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内切球、外接球问题--原创


处理球的“内切” “外接”问题
一、球与棱柱的组合体问题:
1 正方体的内切球: 设正方体的棱长为 a ,求(1)内切球半径;(2)外接球半径;(3)与棱相切的球半径。 (1)截面图为正方形 EFGH 的内切圆,得 R ?

a ; 2

(2)与正方体各棱相切的球:球与正方体的各棱相切,切点为各棱的中点,如图 4 作截

面图,圆 O 为 正方形 EFGH 的外接圆,易得 R ?

2 a。 2

(3) 正方体的外接球:正方体的八个顶点都在球面上,如图 5,以对角面 AA 作截面图得,圆 O 为 1 矩形 AA1C1C 的外接圆,易得 R ? A1O ?

3 a。 2

图3

图4 图5

2.在球面上有四个点 P 、 A 、 B 、 C .如果 PA 、 PB 、 PC 两两互相垂直,且 PA ? PB ? PC ? a , 求这个球的表面积是______.

【构造直三角形,巧解正棱柱与球的组合问题 正棱柱的外接球,其球心定在上下底面中心连线的中点处,由球心、底面中心及底面一 顶点构成的直角三角形便可得球半径。 】
3.已知底面边长为 a 正三棱柱 ABC? A1 B1C1 的六个顶点在球 O1 上,又知球 O2 与此正三棱柱的 5 个面都 相切,求球 O1 与球 O2 的体积之比与表面积之比。 分析:先画出过球心的截面图,再来探求半径之间的关系。 解:如图 6,由题意得两球心 O1 、 O2 是重合的,过正三棱柱的一条侧棱 AA 和它们的球心作截面, 1 设正三棱柱底面边长为 a , R2 ? 则

3 a ,正三棱柱的 6

高为 h ? 2 R2 ?

3 a ,由 Rt?A1 D1O 中,得 3
图6
1

? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? 5 5 2 2 ? ? ? R1 ? ? a ? ? R2 ? ? ? 3 ? ? 3 a ? ? ? 6 a ? ? 12 a ,? R1 ? 12a ? ? ? ? ? ?
2

2

2

2

? S1 : S 2 ? R1 : R2 ? 5 : 1 , V1 : V2 ? 5 5 : 1
2 2

二 棱锥的内切、外接球问题
4 .正四面体的外接球和内切球的半径是多少? 分析:运用正四面体的二心合一性质,作出截面图,通过点、线、面关系 解之。 解:如图 1 所示,设点 O 是内切球的球心,正四面体棱长为 a .由图形的 对称性知,点 O 也是外接球的球心.设内切球半径为 r ,外接球半径为 R .

? 3 ? 6 2 ? 在 Rt?BEO 中,BO ? BE ? EO , R ? ? 即 得 ? 3 a? ? r , R ? 4 a , ? ? 得 R ? 3r
2 2 2

2

2

【点评】 由于正四面体本身的对称性可知, 内切球和外接球的两个球心是 重合的,为正四面体高的四等分点,即内切球的半径为 高),且外接球的半径 之间的关系。 5.正三棱锥 S ? ABC ,底面边长为 3,侧棱长为 2,则其外接球和内切球的半径是多少 6. 正四棱锥 S ? ABCD ,底面边长为 2,侧棱长为 3,则其外接球和内切球的半径是多少

h ( h 为正四面体的 4
图1

3h ,从而可以通过截面图中 Rt?OBE 建立棱长与半径 4

练习:
1.(球内接正四面体问题)一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一球面上, 则此球的表面积为 2. (球内接长方体问题) 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上, 且一个顶点上的三条棱的长分别为 1, 2,3,则此球的表面积为 。 3.设 P, A, B, C 是球 O 面上的四点,且 PA, PB, PC 两两互相垂直,若 PA ? PB ? PC ? a , 则球心 O 到截面 ABC 的距离是 .

4.(球内接正三棱锥问题)在正三棱锥 S ? ABC 中,侧棱 SC ? 侧面SAB ,侧棱 SC ? 2 , 则此正三棱锥的外接球的表面积为 5.(球内接棱柱问题) 若一个底面边长为

3 ,棱长为 6 的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上, 2

则此球的体积为 . 6.(正三棱柱内切球、外接球问题)一个正三棱柱恰好有一个内切球(球与三棱柱的两个底面和三个侧面 都相切)和一个外接球(球经过三棱柱的 6 个顶点),则此内切球与外接球表面积之比为 。 7. (球内接正四棱锥问题) 半径为 R 的球内接一个各棱长都相等的正四棱锥. 则四棱锥的体积为 . 8. (正三棱锥球内切问题) 正三棱锥的高为3, 底面边长为 8 3 , 正三棱锥内有一个球与其四个面相切. 则
2

球的表面积与体积分别为 . A ? BCD 的两条棱 AB ? CD ? 6 ,其余各棱长均为 5 ,求三棱锥的内切球半径. 9. 三棱锥 说明:球与正三棱锥四个面相切,实际上,球是正三棱锥的内切球,球心到正三棱锥的四个面的距离相等, 都为球半径 R .这样求球的半径可转化为求球心到三棱锥面的距离,而点面距离常可以用等体积法解决. 1

3? ;2

14? ;3

3 a ;4 6

12? ;5

9 ? ;6 2

1 : 5 ;7

2 3 R ;8 3

64 256 ?; ? 9 81

3


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