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2.1.2空间中两条直线的位置关系


2.1.2空间中直线与直线 之间的位置关系

黑板两侧所在的直线与课桌边沿所 在直线是什么位置关系?
既非平行 又非相交

异面直线的概念
定义: 不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线. 注:概念应理解为: “经过这两条直线无法作出一个平面” . 或 :“ 不 可 能 找 到 一 个 平 面 同 时 经 过 这 两 条 直 线”.

关于异面直线的判断,你认为下列哪些正确?

(2)平面内一点与平面外一点的连线,和平面内的直 线一定是异面直线. × (3)分别在两个平面内的两条直线是异面直线.× (4)在空间既不平行也不相交的直线是异面直线.√ (5)和同一直线都是异面直线的两条直线是异面直线 (6)不在同一个平面内的两条直线是异面直线. × × (7)不可能在同一平面内的两条直线是异面直线.

(1)没有公共点的两条直线是异面直线. ×



空间中两条直线的位置关系:
①相交直线 有且仅有一个公共点 ②平行直线 在同一平面内,没有公共点 ③异面直线 不同在任何一个平面内, 没有公共点

2.空间中两条直线的位置关系分类 ①从有无公共点的角度分类: 有且仅有一个公共点------------- 相交直线 平行直线 没有公共点------------异面直线 ②从是否共面的角度分类 相交直线 共面直线----------------平行直线 异面直线 -----------------不同在任何一个平面内

两条直线的位置关系
空间中的直线与直线之间有三种位置关系:
相交直线: 同一平面内,有且只有一 个公共点; 平行直线: 同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点

共面直线

平行直线
公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行. 公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间 这个性质都适用。 公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。 符号表示:设空间中的三条直线分别为a, b, c,若

a∥ b

a∥ c

c∥ b
想一想:空间中,如果两条直线都与第三条直线垂 直,是否也有类似的规律?

问题

平行直线

已知三条直线两两平行,任取两条 直线能确定一个平面,问这三条直线能 确定几个平面? D
C

F

D
A C

F

B

E

A

B

三条平行线共面

E 三条平行线不共面

平行直线

例1 如图,空间四边形ABCD中,E,F,G, H分别是AB,BC,CD,DA的中点. 求证:四边形EFGH是平行四边形.
变式:在上例中,如果再加上条件AC=BD, A 那么四边形EFGH 是什么图形?
H

菱形
B

E
D F G C

思考:

等角定理

如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′的底面是 平行四边形,∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与 ∠B′A′D′的两边分别对应平行,这两组角 的大小关系如何 ?
C' D' B' C' D' B B'

A'
C

A'
C B

D

A

D

A

∠ADC =∠A′D′C′ ∠ADC +∠B′A′D′=1800

等角定理
定理 空间中如果两个角的两边分别对应 平行,那么这两个角相等或互补.

AC // A?C?, AB // A?B?
C

C

? A
C?

B

? A

B
C?

?

A?

B?

?

B?

A?

等角定理:空间中如果两个角的两边分别 对应平行且方向相同,那么这两个角相等.

直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引
直线a'∥a, b'∥b,把直线a'和b'所成的锐角(或直角)

叫做异面直线a和b所成的角。
b
b

为简便,O点常取 在某一直线上

? ?

O

a'

?

O'

a

平 移 法
o

0 ? ? ? 90 异面直线a和b所成的角的范围:

如果两条异面直线所成的角为直角, 就说两条直线互相垂直,记作a⊥b。
b

a'

?

a

?

O

记作:a ? b

强调:1)范围 ?

? (0, 90 ]
0

2)与O点的位置无关 ; 3)为了方便点O选取应有利于解决问题, 可取特殊点(如a 或 b上); 4)找两条异面直线所成的角,要作平行 移动(平行线),把两条异面直线所成的角,转 化为两条相交直线所成的角.

小结 求两条异面直线所成的角的一般步骤:
(1)作角:根据异面直线的定义,用平移法 (常用三角形中位线、平行四边形性质) 作出异面直线所成的角. (2)证明:证明作出的角就是要求的角或其补角. (3)计算:求角度,常利用三角形. (4)结论:若求出的角是锐角或直角, 则它就是所求异面直线所成的角; 若求出的角是钝角,则它的补角就是所求 异面直线所成的角.

例 2 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出下 列各对线段所成的角: D
1

C1

1)AB与CC1; 9 0° 2)A1 B1与AC; 4 5° 3)A1B与D1B1

A1

B1

D A B

C

6 0°

练习:AC与BD1所成的角.

9 0°

例 3 如图所示,正方体 AC1 中,E、F 分 别是 A1B1、B1C1 的中点,求异面直线 DB1 与 EF 所成角的大小. 法一:



方法一

如图所示,连接 A1C1,B1D1,并设它们相交于点

O,取 DD1 的中点 G,连接 OG,A1G,C1G. 则 OG∥B1D,EF∥A1C1. ∴∠GOA1 为异面直线 DB1 与 EF 所成的角或其补角. ∵GA1=GC1,O 为 A1C1 的中点, ∴GO⊥A1C1. ∴异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90° .

如图所示,连接 A1D,取 A1D 的中点 H,连 1 接 HE,则 HE// DB1. 2 方法二 于是∠HEF 为所求异面直线 DB1 与 EF 所成的角或其 补角. 2 3 连接 HF,设 AA1=1,则 EF= 2 ,HE= 2 , 取 A1D1 的中点 I,连接 HI,IF,则 HI⊥IF. 5 2 2 2 ∴HF =HI +IF =4. ∴HF2=EF2+HE2.∴∠HEF=90° .

法三

如图(3),在原正方体的右侧补上一个全等的正方

体,连接 B1Q,则 B1Q∥EF. 于是∠DB1Q 为异面直线 DB1 与 EF 所成的角或其补角. 通过计算,不难得到:B1D2+B1Q2=DQ2,从而异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90° .

练习2
如图,在四面体ABCD中,E,F分别是棱AD,

BC上的点,且
AB=CD=3, EF ? 3 成的角.

AE BF 1 ,已知 ? ? ED FC 2
A

, 求异面直线AB和CD所

6 0°

E
D

.M
C

B

探 究

课本P47

(1)在长方体 ABCD-A'B'C'D'中,有没有 两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线?
D?

C?
B?

A?
D

C

A

B

有,如AB和CC',AB和DD' 。

(2)如果两条平行直线中的一条与某一条直 线垂直,那么另一条直线是否也与这条直线垂直?
相交直线的垂直 垂直分为两种:

c
?
b a
垂直

异面直线的垂直

c
?

b a

(3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行?

c
?
b
a

如图,若c⊥α,则c垂直于α内所有直线, 而α内任意两条直线的关系可能是平行,也 可能是相交。 不一定


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