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2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系


2.1.2空间中直线与直线之间的位 置关系 (1)

问题:平面中不重合的两条直线有哪几种 位置关系?

空间中的两条直线呢?

相交、平行、异面

立交桥

立交桥

1、异面直线的概念

不同在任何一个平面内的两条直线叫做异 面直线。

异面直线直观图的画法
m
?

m

l

?

l

m

m

l

l

2、空间两直线的位置关系分类
(1) 从公共点的个数来看,可分为: ①有一个公共点:相交直线

②没有公共点

平行直线 异面直线

2、空间两直线的位置关系:
(1) 从公共点的个数来看,可分为: ①有一个公共点:相交直线

②没有公共点

平行直线 异面直线

(2) 从是否共面来讲,可分为: 相交直线 ①共面直线 平行直线
②异面直线.

练习1 判断正误

(1)l1 ? ? , l2 ? ? , 则l1 , l2一定是异面直线 .

(2)直线a与b为异面直线,若直线 c与直 线a平行,那么c与b也一定是异面直线 .

练习1 判断正误

(1)l1 ? ? , l2 ? ? , 则l1 , l2一定是异面直线 .

答案:(1)×

练习1 判断正误

(2)直线a与b为异面直线,若直线 c与直 线a平行,那么c与b也一定是异面直线 .
b
?

b

a

c

?

a

c

答案: (2) ×

探究:如图是一个正方体的表面展开图, 如果将它还原为正方体,那么AB,CD,EF, GH这四条线段所在直线是异面直线的有多 少对?
C G D H A B H G C E A B D

F

E F

练习2 如图所示:正方体的棱所在的直线 中,与直线A1B异面的有哪些? D1
A1 D A B C1

B1
C

练习2 如图所示:正方体的棱所在的直线 中,与直线A1B异面的有哪些?
D1 A1 D B1 C B C1

答案: D1C1、C1C、CD、

D1D、AD、B1C1

A

3、平行公理

问题:我们知道,在同一平面内,如果两 条直线都与第三条直线平行,那么这两条 直线互相平行。在空间中,是否有类似的 规律?

3、平行公理
观察 如图,正方体中, BB 1 ∥AA 1 ,


与 DD1 DD1 ∥ AA 平行吗? 1 1 ,那么 BB

3、平行公理

公理4 平行于同一条直线的两直线互相 平行. b
c a

3、平行公理 公理4 平行于同一条直线的两直线互相 平行.

b
c a

例1 在空间四边形ABCD中,E,F,G, H分别是AB,BC,CD,DA的中点。 求证:四边形EFGH是平行四边形。
A H E D B F G C

探究:
在例2中,再加上什么条件,可以得到 四边形EFGH是菱形? 分析: 在例题2的基础上 我们只需要平行四边形 的两条邻边相等。

AC=BD

4. 等角定理
问题:在平面上,我们容易证明“如果一个角的 两边和另一个角的两边分别平行,那么这两个角 相等或互补”。

在空间中,结论是否仍然成立呢?

4. 等角定理
A B D E F
C
?

?

4. 等角定理

A B
C

?

D F E

?

4. 等角定理
定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补。

5. 异面直线所成的角的定义
问题:在平面上,两条直线相交成4个角,我 们把其中不大于90°的角称为它们的夹角。

在空间中,我们同样可以考察两条直线的 夹角。那么,两条异面直线的夹角应该如 何定义呢?

5. 异面直线所成的角的定义
m
?

m?
l
m

o
l'
l

l'

?

5. 异面直线所成的角的范围
如果两条异面直线所成的角为直角,就说两条 直线互相垂直。
b
?

a'

a

O

记作:a ? b

?

两异面直线所成的角? 的范围是

例2、如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D' 中。 (1)直线BA' 和CC' 的夹角是多少? (2)哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直?

练习3
如图,已知长方体 ABCD ? A?B?C ?D?中, AB ? 2 3, AD ? 2 3, AA? ? 2.

(1) BC和A?C ?所成的角是多少度? (2)AA?和BC ?所成的角是多少度?

练习4
如图,已知长方体 ABCD ? A?B?C ?D?中, AB ? 2 3, AD ? 2 3, AA? ? 2.

(1) BC和A?C ?所成的角是多少度? (2)AA?和BC ?所成的角是多少度?

答案: (1)45°

(2)60°

课堂小结
这节课我们学习了 (1)异面直线 (2)空间中两条直线的位置关系 (3)平行公理、等角定理 (4)异面直线所成角的定义、范围及计算

作业: 《天府数学》87—88页
王新敞
奎屯 新疆


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