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《高考调研》2015届高考数学总复习(人教新课标理科)配套课件:2-2


高考调研

新课标版 ·高三数学(理)

第 2 课时

函数的定义域与值域

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2014?

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1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值 域. 2.了解简单的分段函数,并能简单应用.

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请注意!

定义域是函数的灵魂,高考中考查的定义域多以选择、填空 形 式 出 现 , 难 度 不 大 ; 有 时 也 在 解 答 题 的 某 一 小 问 当 中 进 行 考 查 ; 值域是定义域与对应法则的必然产物, 值域的考查往往与最值联 系在一起,三种题型都有,难度中等.

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1.函 数 的 定 义 域 1 () 求 定 义 域 的 步 骤 : ①写 出 使 函 数 式 有 意 义 的 不 等 式 ②解 不 等 式 (组); (注 意 用 区 间 或 集 合 的 形 式 写 出 ) ( 组) ;

③写 出 函 数 定 义 域 .

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2 () 基 本 初 等 函 数 的 定 义 域 : ①整 式 函 数 的 定 义 域 为 ②分 式 函 数 中 分 母 ③偶 次 根 式 函 数 被 开 方 式 ④一 次 函 数 、 二 次 函 数 的 定 义 域 均 为 ⑤函 数 f(x)=x0 的 定 义 域 为 ⑥指 数 函 数 的 定 义 域 为 对 数 函 数 的 定 义 域 为

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R . 不等于0 . 大于或等于0 . R . {x|x≠0} .

R . (0,+∞) .

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2.函 数 的 值 域 基 本 初 等 函 数 的 值 域 : 1 () y=kx+b(k≠0 )的 值 域 是

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R.
a>0 时 , 值 域 为

2 () y=a x 2+b x +c(a≠0 )的 值 域 是 : 当

4ac-b2 {y|y≥ 4a }

; 当 a<0 时 , 值 域 为

4ac-b2 {y|y≤ 4a }



k 3 () y=x(k≠0)的 值 域 是

{y|y≠0} . (0,+∞) .

4 () y=ax(a>0 且 a≠1 )的 值 域 是 5 () y=o lg
ax(a>0

且 a≠1 )的 值 域 是
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R .
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1.2 (0 1 3 ·

1 重庆)函数 y= 的定义域是( o lg 2?x-2? B.(2,+∞) D.2 ( 4 ,) ∪(4,+∞)

)

A.(-∞,2) C.2 ( 3 ,)
答案

∪(3,+∞)
C

解析

? > 0 , ?x-2 由题可知? ? ?x-2≠1,

所以 x>2 且 x≠3,故选 C.

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2.下表表示 y 是 x 的函数,则函数的值域是( 1 0 x 0<x<5 5≤x< y A 2 [ 5 . ,] C.0 ( 2 ,0 ] 2 3 B.N D.{2,3,4,5} 10≤x< 1 5 4 15≤x≤20 5

)

答案

D

解析 {2,3,4,5}.

由表知函数值只有

2 3 4 , 5 ,

四个数,故值域为

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3. 若 函 数 义 域 是 ( A.0 [ 1 ,] C.0 [ 1 ,)
答案

y=f(x)的 定 义 域 是

0 [ 2 ,]

, 则 函 数

f?2x? g( x) = 的 定 x-1

) B.0 [ 1 ,) ∪1 ( 4 ,]
B

D.0 ( 1 ,)

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解析 ∵y=f(x)的 定 义 域 为 ∴g(x)的 定 义 域 需 满 足 解得 0≤x<1,故选 B.

0 [ 2 ,]



? ?0≤2x≤2, ? ? ?x-1≠0.

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4.函数 y=o lg 答案

3 . 0

(x2+4x+5)的值域为________.

(-∞,0]

解析 ∴o lg
3 . 0

设 u=x2+4x+5=(x+2)2+1≥1, u≤0,即 y≤0,∴y∈(-∞,0].

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x2+3 5.函数 y= 2 的值域为________. x +2

3 2 答案 [ 2 ,+∞)
x2+3 1 2 解析 方法一:y= 2 = x +2+ 2 ≥2, x +2 x +2 ∴值域为[2,+∞).

讲评 该 解 法 是 错 的 , 因 为 当 且 仅 当 成 立 , 而 此 时 x2=-1, 这 不 可 能 . 所 以

1 x +2= 2 时等号 x +2
2

y≥2 的 结 论 是 错 的 , 此

例 告 诫 我 们 , 利 用 基 本 不 等 式 求 值 域 , 一 定 要 考 查 等 号 是 否 成 立 .
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方 法 二 : 设

1 x +2=t(t≥ 2),则 y=t+ t ,即 t2-ty+1=0,
2

∵t∈R,∴Δ=y2-4≥0,∴y≥2 或 y≤-2(舍去).
讲 评 显 然 这 种 解 法 也 是 错 的 , 问 题 也 是 出 在 等 号 上 , 因 为

当 y=2 时 , t=1?[ 2, + ∞) , 所 以 等 号 不 能 成 立 , 这 就 告 诉 我 们 , 利 用 判 别 式 法 求 值 域 时 , 要 注 意 “Δ≥0”中 的 等 号 能 否 成 立 ,

若 等 号 成 立 时 , 对 应 自 变 量 的 取 值 在 其 定 义 域 内 , 则 此 法 正 确 , 否 则 , 此 法 失 效 .
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方 法 三 : 令

1 1 2 x +2=t(t≥ 2), 则 y=t+ t =( t- ) +2≥2, t
2

此解法仍是错的,原因也是出在等号不成立上.
讲评 总之利用基本不等式法、 判别式法、 配方法求值域时,

都要考查“等号”能否成立.

1 方法四:易证 y=t+ t 在 t≥ 2时是增函数,所以 t= 2时, 3 3 yn m i = 2 2,故 y∈[2 2,+∞).

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1 例1 1 () 函数 y= 的定义域为________. o lg 5.0 ?x-1?
【解析】 由 o lg 义域为1 ( 2 ,) .
5 . 0

(x-1 > )0

,得 0<x-1 < 1 ,∴1<x<2,∴定

【答案】 1 ( 2 ,)

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1 2 () 函数 y= (a>0 且 a≠1)的定义域为________. o lg a?x-1?
【解析】 当 a>1 时,由 o lg 当 0<a<1 时,由 o lg ∴函 数 的 定 义 域 : 当
【答案】

> )0 a(x-1

,得 x-1 > 1 ,∴x> 2 .

> )0 a(x-1

,得 0<x-1 < 1 ,∴1<x< 2 . .

a>1 时为(2, +∞); 当 0<a<1 时为1 ( 2 ,)

当 a>1 时为(2,+∞);当 0<a<1 时为1 ( 2 ,)

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x+2x2 3 () 函数 f(x)= 的定义域为________. lg?|x|-x?

【解析】 要使函数 f(x)有 意 义 , 必 须 使 ?x+2x2≥0, ? ?|x|-x>0, ?|x|-x≠1, ? 1 解得 x<-2.

1 ∴函数 f(x)的定义域为{x|x<-2}. 1 【答案】 {x|x<-2}
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探 究 1 1 () 给 定 函 数 的 解 析 式 , 求 函 数 的 定 义 域 的 依 据 是 基 本 代 数 式 的 意 义 , 如 分 式 的 分 母 不 等 于 零 , 偶 次 根 式 为 非 负 数 , 零 指 数 幂 的 底 数 不 为 零 , 对 数 的 真 数 大 于 零 且 底 数 为 不 等 于 1的 正 数 以 及 三 角 函 数 的 定 义 等 . 2 () 求 函 数 的 定 义 域 往 往 归 结 为 解 不 等 式 组 的 问 题 . 在 解 不 等 式 组 时 要 细 心 , 取 交 集 时 可 借 助 数 轴 , 并 且 要 注 意 端 点 值 或 边 界 值 . 的 被 开 方 数

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思考题 1 求函数 y= 25-x2+g lc o s
【解析】
2 ? ?25-x ≥0, 由? ? o s x>0, ?c

x的 定 义 域 .

? ?-5≤x≤5, 得? π π 2kπ-2<x<2kπ+2.?k∈Z? ? ? 3 π π 3π 所以函数的定义域为[-5,-2π)∪(-2,2)∪( 2 ,5].

3 π π 3π 【答案】 [-5,-2π)∪(-2,2)∪( 2 ,5]
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例2 1 () 已知 y=f(x)的 定 义 域 为 域. 2 () 已知 y=fo l ( g
【 解 析 】

1 [ 2 ,]

, 求 y=f(3x-1)的定义

定 义 域 为 2 x) 的

1 [ 2 ,]

,求 y=f(x)的定义域.

2 1 () 由 1≤3x-1≤2, 得 3≤x≤1 . 2 [3,1 ]. . 2x≤1 .

∴y=f(3x-1 )的 定 义 域 为 2 () 由 1≤x≤2, 得 0≤o lg ∴y=f(x)的 定 义 域 为 0 [ 1 ,]

【答案】 1 ( [ )

2 ( 0 [ ) 1 ,] 3,1] 2
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探究 2 1 () 若已知 y=f(x)的 定 义 域 为 的定义域由 a≤g(x)≤b,解出.

[a,b],则 y=f[g(x)]

2 () 若已知 y=f[g(x)]的定义域为[a,b],则 y=f(x)的 定 义 域 即为 g(x)的 值 域 .

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思考题 2 1 () 2 (0 1 3 · 大 纲 全 国

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)已知函数 f(x)的定义域为(-

1,0),则函数 f(2x+1)的定义域为________.

1 【解析】 由题意知-1 < 2 x+1 < 0 ,则-1<x<-2. 1 【答案】 (-1,-2)

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2 () 若函数 f(2x)的定义域是[-1 ,]

,求 fo l ( g

2x)的定义域.

【解析】 对于函数 y=f(2x),-1≤x≤1, ∴2-1≤2x≤2. 则对于函数 y=fo l ( g ∴ 2≤x≤4. 故 y=fo l ( g
【答案】
1 x ) , 2 ≤o lg 2


2x≤2,

定 义 域 为 2x)的
[ 2,4]

[ 2,4].

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例3 求 下 列 函 数 的 值 域 : 1-x2 1 () y= ; 1+x2 2 () y= -2x2+x+3; 1 3 () y=x+x +1; 4 () y=x- 1-2x; 5 () y=x+ 4-x2; 6 () y=|x+1|+|x-2 .|
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【 解 析 】

1 () 方 法 一 : 分 离 常 数 法

1-x2 2 y= = - 1+ , 1+x2 1+x2 2 ∵x ≥0,∴x +1≥1,∴0 < . 2≤2 1+x
2 2

2 ∴-1 < -1+ . 2≤1 1+x 即 函 数 值 域 为 (-1 ,] .

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方 法 二 : 反 解 法 1-x2 1-y 2 由 y= , 得 x= . 1+x2 1+y 1-y ∵x ≥0,∴ ≥0 . 1+y
2

∴-1 < y≤1, 即 函 数 值 域 为

(-1 ,]



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2 () 配 方 法 :

y=

12 2 5 -2?x-4? + 8 ,

5 2 5 2 ∴0≤y≤ 4 ,∴值 域 为 [0, 4 ]. 3 () 方 法 一 : 基 本 不 等 式 法 1 1 由 y=x+ x+1 ( x ≠0 ) ,得 y-1=x+x .
? ?1? 1? ∵?x+x ?=|x|+?x ?≥2 ? ? ? ? ?1? |x· | ?x ?=2, ? ?

∴|y-1|≥2, 即 y≤-1 或 y≥3 .

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方 法 二 : 判 别 式 法 1 由 y=x+ x+1, 得 x2+(1-y)x+1=0 . ∵方 程 有 实 根 , ∴Δ=(1-y)2-4≥0 .

即(y-1 ) 2≥4,∴y-1≤-2 或 y-1≥2 . 得 y≤-1 或 y≥3 .

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方 法 三 : 导 数 法 1 ?x+1??x-1? 令 y′=1-x2= <0, x2 得 -1 < x<0 或 0 < x< 1 . ∴函 数 在 0 ( 1 ,) 函 数 在 (-1 0 ,) 上 递 减 , 在 上 递 减 , 在 (1, + ∞) 上 递 增 , 此 时 (-∞, -1 )上 递 增 , 此 时 y≥3; y≤-1 .

∴y≤-1 或 y≥3 . 即 函 数 值 域 为 (-∞, -1 ] ∪[3,+∞).

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4 () 方 法 一 : 单 调 性 法 1 1 定义域为{x|x≤2},函数 y=x,y=- 1-2x均在(-∞,2] 1 上递增,故 y≤2- 1 1 1-2×2=2.

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方 法 二 : 换 元 法 1-t2 令 1-2x=t, 则 t≥0, 且 x= 2 . 1 1 2 ∴y= - 2(t+1 ) +1≤2(t≥0 ). 1 ∴y∈(-∞,2]. ∴函 数 值 域 为 1 (-∞,2].

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5 () 三 角 换 元 : 由 4-x2≥0, 得 - 2≤x≤2 . ∴设 x=2 c o s +2 n s i θ=2 2s n i( θ(θ∈[0, π ) ] , 则 y=2 c o s π θ+4). θ+ 4-4 c o s
2

θ=2 c o s

θ

π π 5 π ∵θ+4∈[4, 4 ], ∴n s i( π 2 θ+4)∈[- 2 ,1 ] ,∴y∈[-2 , 2].

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6 () 方 法 一 : 绝 对 值 不 等 式 法 由 于 |x+1|+|x-2|≥|(x+1 ) -(x-2 |) =3,

所 以 函 数 值 域 为

[3, + ∞) .

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方 法 二 : 数

形 结 合 法

?-2x+1?x<-1?, ? y=?3?-1≤x≤2?, ?2x-1?x>2?. ? 画 出 此 分 段 函 数 的 图 像 如 图 , 可 知 值 域 为 [3,+∞).

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【答案】 1 ( ( ) 3 ( ( ) 5 ( [ )

-1,1] 2 ( 0 [ )

5 2 , 4 ] 1 -∞,2]

-∞,-1]∪[3,+∞) 4 ( ( ) -2,2 2] 6 ( 3 [ ) ,+∞)

探究 3 求函数值域的一般方法有: ①分离常数法;②反解法;③配方法;④不等式法;⑤单调 性法;⑥换元法.

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() 函数 思考题 3 1 1 A.(-∞,2] 1 C.[2,1)

的值域为( 1 B.[2,1] 1 D.[2,+∞)

)

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1 【解析】 由于 x ≥0,所以 x +1≥1,所以 0< 2 ≤1, x +1
2 2

1x 结合函数 y=(2) 在0 ( 1 ,] 1 [2,1).
【答案】 C

上的图像可知函数

的 值 域 为

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2-n s i x 2 () 函数 y= 的值域是________. 2+n s i x

2-n s i x 2?1-y? 【解析】 由 y= ,得 n s i x= . 2+n s i x 1+y 2?1-y? ∵-1≤n s i x≤1,∴-1≤ ≤1. 1+y 1 1 ∴3≤y≤3,即函数值域为[3,3].

1 【答案】 [3,3]

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x2+x+1 3 () 函数 y= 的值域为________. x+1
【 解 析 】 方 法 一 : 判 别 式 法

x2+x+1 由 y= , 得 x2+(1-y)x+1-y=0 . x+1 ∵x∈R,x≠-1,∴Δ=(1-y)2-4 1 ( -y)≥0 . 解 得 y≤-3 或 y≥1 . 当 y= - 3时 , x= - 2; 当 y =1 时 , x=0 . 所 以 , 函 数 的 值 域 为 ( - ∞, -3 ] ∪[1, + ∞ ).

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方 法 二 : 分 离 常 数 法

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x2+x+1 ?x+1?2-?x+1?+1 1 y= = =(x+1 )+ -1, x+1 x+1 x+1 1 1 又(x+1 )+ ≥2 或(x+1)+ ≤-2, x+1 x+1 ∴y≥1 或 y≤-3 . ∴函 数 的 值 域 为
【答案】

(-∞, -3 ] ∪[1, + ∞).

(-∞,-3]∪[1,+∞)

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例 4 已知函数 f(x)=g l ( [ 1 () 若 f(x)的 定 义 域 为 2 () 若 f(x)的 值 域 为

a2-1)x2+(a+1)x+1].

R,求实数 a 的取值范围; R, 求 实 数 a 的取值范围.

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【 解 析 】 恒 成 立 , 当

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1 () 依 题 意 (a2-1 ) x2+(a+1 ) x +1 > 0 , 对 一 切 a2-1≠0 时 , 其 充 要 条 件 是 ? ?a>1或a<-1, 即? 5 a> 或a<-1 . ? ? 3

x∈R

2 ? > 0 , ?a -1 ? 2 2 ? ?Δ=?a+1? -4?a -1?<0,

5 ∴a<-1 或 a>3. 又 a= - 1时 , f(x)=0, 满 足 题 意 . 5 ∴a≤-1 或 a>3.

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2 () 依 题 意 , 只 要 上 的 任 何 值 , 则

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t=(a2-1 ) x2+(a+1 ) x +1 能 取 到 (0, + ∞) f(x)的值域为 R,故有 a2-1 > 0 ,Δ≥0,解之 a= -

5 1 < a≤3, 又 当 a2-1=0,即 a=1 时 , t=2x+1 符 合 题 意 ; 1时 不 合 题 意 , 5 ∴1≤a≤3.

5 【答案】 1 () a≤-1 或 a>3 2 ( 1 )

5 ≤a≤3

探究 4 已知值域求参数的值或范围是值域应用中的一类比 较典型的题目.
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思考题 4

已知函数 f(x)=x2-4ax+2a+6,x∈R. [0,+∞),求 a 的值;

1 () 若 函 数 的 值 域 为

2 () 若函数的值域为非负数集,求函数 f(a)=2-a|a+3|的值 域.
【 解 析 】 f(x)=x2-4a x +2a+6=(x-2a)2+2a+6-4a2. [0,+∞),∴2a+6-4a2=0 .

1 () ∵函 数 值 域 为

3 解 得 a= - 1 或 a=2.

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2 () ∵函 数 值 域 为 非 负 数 集 , 即 2a -a-3≤0, 解 得 -
2

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∴2a+6-4a2≥0 . 3 1≤a≤2.

32 1 7 ∴f(a)=2-a|a+3|=2-a(a+3 )= - (a+2) + 4 . 3 ∴f(a)在[-1,2]上 单 调 递 减 . 1 9 1 9 ∴- 4 ≤f(a)≤4 . 即 f(a)值 域 为 [- 4 ,4 ].

3 【答案】 1 () a=-1 或 a=2 2 ( [ )
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19 - 4 ,4]
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求函数的值域与最值没有通性通法, 只能根据函数解析式的 结构特征来选择对应的方法求解,因此,对函数解析式结构特征 的分析是十分重要的. 常见函数解析式的结构模型与对应求解方 法可归纳为: 1. 二 次 函 数 y=ax2+bx+c(a≠0)及 二 次 型 函 数 y=a[f(x)]2

+b[f(x)]+c(a≠0)可 用 换 元 法 .

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2. 形 如

a1x2+b1x+c1 y= 2 (其 中 a1,a2 不 全 为 a2x +b2x+c2

0 且 a2x2+b2x

+c2≠0 )的 函 数 可 用 判 别 式 法 . 3. 形 如 y=a x +b± cx+d(a、b、c、d 为 常 数 , 数 , 可 用 换 元 法 或 配 方 法 . a x +b 2x-1 n s i x-1 4. 形 如 y= (c≠0 ) 或 y= x 或 y= 的 函 数 , 可 cx+d 2 +1 n s i x+2 用 反 函 数 法 或 分 离 常 数 法 . a c ≠0 )的 函

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k 5. 形 如 y=x+x(k>0,x> 0 ) 的 函 数 可 用 图 像 法 或 均 值 不 等 式 法 . 6. 对 于 分 段 函 数 或 含 有 绝 对 值 符 号 的 函 数 +4 )| 可 用 分 段 求 值 域 (最 值 )或 数 形 结 合 法 . (如 y=|x-1|+|x

7. 定 义 在 闭 区 间 上 的 连 续 函 数 可 用 导 数 法 求 函 数 的 最 值 , 其解 题 程 序 为 第 一 步 求 导 , 第 二 步 求 出 极 值 及 端 点 函 数 值 , 第 三 步 求 最 大 、 最 小 值 .

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1.函数 A.(-3,+∞) C.(-3,-2)
答案 B

的定义域是( B.[-2,+∞)

)

D.(-∞,-2]

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2.2 (0 1 3 ·

1 山东)函数 f(x)= 1-2 + 的定义域为( x+3
x

)

A.(-3,0] C.(-∞,-3)∪(-3 0 ,]
答案 A

B.(-3,1] D.(-∞,-3)∪(-3 1 ,]

解析

x ? ?1-2 ≥0, 由题意得? ? > 0 , ?x+3

所以-3<x≤0.

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3.对函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)作 x=h(t)的代换,则总不 改变函数 f(x)的 值 域 的 代 换 是 A.h(t)=10t C.h(t)=n s i t
答案 解析 D ∵o lg
2t∈R,故选

(

)

B.h(t)=t2 D.h(t)=o lg
2t

D.

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?x2-3x-4?3 4.函数 y= 的定义域为________. |x+1|-2
答案 {x|x<-3 或-3<x≤-1 或 x≥4}

4

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10x+10-x 5.函数 y= x 的值域为________. 10 -10-x
答案 (-∞,-1)∪(1,+∞).

解 析
2x

1 0 x+1 0 由 y= x 1 0 -1 0

-x

y+1 2x , 得 = 1 0 . -x y-1

y+1 ∵1 0 >0,∴ > 0 . y-1 ∴y<-1 或 y> 1 . 即 函 数 值 域 为 (-∞, -1 ) ∪(1,+∞).
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