,集合 B 是由 1, a 2 ? 3a,0 三个元素构 成的集合,若 A ? B ,则实数 a ? .

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②已知实数 a,b ?{1,3,5,7} ,那么 A. 12 个 B. 13 个

a 的不同值有( ) b C. 16 个 D. 17 个

知识点 3:集合的三种表示方法 1.自然语言:用文字叙述的形式描述集合的方法,使用此方法要注意叙述清楚,如由所有正方
4, 6, 8} 用自然语言 形构成的集合,就是用自然语言表示的,不能叙述为“正方形”.又如集合 {2,

叙述为:大于等于 2 且小于等于 8 的偶数构成的集合. 2.列举法:

出来,并用花括号“ {}”括起来表示集合的方 法 ?定义 ? 把集合的元素一一列举 (1)列举法 ? ? ..... ,an } ?形式 ? A ? {a1,a2,
2, 3, 4} ;元素个数多且有限时,可以列举部分,中 (2)元素个数少且有限时,全部列举,如 {1, 2, 3, ... , 1000};元素 间用省略号表示,如“从 1 到 1000 的所有自然数组成的集合”可以表示为 {1, 1, 2, 3, ...}. 个数无限但有规律时,也可以类似地用省略号列举,如自然数集 N 可以表示为 {0,

注意:①元素之间用“, ” ,而不是“、 ”隔开;②元素不重复,满足元素的互异性; ③元素无顺序,满足元素的无序性.④元素不能遗漏. 3.描述法: (1) A ? {? ? ? | ? ? ?} 竖线前面表示集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,竖线后面表示集合中元素所具有的共 同特征. (2)用描述法表示集合时, 需注意此集合的代表元素及其具有的性质, 要准确理解集合的意义. 注意:①写清楚集合的代表元素,如数或点等;②不能出现未被说明的字母; ③所有描述的内容都要写在花括号内,用于描述的内容力求简洁、准确. 考查角度:一个集合的三种表示方法 【例题 5】已知 x,y,z 为非零实数,代数式 列判断正确的是(
0, ? 4} A. M ? {4,

x y z | xyz | ? ? ? 的值所组成的集合是 M ,则下 | x | | y | | z | xyz


1, ? 1, ? 4} B. M ? {4, ? 1} C. M ? {1, 0, ? 1} D. M ? {1,

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举一反三:①下列集合中,用描述法表示的,换成用列举法表示;用列举法表示的,换成用描 述法表示.

?2 x ? y ? 8 (1) {x ? Z | (2x ?1)(x ? 2)(x 2 ? 1) ? 0} ; (2) {( x, y ) | ? }; ?x ? y ? 1
(4) {x ? N ? |
6 ? Z} ; (5) {2, 4, 8, 16, 32, ....... }. 3? x

5 7 9 ...... }; (3) {3, , , , 2 3 4

(6) A ? {( x, y) | x ? y ? 5,x,y ? N}

1 2 3 4 5 (7) B ? { , , , , } . 3 4 5 6 7

②坐标平面内位于第一、三象限内的点组成的集合用描述法可表示为

.

③用适当的方法表示下列集合:

(1) A ? {( x, y) | x ? y ? 4, x ? N?,y ? N?} ;
6 ? Z | x ? N} ; (2) B ? { 1? x

(3)方程 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 13 ? 0 的所有实数根组成的集合;

综合探究-应用拓展-培优拔尖 拔尖角度 1:形异质同,形似质异的集合表示(易错点) 【例题 6】判断下列说法是否正确,正确的打“ ” ,错误的打“ (1)整数集 Z ? {x | x ? n ? 1, n ? Z} . (2) { y | y ? x 2} ? {x | y ? x} . ( ( ) )

”.

? y ? 2x (3)两条直线 y ? 2 x与y ? x ? 1 的交点构成集合 M ,集合 N ? {( x, y) | ? } ,则 M ? N . ? y ? x ?1
( ) ( ) (4) M ? {( x, y) | x ? y ? 4, x, y ? N?} ? {(0,4),(1,3),(2,2)} .

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改编:判断下列说法是否正确,正确的打“ (1) {y | y ? x2} ? {( x, y) | y ? x2} . (2) { y | y ? x 2 } ? {x | y ? x 2} . ( ( (

” ,错误的打“ ) ) ) ) )

”.

? y ? 2x ? y ? 2x (3) {x | ? } ? {( x, y) | ? }. ? y ? x ?1 ? y ? x ?1

(4) {( x, y) | x ? y ? 4, x, y ? N?} ? {( x, y) | x ? y ? 4} . ( (5) {( x | x ? y ? 4} ? { y | x ? y ? 8} . (

举一反三:①用列举法把下列集合表示出来: 9 ? N} ; (1) A ? {x ? N | 9? x 9 ? N | x ? N} ; (2) B ? { 9? x (3) C ? { y | y ? ? x 2 ? 6, x ? N, y ? N}; (4) D ? {( x, y) | y ? ? x 2 ? 6, x ? N, y ? N} ; (5) {x |
p ? x, p ? q ? 5, p ? N, q ? N?} q

(6) A ? {x || x |? 2, x ? Z}; (7) B ? {x | ( x ?1)2 ( x ? 2) ? 0} ; (8) {( x, y) | x ? y ? 4, x ? N?,y ? N?} ;

②下列各选项中的 M与P 表示同一个集合的是( A. M ? {x ? R | x 2 ?1 ? 0} ,



P ? {x | x 2 ? 0}.

B. M ? {( x, y) | y ? x 2 ? 1, x ? R} , P ? {( x, y) | x ? y 2 ? 1, y ? R} C. M ? { y | y ? t 2 ? 1, t ? R} , D. M ? {x | x ? 2k , k ? Z} ,

P ? {t | t ? ( y ?1)2 ? 1, y ? R}
P ? {x | x ? 4k ? 2, k ? Z}

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非凡教育,成就非凡! ③可以表示方程组 ?

?x ? y ? 3 的解的集合有 ? x ? y ? ?1

.

① {x ? 1, y ? 2} ;② {1,2} ;③ {(1,2)};④ {( x, y) | x ? 1或y ? 2} ;⑤ {( x, y) | x ? 1且y ? 2} ; ⑥ {( x, y) | ?

?x ? 1 } ;⑦ {( x, y) | ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 0} . y ? 2 ?

拔尖角度 2:关于集合问题的创新题(拓展点) 【例题 7】已知集合 A ? {0,1,2} ,则集合 B ? {x ? y | x ? A, y ? A} 中元素的个数是( A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 )

3, 4, 5} , B ? {( x, y) | x ? y ? A,x ? A, y ? A},则 B 中所含元素的个数为 改编:已知集合 A ? {1,2,



) A. 3

B. 6

C. 8

D. 10

举一反三:①设集合 A ? {1,2,3} , B ? {4,5} , M ? {x | x ? a ? b, a ? A, b ? B} ,则 M 中元素的个数 为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

2, 3, 4, 5} , 集 合 B ? {x ? y | x ? A, y ? A} , 则 集 合 B 中 所 含 元 素 的 个 数 为 ② 已 知 集 合 A ? {1,





A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

拔尖角度 3:含有参数的集合问题(拓展点) 【例题 8】已知集合 A ? {x | ax2 ? 3x ? 2 ? 0} ,其中 a 为常数,且 a ? R . (1)若 A 中元素个数为 0,求 a 的取值范围; (2)若 A 中只有一个元素,求 a 的值; (3)若 A 中至多只有一个元素,求 a 的取值集合.

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举一反三:①集合 A ? {x | x 2 ? ax ? b ? 0} , B ? {?4,3} . 若集合 A 与集合 B 中元素是一样的,求
a, b 的值.

②已知集合 A ? {x | ax2 ? 4ax ? 5 ? 0},试讨论集合 A 中元素的个数.

学生对于本次课的评价: ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差

学生签字:________ 教师评定: 1、学生上次作业评价: 2、学生本次上课情况评价: ○特别满意 ○特别满意 ○满意 ○满意 ○一般 ○一般 ○差 ○差 教师签字: 教务处审核:

教导主任签字:________

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