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平面向量的数量积及运算律


§2.3 平面向量的数量积及运算律(一)
一、自主学习 课本 P107—108,回答下列问题 1、已知两个非零向量 a 、b ,作 OA ? a, OB ? b ,则 夹角,记作 ,并规定它的范围是 称作向量 a 和 b 的 。当 ,规定零向量与任一

时,我们说向量 a 和向量 b 互相垂直,记作 向量垂直。 2、向量在轴上的正射影

a 在轴 l 上的正射影的坐标记作
所成的角为 ? ,则 a l ?| a | cos? 。 3、向量的数量积(内积)定义

,向量 a 的方向与轴 l 的

(1) (或内积) , 记作 a · 即 b, | a || b | cos< a 、b >叫做向量 a 和向量 b 的数量积 (2) 两个向量 a 与 b 的内积是一个 4、两个向量的数量积有如下重要性质 (1)如果 e 是单位向量,则 a ? e ? e ? a ? (2) a ? b ? (3) a ? a ? (4) cos< a , b >= 二、典型例题:课本 P108—109 例 1、例 2 ,且 a ? b ? 0 ? 或 | a |? (5) | a ? b |? 。 , 可以等于

。 。

例 3、三角形 ABC 的三边长均为 2,且 BC ? a, CA ? b, AB ? c ,求 a ? b ? b ? c ? c ? a 三、课堂练习:P109 练习 A、B 四、课堂小结: 五、作业: 1、有四个式子:① 0 ? a ? 0 ;② 0 ? a ? 0 ;③ 0 ? AB ? BA;④ | a ? b |?| a | ? | b | ,其中 正确命题的个数为( ) A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个

? 时, ( a 在 e 的方向上射影的数量 3 3 A、 4 3 B、4 C、 4 2 D、 8 ? 2 3、已知 | p |? 8, | q |? 4, p 和 q 的夹角为 60°,则 p ? q ? ( )
2、 已知 | a |? 8, e 为单位向量, 当它们的夹角为 A、32 B、16 C、16 3 D、8 3



4、 设 e1 , e2 是两个单位向量, 它们的夹角 60°, 则 (2e1 ? e2 ) ? (?3e1 ? 2e2 ) 等于 ( A、-8 B、



9 2

C、-

9 2

D、8 )三角形 D、等腰直角

5、在 ?ABC 中, BA ? a, BC ? b 且 a ? b <0,则 ?ABC 是( A、锐角 B、直角 C、钝角

6、已知 a ? b ? ?12 2 , | a |? 4, a 和 b 夹角为 135°,则 | b |? 7、向量 m 和 n 满足 | m |? 1, | n |? 2 ,且 m ? (m ? n) ,则 m 与 n 夹角大小为 8、已知 | a |? 6, | b |? 8 ,且 a // b ,则 a ? b = 9、已知 | a |? 3, | b |? 2, a 与 b 的夹角为 60°, c ? 3a ? 5b, d ? ma ? 3b 。 (1)当 m 为何值时, c 与 d 垂直? (2)m 为何值时, c 与 d 共线?

§2.3 平面向量的数量积及运算律(二)
一、复习 1、如何判断 a ? b ? 2、 | a |? ;cos< a , b >= ; (2) ;

二、自主学习:阅读课本 P110,填空 向量数量积的运算律: (1) (3) 。 三、典型例题:课本 P111,例 1、例 2

例 3、已知 a , b 都是非零向量, 且 a ? 3b 与 7a ? 5b 垂直,a ? 4b 与 7a ? 2b 垂直,求 a 与 b 的夹角。

例 4、已知 AC 为⊙O 一条直径, ?ABC 为圆周角,用向量法证明: ?ABC ? 90 。
?

四、课堂练习:课本 P111,练习 A、B 五、小结 六、作业 1、 | a |? 3, | b |? 5 ,且 a ? ? b 与 a ? ? b 垂直,则 ? ? ( A、 ) D、 ?

3 5

B、 ?

3 5


C、 ?

4 5

9 25

2、若 a ? b ? a ? c ,则有( A、 b ? c A、 7

B、 a , b 共线 B、 10

C、 a , c 共线 C、 13

D、不确定 )

3、已知 a , b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么 | a ? 3b |? ( D、4

4、已知 a , b 是非零向量且满足 (a ? 2b) ? a, (b ? 2a) ? b ,则 a 与 b 的夹角是( A、



? 6

B、

? 3

C、 ?

2 3

D、 ?

5 6

5、已知 | a |? 6 , | b |? 4 , a 与 b 的夹角为 60°,则 (a ? 2b) ? (a ? 3b) = 6、已知 | a |? 4 , | b |? 3 , a 与 b 的夹角为 60°,则 | a ? b |? 7、若 | a |? 4, a ? b ? 6 ,则 b 在 a 方向上的正射影的数量为
?

, | a ? b |? 。

8、在等腰直角 ?ABC 中,?C ? 90 , CA ? CB ,D 为 BC 的中点,E 是 AB 上的一点, 且 AE=2EB,求证: AD ? CE

9、已知 | a |? 3, | b |? 4 ,且 (a ? 2b) ? (2a ? b) ? 4 ,求 a 与 b 夹角 ? 余弦值的范围。

10、 非零向量 (a ? b) 与 (2a ? b) 互相垂直, 且 (a ? 2b) 与 (2a ? b) 互相垂直, 求向量 a 与 b 夹角的余弦值。

§2.3.3

向量数量积的坐标运算与度量公式

一、自主学习:课本 P112—113

填空

1 、两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积和,即若 a ? (a1 , a2 ),b ? (b1 , b2 ) ,则

a ?b ?
。 2 、 设 a ? (a1 , a2 ),b ? (b1 , b2 ) , 如 果 a ? b , 则 ;如果

a1b1 ? a 2 b2 =0,则

;对任意实数 k,向量 k ( ?b2 , b1 ) 与向量 (b1 , b2 ) 垂直。 ,

3 、 向 量 a ? (a1 , a2 ),b ? (b1 , b2 ) , 则 | a |?

cos< a , b >=
4 、 若



A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 )






AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 )







| AB |?

二、典型例题:课本 P113—114,例 1—例 4 例 5、已知三个点 A(2,1) ,B(3,2) ,D(-1,4) 。 (1)求证: AB ? AD ; (2)可使四边形 ABCD 为矩形,求点 C 的坐标,并求矩形 ABCD 两对角线所夹的锐 角。

三、随堂练习:课本 P114—115 四、小结: 五、作业

练习 A、B

1、若 a ? (3,4),b ? (5,12) ,则 a 与 b 夹角的余弦为( A、

) D、-

63 65

B、

33 65

C、-

33 65

63 65

2、 已知 A、 B、 C 是坐标平面上的三点, 其坐标分别为 A(1,2) B(4,1)C (0,?1) , 则 ?ABC 的形状为( ) A、直角三角形

B、等腰三角形

C、

等腰直角三角形 D、以上均不正确 3、设 a ? (5, y),b ? (?6,?4) 且 a ? b ? ?2 ,则 y=( A、-5 B、-7 C、5 ) D、7 )

4、若 a ? ( x,2),b ? (?3,5) ,且 a 与 b 的夹角是钝角,则实数 x 的取值范围( A、 ( ?? ,

10 ) 3

B、 ( ?? ,

10 ] 3

C、 (

10 ,?? ) 3

D、 [

10 ,?? ) 3


5、若 a ? (2,3),b ? (?4,7) ,则 a 在 b 方向上射影的数量为( A、

65 5

B、 65

C、

13 5

D、 13

6、已知 O 为原点,点 A,B 的坐标分别为 (a,0), (0, a ) ,其中常数 a>0,点 P 在线段 AB 上,且 AP ? t AB(0 ? t ? 1) ,则 OA? OP 的最大值为( A、 a B、2 a C、3 a ) D、 a 2 。 。

7、已知 a ? (2,3),b ? (?2,4) ,则 (a ? b) ? (a ? b) ? 8、已知向量 OA ? (?1,2),OB ? (3, m) ,若 OA ? OB ,则 m= 9、已知 a ? (?6,2),b ? (?2,4) ,求 a ? b, | a |,| b | ,< a , b >

10、设 a ? (m ? 1,?3),b ? (1, m ? 1) ,若 (a ? b) ? (a ? b) ,求 m 的值。

11、已知 A、B、C 是坐标平面上的三点,其坐标分别为 A(1,2) ,B(4,1) ,C(0, -1) ,求 AB ? AC 和 ?ACB 的大小,并判断 ?ABC 的形状。


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