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1981年全国高中数学联赛试题及解答


1981 年二十五省、市、自治区中学生联合数学竞赛
1.选择题(本题满分 35 分,每题答对者得 5 分,答错者得-2 分,不答者得 0 分) ⑴ 条件甲:两个三角形的面积和两条边对应相等. 条件乙:两个三角形全等. A.甲是乙的充分必要条件 B.甲是乙的必要条件 C.甲是乙的充分条件 D.甲不是乙的必要条件,也不是乙的充分条件 ⑵ 条件甲: 1+sinθ=a. θ θ

条件乙:sin +cos =a. 2 2 A.甲是乙的充分必要条件 C.甲是乙的充分条件 B.甲是乙的必要条件 D.甲不是乙的必要条件,也不是乙的充分条件 sinα+tanα T= . cosα+cotα C.T 取正值 D.T 取值可正可负

kπ ⑶ 设 α≠ (k≠0,±1,±2,……), 2 A.T 取负值 B.T 取非负值 ⑷ 下面四个图形中,哪一个面积大?

A.△ABC:∠A=60° ,∠B=45° ,AC= 2 B.梯形:两条对角线的长度分别为 2和 3,夹角为 75° C.圆:半径为 1 D.正方形:对角线长度为 2.5 ⑸ 给出长方体 ABCD—A?B?C?D?,下列 12 条直线:AB?,BA?,CD?,DC?,AD?,DA?,BC?,CB?,AC, BD,A?C?,B?D?中有多少对异面直线? A.30 对 B.60 对 C.24 对 D.48 对 ⑹ 在坐标平面上有两个区域 M 和 N,M 是由 y≥0,y≤x 和 y≤2-x 这三个不等式确定,N 是随 t 变化 的区域,它由不等式 t≤x≤t+1 确定,t 的取值范围是 0≤t≤1 ,设 M 和 N 的公共面积是函数 f(t),则 f(t)为 1 A.-t2+t+ 2 B.-2t2+2t 1 C.1- t2 2 1 D. (t-2)2 2

⑺ 对方程 x|x|+px+q=0 进行讨论,下面结论中,哪一个是错误的? A.至多有三个实根 B.至少有一个实根 2 C.仅当 p -4q≥0 时才有实根 D.当 p<0 和 q>0 时,有三个实根 2.(本题 15 分) 下列表中的对数值有两个是错误的,请予纠正: x lgx x lgx 0.021 2a+b+c-3 6 1+a-b-c 0.27 6a-3b-2 7 2(a+c) 1.5 3a-b+c 8 3-3a-3c 2.8 1-2a+2b-c 9 4a-2b 3 2a-b 14 1-a+2b 5 a+c

3.(本题 15 分)在圆 O 内,弦 CD 平行于弦 EF,且与直径 AB 交成 45° 角,若 CD 与 EF 分别交直径 AB 于 P 和 Q,且圆 O 的半径为 1,求证: PC?QE+PD?QF<2. 4.(本题 15 分)组装甲、乙、丙三种产品,需用 A、B、C 三种零件.每件甲需用 A、B 各 2 个;每件乙 需用 B、C 各 1 个;每件丙需用 2 个 A 与 1 个 C.用库存的 A、B、C 三种零件,如组装成 p 件甲产品、q 件乙产品和 r 件丙产品,则剩下 2 个 A 和 1 个 B,但 C 恰好用完.试证:无论怎样改变甲、乙、两产品的 件数,也不能把库存的 A、B、C 三种零件都恰好用完. 5.(本题 20 分)一张台球桌形状是正六边形 ABCDEF,一个球从 AB 的中点 P 击出,击中 BC 边上的某 点 Q,并且依次碰击 CD、DE、EF、FA 各边,最后击中 AB 边上的某一点.设∠BPQ=θ,求 θ 的范围. 提示:利用入射角等于反射角的原理.
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1981 年二十五省、市、自治区中学生联合数学竞赛解答 1.选择题(本题满分 35 分,每题答对者得 5 分,答错者得-2 分,不答者得 0 分) ⑴ 条件甲:两个三角形的面积和两条边对应相等. 条件乙:两个三角形全等. A.甲是乙的充分必要条件 B.甲是乙的必要条件 C.甲是乙的充分条件 D.甲不是乙的必要条件,也不是乙的充分条件 解:乙?甲,但甲?乙,故选 B. ⑵ 条件甲: 1+sinθ=a. θ θ 条件乙:sin +cos =a. 2 2 A.甲是乙的充分必要条件 C.甲是乙的充分条件 B.甲是乙的必要条件 D.甲不是乙的必要条件,也不是乙的充分条件 1+sinθ=|a|.故选 D.

θ θ θ θ 解:由 1+sinθ=a?| sin +cos |=a;而 sin +cos =a,? 2 2 2 2 kπ ⑶ 设 α≠ (k≠0,±1,±2,……), 2 sinα+tanα T= . cosα+cotα A.T 取负值
2

B.T 取非负值

C.T 取正值

D.T 取值可正可负

sin α(cosα+1) 解:T= 2 >0,选 C. cos α(sinα+1) ⑷ 下面四个图形中,哪一个面积大? A.△ABC:∠A=60° ,∠B=45° ,AC= 2 B.梯形:两条对角线的长度分别为 2和 3,夹角为 75° C.圆:半径为 1 D.正方形:对角线长度为 2.5 1 1 解:A 中三角形面积= (3+ 3);B 中梯形面积= (3+ 3); 4 4 1 5 2 25 C 中圆面积=π,D 中正方形面积= · ( ) = .于是 B=A<D<C.选 C. 2 2 2 ⑸ 给出长方体 ABCD—A?B?C?D?,下列 12 条直线:AB?,BA?,CD?,DC?,AD?,DA?,BC?,CB?,AC, BD,A?C?,B?D?中有多少对异面直线? A.30 对 B.60 对 C.24 对 D.48 对 解:每条面上的对角线都与 5 条面上的对角线异面.故共有 5×12÷2=30 对.选 A. ⑹ 在坐标平面上有两个区域 M 和 N,M 是由 y≥0,y≤x 和 y≤2-x 这三个不等式确定,N 是随 t 变化 的区域,它由不等式 t≤x≤t+1 确定,t 的取值范围是 0≤t≤1 ,设 M 和 N 的公共面积是函数 f(t),则 f(t)为 1 A.-t2+t+ 2 B.-2t2+2t 1 C.1- t2 2 1 D. (t-2)2 2
2

y y =x

解:⊿OAB 的面积=1。 1 直角边长为 t 的等腰直角三角形面积= t2.直角边长为 2-(1+t)=1-t 的等 2 1 腰直角三角形面积= (1-t)2. 2 1 1 1 1 f(t)=1- t2- (1-t)2=1-t2+t- = +t-t2( 0≤t≤1 ).选 A. 2 2 2 2
l1 l2 A
1

O t
1

B t +1 2 y =2-x

x

2

⑺ 对方程 x|x|+px+q=0 进行讨论,下面结论中,哪一个是错误的? A.至多有三个实根 B.至少有一个实根 2 C.仅当 p -4q≥0 时才有实根 D.当 p<0 和 q>0 时,有三个实根 解:画出 y=x|x|及 y=-px-q 的图象:知 A、B 正确,C、D 错误.选 C、D. 2.(本题 15 分) 下列表中的对数值有两个是错误的,请予纠正: x lgx x lgx 0.021 2a+b+c-3 6 1+a-b-c 0.27 6a-3b-2 7 2(a+c) 1.5 3a-b+c 8 3-3a-3c 2.8 1-2a+2b-c 9 4a-2b 3 2a-b 14 1-a+2b 5 a+c

解:若 lg3=2a-b,则 lg9=4a-2b 及 lg0.27=6a-3b-2,此三个数值同时正确或错误,故此三个数值 都正确. 若 lg8=3-3a-3c,则 lg2=1-a-c,lg5=1-lg2=a+c,lg6=lg3+lg2=1+a-b-c.由于此三数同时正 确或错误,故此三个数值都正确. 于是 lg1.5=lg3-lg2=(2a-b)-(1-a-c)=3a-b+c-1 与表中 lg1.5=3a-b+c 矛盾.即 lg1.5 的数值错 误. 若 lg2.8=1-2a+2b-c,则 lg14=lg2.8+lg5=(1-2a+2b-c)+(a+c)=1-a+2b,lg0.021=lg3+lg14- lg2-3=(2a-b)+(1-a+2b)-(1-a-c)-3=2a+b+c-3,即此三个数值同时正确或错误,故此三个数值 正确.lg7=lg14-lg2=(1-a+2b)-(1-a-c)=2b+c,与表中 lg7=2a+2c 矛盾; ∴ 表中 lg1.5 与 lg7 是错误的,应为 lg1.5=3a-b+c-1,lg7=2b+c. 3.(本题 15 分)在圆 O 内,弦 CD 平行于弦 EF,且与直径 AB 交成 45° 角,若 CD 与 EF 分别交直径 AB 于 P 和 Q,且圆 O 的半径为 1,求证: PC?QE+PD?QF<2. 证明:作 OM⊥CD,垂足为 M,交 EF 于 N,设 ON=n,OM=m. 则 CM=DM= 1-m2,EN=FN= 1-n2, 本题即证( 1-m2+m)( 1-n2±n)+( 1-m2-m)( 1-n2?n)<2. 展开得, 1-m2· 1-n2±mn<1. 移项,平方得,1-m2-n2+m2n2<1?2mn+m2n2.?m2+n2>?2mn. 取“+”号时,M、N 在点 O 同侧,此时 m≠n,总之,命题成立. (当 E、F 交换位置时,且 CD、EF 在点 O 异侧时,可能有 m=n.)
C E A M O Q N F B P D

又证:PC2+PD2=(CM+OM)2+(CM-OM)2=2(CM2+OM2)=2,同理 QE2+QF2=2. ∴ 4=PC2+PD2+QE2+QF2=(PC2+QE2)+(PD2+QF2)≥2 (PC?QE+PD?QF). 等号当且仅当 PC=QE, PD=QF 时成立.但由已知,此二式不成立.故证. 4.(本题 15 分)组装甲、乙、丙三种产品,需用 A、B、C 三种零件.每件甲需用 A、B 各 2 个;每件乙 需用 B、C 各 1 个;每件丙需用 2 个 A 与 1 个 C.用库存的 A、B、C 三种零件,如组装成 p 件甲产品、q 件乙产品和 r 件丙产品,则剩下 2 个 A 和 1 个 B,但 C 恰好用完.试证:无论怎样改变甲、乙、两产品的 件数,也不能把库存的 A、B、C 三种零件都恰好用完. 解:已知即:每个甲用 A2,B2, 每个乙用 B1,C1, 每个丙用 A2, C1. ∴ 共有 A 产品 2p+2r+2 件;B 产品 2p+q+1 件;C 产品 q+r 件. 设组装 m 件甲,n 件乙,k 件丙,则用 2m+2k 件 A; 用 2m+n 件 B; 用 n+k 件 C. 如全部用完,则有 2p+2r+2=2m+2k;
3

?p+r+1=m+k. ⑴ 2p+q+1=2m+n; ⑵ q+r=n+k. ⑶ ∴⑴+⑵-⑶:3p+2=3m.这是不可能的.故证. 5.(本题 20 分)一张台球桌形状是正六边形 ABCDEF,一个球从 AB 的中点 P 击出,击中 BC 边上的某 点 Q,并且依次碰击 CD、DE、EF、FA 各边,最后击中 AB 边上的某一点.设∠BPQ=θ,求 θ 的范围. 提示:利用入射角等于反射角的原理. 解:解:只要把这个正六边形经过 5 次对称变 换.则击球时应如图所示,击球方向在∠MPN 内部 时即可. M N 设 AB=2,以 P 为原点,PB 为 x 轴正方向建立 直角坐标系, 点 M 坐标为(8, 3 3). 点 N 坐标为(10, 3 3 3 3 3 3),即 θ∈[arctan ,arctan ]. 10 8
F A PB E D C Q

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