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一元二次不等式及其解法


一元二次不等式及其解法(知识讲解与典型例题)
课标要求分析:
经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。通过函数图象了解一元二次不等式与相应方程、函数的 联系。掌握求解一元二次不等式的基本方法,并能解决一些实际问题。课标建议在一元二次不等式的学习中,应注 重了解一元二次不等式的实际背景。求解一元二次不等式,首先可求出相应方程的根,然后根据相应函数的图象求 出不等式的解;也可以运用代数的方法求解。鼓励学生设计求解一元二次不等式的程序框图。

本周学习目标:
1.掌握一元二次不等式的基本解法; 2.了解一元二次不等式与相应函数,方程的联系,体会数形结合的数学思想; 3.初步掌握高次(分式)不等式、无理不等式与绝对值不等式的解法; 4.能将实际问题转化为数学问题,建立不等式模型,求解不等式。

本周学习重难点:
一元二次不等式的基本解法及与相应函数、方程的联系。

本周学习内容: 1.一元一次不等式的解法回顾
为引入一元二次不等式和梳理不等式解法作准备。

2.一元二次不等式的解法
一元二次不等式的一般形式:

由一元二次不等式的一般形式,即可发现其与二次函数和二次方程的联系, 进而可以利用函数图象得到不等式的解集。 设 , 两根为 , 。

结合图象按判别式分类归纳下表: 解集判别式

R

注意: (1) (2) 关于含参讨论注意:
1

的情形要转化为 ,

的情形; 解集的变化。

(1)对二次项系数讨论:定不等式类型、定图象(开口方向)类型; (2)对根的讨论:判别式(根的个数,交点个数)、根的分布(根的大小); (3)对解集的讨论:画函数图象草图,根据图象定解集。 (4)书写表达的规范。

3.高次(分式)不等式的解法
简单高次不等式 的解法:穿线法。

注意:系数化正,右上往左下,奇穿偶不穿。单独考虑孤立点。 (回顾变号零点存在定理,穿线法的原理还是一个数形结合的思想。)

分式不等式

:分式化整式。

一边化 0,改写成乘积式,注意分母不等于 0 的限制。特别小心“≥,≤”型的不等式。

4.无理及指对不等式的解法
无理不等式:转化思想,等价不等式(组)或数形结合









5.绝对值不等式的解法
含一个绝对值: 或 含两个或以上绝对值:零点分段法。 也可利用绝对值的几何意义或结合函数图象求解。

本周典型例题:
1.解关于 x 的不等式: (1) (2) 分析:注意对字母系数的讨论,分清谁是参数。提醒数形结合与数轴的运用。 解析:(1)不等式可整理为



,即



时,不等式解集为
2





,即



时,若

,解集为 R;若

,解集为





,即

时,不等式解集为



(2)不等式可整理为



,即



时,不等式解集为



,即



时,若

,解集为 R;若

,解集为 ;



,即

时,解集为



2.解下列一元二次不等式: (1) (3) ; ; (2) (4) ; 。

分析:熟悉一元二次不等式的基本解法,注意二次项系数的正负,化简变形,乘法公式。

解析:(1)整理得 (2)整理得 (3)整理得 (4)整理得

,解集为 ,解集为 R。



,解集为[-1,3]。 ,解集为 。

3.已知二次函数

,当

时,有

,解关于 x 的不等式



分析:考查二次函数与二次不等式的联系。深化对用函数图象解二次不等式的理解。

解析:由

时,有

,说明不等式

的解是



进而方程

的两根为



于是由根与系数的关系,

,求得
3

故不等式

即为

,解得



4.若不等式 的解集为 ,求 a 和 b 的值。 分析:考查二次方程与二次不等式的联系。注意二次项系数的正负。 解析:不等式 的解集为 ,故 。

利用二次不等式与方程的关系,



,解得

。这个解符合

,从而 a 和 b 的值均为-2。

5.若不等式 对一切 都成立,求实数 m 的取值范围。 分析:本题是较为经典的综合运用二次不等式知识的题目。不等式含有参数 m,分类讨论的思想是立刻要想到 的,首先就是要“定二次项”。而后再运用判别式的知识解题。 解析:由于二次项系数含有参数 m,故先对二次项系数进行分类讨论。 若 ,即 m=2,则不等式化为 ,对一切 都成立,故 m=2 符合题意。



时,依题意需满足 。

,解得



综上,m 的取值范围为

6.解关于 x 的不等式: (1) ;(2) ;(3)

分析:本题侧重考查含参二次不等式的解法。在前面的题目中对含参讨论有一定了解后,本题要求掌握系统的 含参讨论方法。数形结合,定开口、定△、定根(比大小)、画图、写解集。 解析: (1)若 ,则为一元一次不等式,解集为 ;



时,方程

两根为





时,则解集为





,则

,解集为





,则解集为


4



,则解集为



(2)若 m=0,则为一元一次不等式,解集为 R; 当 m≠0 时,二次项系数 , ;不等式化为 。



,则解集为





,则解集为

。 ,解集为

(3)若 k=0,不等式变形为

若 k≠0,不等式为一元二次不等式, 若 ,则 ,

方程

的根为



,且

,解集为



,则



方程

的根为



,且



解集为

若 方程

时,

, 的根为 ,解集为



时,

,解集为 R。

综上,若

,解集为

;若

,解集为



5



,解集为;若



解集为 R。

7.解关于 x 的不等式:

(1)

;(2)



(3)



(4)



分析:分式不等式转化为高次不等式,用穿线法来求解。其中要特别注意分母不为 0。 (1)原不等式等价于 (2)原不等式等价于 (3)原不等式等价于 若 若 ,则解集为 ,则解集为 , ; 。 ,解集为 ,解集为 。 。

(4)不等式可等价为 若 若 若 若 若 ,则解集为 ,解集为 ,解集为 ,解集为 ,解集为 ; . ; ; ;



8.解关于 x 的不等式: (1) ;(2) ;(3) 。

分析:利用不等式变形,但一定要注意进行的是等价变形,不能丢解。 解析:

(1)不等式等价为



,解得



6

(2)不等式等价为 (3)数形结合 设

,解得 ,要使

。 ,

即左边函数图象在右边函数图象下方, 解方程 ,

由[1], 由图得到: 当 时,不等式解集为: ;







时,不等式解集:





时,不等式解集为



9.解关于 x 的不等式:

(1)

; (2)



分析:利用指对函数的单调性,变形不等式求解。尤其要注意定义域。

解析:(1)由

为增函数,不等式变形为

,再变形为

,即

,解得



(2)原不等式等价为 所以解集为 。

10.解关于 x 的不等式: 。 分析:转化为不等式组或利用几何性质求解,通过此题熟悉绝对值不等式的基本解法。

解析:
7

故解集为



11.解关于 x 的不等式: ; 分析:含两个绝对值符号的,利用零点分段,结合图象讨论求解。 解析:



,则

,解不等式

,得解集为





,则

,解不等式

,得解集为



8


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