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指数与对数函数


§2.5
教学目标
1.掌握指数运算. 2.了解指数函数模型的实际背景.

指数与指数函数

3.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 4.理解指数函数的概念、指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点.

学习内容

知识梳理
1. 根式的性质 n (1)( a)n=a(n>1,且 n∈N+). n (2)当 n 为奇数时 an=a;
? ?a ?a≥0? n 当 n 为偶数时 an=? . ? ?-a ?a<0?

2. 有理指数幂 (1)幂的有关概念 ①正整指数幂: ②零指数幂:a0=1(a≠0). 1 - ③负整指数幂:a n= n(a≠0,n∈N+). a
m m n ④正分数指数幂: a n = am(a>0,m、n∈N+,且 为既约分数). n ? m n

⑤负分数指数幂: a



1

a
(2)有理指数幂的运算法则

m n



1 n am

m (a>0,m、n∈N+,且 为既约分数). n

设 a>0,b>0,对任意有理数,α、β 有 aαaβ=aα β,


(aα)β=aαβ, (ab)α=aαbα.

1

3. 指数函数的图象与性质 y=ax a>1 0<a<1

图象

定义域 值域

(1)R (2)(0,+∞) (3)过定点(0,1)

性质

(4)当 x>0 时, y>1; x<0 时, 0<y<1 (6)在(-∞,+∞)上是增函数

(5)当 x>0 时,0<y<1;x<0 时,y>1 (7)在(-∞,+∞)上是减函数

例题讲解

题型一 指数幂的运算 3 a3b2 ab2

例1

化简:(1)

(a b ) a b

1 4

1 2

4

?

1 3

1 3

(a>0,b>0);

1 ? 27 ? 2 - (2)(- ) 3 +(0.002) 2 -10( 5-2) 1+( 2- 3)0. 8

巩 固

4 (1)化简 16x8y4(x<0,y<0)得 B.2xy D.-2x2y


(

)

A.2x2y C.4x2y ? 4ab 1?3 1 ?1 (2)( ) 2 · 1 =________. 4 - - ?0.1? 1· ?a3· b 3? 2

题型二 指数函数的图象、性质 例2 (1)函数 f(x)=ax
-b

的图象如图所示,其中 a,b 为常数,则下 ( )

列结论正确的是 A.a>1,b<0 B.a>1,b>0

2

C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 (2)若函数 f(x)= e? (e? ? ) (e 是自然对数的底数)的最大值是 m,且 f(x)是偶函数,则 m+μ=________.
2

巩 固

ex+e x (1)函数 y= x -x的图象大致为 e -e


(

)

(2)若函数 f(x)=ax-1(a>0 且 a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数 a=________.

题型三 指数函数的应用 例3 (1)k 为何值时,方程|3x-1|=k 无解?有一解?有两解?

1 (2)已知定义在 R 上的函数 f(x)=2x- |x|. 2 3 ①若 f(x)= ,求 x 的值; 2 ②若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围.

巩 固

设函数 f(x)=kax-a x(a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数.


(1)若 f(1)>0,试求不等式 f(x2+2x)+f(x-4)>0 的解集; 3 - (2)若 f(1)= ,且 g(x)=a2x+a 2x-4f(x),求 g(x)在[1,+∞)上的最小值. 2

3

综合题库

A组 1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 4 (1)( ?-4?)4=-4.
2 1

( ( ( ( ( (
- -2

) ) ) ) ) ) ( )

(2)(-1) 4 =(-1) 2 = -1. (3)函数 y=a x 是 R 上的增函数.


(4)函数 y= a x (5)函数 y=2x

2

?1

(a>1)的值域是(0,+∞).

-1

是指数函数.

1 - (6)函数 y=( )1 x 的值域是(0,+∞). 4 2. 若 a=(2+ 3) 1,b=(2- 3) 1,则(a+1) 2+(b+1)
- -

的值是

1 2 2 A.1 B. C. D. 4 2 3 3. 设函数 f(x)=a
-|x|

(a>0,且 a≠1),f(2)=4,则 B.f(-1)>f(-2) D.f(-2)>f(2)

(

)

A.f(-2)>f(-1) C.f(1)>f(2)

4. 若函数 y=(a2-1)x 在(-∞,+∞)上为减函数,则实数 a 的取值范围是__________. 5. 已知 0≤x≤2,则 y= 4
x? 1 2

-3· 2x+5 的最大值为________. B组

1. 函数 y=ax-a(a>0,且 a≠1)的图象可能是

(

)

2. 已知 a=

5-1 ,函数 f(x)=ax,若实数 m、n 满足 f(m)>f(n),则 m、n 的关系为( 2 B.m+n>0 D.m<n ( )

)

A.m+n<0 C.m>n

1 - 3. 若函数 f(x)=a|2x 4|(a>0,a≠1),满足 f(1)= ,则 f(x)的单调递减区间是 9 A.(-∞,2] B.[2,+∞)

4

C.[-2,+∞)

D.(-∞,-2] ( )

1 4. 若存在负实数使得方程 2x-a= 成立,则实数 a 的取值范围是 x-1 A.(2,+∞) C.(0,2) B.(0,+∞) D.(0,1)

5. 已知实数 a,b 满足等式 2 014a=2 015b,下列五个关系式: ①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有( A.1 个 C .3 个 6. (0.002)
? 1 2


)

B.2 个 D.4 个 -10( 5-2) 1+( 2- 3)0=________.

7. 若指数函数 y=ax 在[-1,1]上的最大值与最小值的差是 1,则底数 a=________. 8. 若函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是________. 9. 已知函数 f(x)=b· ax(其中 a,b 为常量且 a>0,a≠1)的图象经过点 A(1,6),B(3,24). (1)试确定 f(x); 1 1 (2)若不等式( )x+( )x-m≥0 在 x∈(-∞,1]上恒成立,求实数 m 的取值范围. a b

10.设 a>0 且 a≠1,函数 y=a2x+2ax-1 在[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值.

C组 1 ? ?x ?x>0?, 1. 设函数 f(x)=? 若 F(x)=f(x)+x,x∈R,则 F(x)的值域为 ( ?ex ?x≤0?, ? A.(-∞,1] C.(-∞,1]∪[2,+∞) B.[2,+∞) D.(-∞,1)∪(2,+∞) )

)

2. 若关于 x 的方程|ax-1|=2a (a>0 且 a≠1)有两个不等实根,则 a 的取值范围是( A.(0,1)∪(1,+∞) B.(0,1)

5

C.(1,+∞)

1? D.? ?0,2?

3?x 2+3a 3. 关于 x 的方程? ?2? = 5-a 有负数根,则实数 a 的取值范围为__________. 1 1 4. 已知 f(x)=( x + )x3(a>0 且 a≠1). a -1 2 (1)讨论 f(x)的奇偶性; (2)求 a 的取值范围,使 f(x)>0 在定义域上恒成立.

5. 已知定义在实数集 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期 2,且当 x∈(0,1)时,f(x)= (1)求函数 f(x)在(-1,1)上的解析式; (2)判断 f(x)在(0,1)上的单调性; (3)当 λ 取何值时,方程 f(x)=λ 在(-1,1)上有实数解?

2x . 4 +1
x

归纳总结
方法与技巧 1.判断指数函数图象上底数大小的问题,可以先通过令 x=1 得到底数的值再进行比较. 2.指数函数 y=ax (a>0,a≠1)的性质和 a 的取值有关,一定要分清 a>1 与 0<a<1. 3.对和复合函数有关的问题,要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成. 失误与防范 1.恒成立问题一般与函数最值有关,要与方程有解区别开来. 2.复合函数的问题,一定要注意函数的定义域. 3.对可化为 a2x+b· ax+c=0 或 a2x+b· ax+c≥0 (≤0)形式的方程或不等式,常借助换元法解决,但应注意换元后“新 元”的范围.

6

§2.6
教学目标

对数与对数函数

1.理解对数的概念及其运算性质, 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数; 了解对数在简化运算 中的作用. 2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点. 3.了解指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数(a>0,且 a≠1)解指数函数模型的实际背景.

学习内容

知识梳理
1. 对数的概念 一般地,对于指数式 ab=N,我们把“以 a 为底 N 的对数 b”记作 logaN,即 b=logaN(a>0,且 a≠1).其中,数 a 叫做对数的底数,N 叫做真数,读作“b 等于以 a 为底 N 的对数”. 2. 对数 logaN(a>0,且 a≠1)具有下列性质 (1)N>0; (2)loga1=0; (3)logaa=1. 3. 对数的运算法则 (1)loga(MN)=logaM+logaN; M (2)loga =logaM-logaN; N (3)logaMα=αlogaM (α∈R). 4.两个重要公式 (1)对数恒等式: a
log a N

=__N__

logaN (2)换底公式:logbN= . logab 5.对数函数的图象与性质 a>1 图 象 性 (1)定义域:(0,+∞) 0<a<1

7



(2)值域:R (3)过定点(1,0),即 x=1 时,y=0 (4)当 x>1 时,y>0;当 0<x<1 时,y<0 (6)在(0,+∞)上是增函数 (5)当 x>1 时, y<0; 当 0<x<1 时, y>0 (7)在(0,+∞)上是减函数

6. 反函数 指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称.

例题讲解

题型一 对数式的运算 例1 (1)若 x=log43,则(2x-2 x)2 等于


(

)

9 A. 4

5 10 4 B. C. D. 4 3 3 ( )

? ?log2x,x>0, 1 (2)已知函数 f(x)=? -x 则 f(f(1))+f(log3 )的值是 2 ?3 +1,x≤0, ?

7 A.5 B.3 C.-1 D. 2 1 ? ??2?x,x≥4, 已知函数 f(x)=? 则 f(2+log23)的值为________. ? ?f?x+1?,x<4,

巩 固

题型二 对数函数的图象和性质 例2 (1)函数 y=2log4(1-x)的图象大致是 ( )

(2)已知 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,设 a=f(log47),b=f( log 1 3 ),c=f(0.2
2
-0.6

),则 a,b,c 的大小关系是(

)

A.c<a<b B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c .

8

巩 固

1?-0.8 (1)已知 a=21.2,b=? ?2? ,c=2log52,则 a,b,c 的大小关系为( B.c<a<b D.b<c<a

)

A.c<b<a C.b<a<c

(2)已知函数 f(x)=loga(x+b) (a>0 且 a≠1)的图象过两点(-1,0)和(0,1),则 a=________,b=________. 题型三 对数函数的应用 例3 已知函数 f(x)=loga(3-ax).

(1)当 x∈[0,2]时,函数 f(x)恒有意义,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为 1?如果存在,试求出 a 的值;如 果不存在,请说明理由.

巩 固

已知 f(x)=log4(4x-1).

(1)求 f(x)的定义域; (2)讨论 f(x)的单调性; 1 (3)求 f(x)在区间[ ,2]上的值域. 2

综合题库

A组 1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若 log2(log3x)=log3(log2y)=0,则 x+y=5. (2)2log510+log50.25=5. (3)已知函数 f(x)=lg x,若 f(ab)=1,则 f(a2)+f(b2)=2. (4)log2x2=2log2x. (5)当 x>1 时,logax>0. (6)当 x>1 时,若 logax>logbx,则 a<b. 2. (2013· 课标全国Ⅱ)设 a=log36,b=log510,c=log714,则 A.c>b>a C.a>c>b B.b>c>a D.a>b>c ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) )

9

3.已知 x,y 为正实数,则 A.2lg
x+lg y

( B.2
lg(x+y)

)

=2lg x+2lg y

=2lg x· 2lg y

lg y C.2lg x· =2lg x+2lg y

D.2lg(xy)=2lg x· 2lg y

4. 函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________. 1? 5 . 已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数,且在 [0 ,+∞) 上为增函数, f ? ?3? = 0 ,则不等式 f( log 1 x )>0 的解集为
8

________________.

B组 1. 函数 y= 2-x 的定义域是 lg x B.{x|0<x<1 或 1<x<2} D.{x|0<x<1 或 1<x≤2} ( ) ( )

A.{x|0<x<2} C.{x|0<x≤2} 2. 函数 y=lg|x-1|的图象是

3. 已知 x=ln π,y=log52,z= e 2 ,则(

?

1

)

A.x<y<z B.z<x<y C.z<y<x D.y<z<x log x,x>0, ? ? 2 4. 设函数 f(x)=? log ?-x?,x<0, 若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是( 1 ? ? 2 A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) ( )

)

5. 函数 f(x)=loga(ax-3)在[1,3]上单调递增,则 a 的取值范围是 1? A.(1,+∞) B.(0,1) C.? ?0,3?
1 ? 1 6. 计算(lg -lg 25)÷ 100 2 =________. 4

D.(3,+∞)

?3x 1,x≤0, ? 7. 已知函数 f(x)=? 则使函数 f(x)的图象位于直线 y=1 上方的 x 的取值范围是________________. ? ?log2x,x>0,


8. 若 log2a

1+a2 <0,则 a 的取值范围是____________. 1+a

10

9. 已知函数 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的解集.

1 1 10.设 x∈[2,8]时,函数 f(x)= loga(ax)· loga(a2x)(a>0,且 a≠1)的最大值是 1,最小值是- ,求 a 的值. 2 8

C组 2 1. 设 f(x)=lg?1-x+a?是奇函数,则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是

?

?

(

)

A.(-1,0) C.(-∞,0)

B.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞) )

2. 设函数 f(x)定义在实数集上,f(2-x)=f(x),且当 x≥1 时,f(x)=ln x,则有( 1 1 A.f( )<f(2)<f( ) 3 2 1 1 C.f( )<f( )<f(2) 2 3 1 1 B.f( )<f(2)<f( ) 2 3 1 1 D.f(2)<f( )<f( ) 2 3

2 2 3. 设函数 f(x)=logax (a>0,且 a≠1),若 f(x1x2?x2 015)=8,则 f(x1 )+f(x2 2)+?+f(x2 015)=________.

4. 设 f(x)=|lg x|,a,b 为实数,且 0<a<b. (1)求方程 f(x)=1 的解; a+b (2)若 a,b 满足 f(a)=f(b),求证:a· b=1, >1. 2 a+b (3)在(2)的条件下,求证:由关系式 f(b)=2f( )所得到的关于 b 的方程 g(b)=0,存在 b0∈(3,4),使 g(b0)=0. 2

11

5. 已知函数 y= log 1 (x2-ax+a)在区间(-∞, 2)上是增函数,求 a 的取值范围.
2

归纳总结
方法与技巧 1. 对数函数的定义域及单调性 在对数式中,真数必须是大于 0 的,所以对数函数 y=logax 的定义域应为{x|x>0}.对数函数的单调性和 a 的值有 关,因而,在研究对数函数的单调性时,要按 0<a<1 和 a>1 进行分类讨论. 2. 比较幂、对数大小有两种常用方法:(1)数形结合;(2)找中间量结合函数单调性. 3. 多个对数函数图象比较底数大小的问题,可通过图象与直线 y=1 交点的横坐标进行判定. 失误与防范 1. 在运算性质 logaMα=αlogaM 中, 要特别注意条件, 在无 M>0 的条件下应为 logaMα=αloga|M|(α∈N+, 且 α 为偶数). 2. 指数函数 y=ax (a>0,且 a≠1)与对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)互为反函数,应从概念、图象和性质三个方面理 解它们之间的联系与区别. 3. 解决与对数函数有关的问题时需注意两点:(1)务必先研究函数的定义域;(2)注意对数底数的取值范围.

12


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