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第2节函数的单调性与最值


第 2 节 函数的单调性与最值 Ⅰ.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. Ⅱ.会运用基本初等函数的图象分 析函数的性质. 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数

一般地, 设函数 f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意 两个自变量的值 x1,x2 定义

当 x1<x2 时

, 都 有 当 x1<x2 时,都有__________ ,那么就说函数 ____________, 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数 f(x)在区间 D 上是增函数

图 象 描 述

自左向右看图象 _________

自左向右看图象 _________

质疑探究 1: 若函数 f(x)在区间 C 和区间 D 上都是增(减)函数, 则函数 f(x)在区间 C∪D 上是 增(减)函数吗? 1 提示:不一定.如函数 f(x)= 在区间(-∞,0)及(0,+∞)上都是减函数,但在区间(- x ∞,0)∪(0,+∞)上不是减函数,如取 x1=-1,x2=1,x1<x2,但 f(x1)>f(x2)不成立. (2)单调区间的定义 如果函数 y=f(x)在区间 D 上是_______或_______,那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严 格的)单调性,_________叫做函数 y=f(x)的单调区间. 质疑探究 2:当一个函数的增区间(减区间)有多个时,能否用“∪”将函数的单调增区间(减 区间)连接起来? 提示:不能直接用“∪”将它们连接起来.例如,函数 y=x2-3x 的单调增区间有两个:(- ∞,-1)和(1,+∞),不能写成(-∞,-1)∪(1,+∞). 2.函数的最值 前提 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足

条件

①对于任意 x∈I,都有_______ ; ③对于任意 x∈I,都有_______ ; ②存在 x0∈I,使得_______ ④存在 x0∈I,使得_________

结论

M 为最大值

M 为最小值

考点一、确定函数的单调性(区间) [典例赏析 1] (2015· 天津模拟)函数 y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,则函数 g(x)=f(logax)(0<a<1)的单调减 区间是( ) 1 1 ? ? A.? B.[ a,1] C.(-∞,0)∪? ?0,2? ?2,+∞? D. [ a, a+1] [解析] 1 ? ? 1? (1)解析:由图象知 f(x)在(-∞,0]和? ?2,+∞?上单调递减,而在?0,2?上单调

递增。又 0<a<1 时,y=logax 为(0,+∞)上的减函数,所以要使 g(x)=f(logax)单调递减,需 1 1 0, ?,即 0≤logax≤ ,解得 x∈[ a,1]. 故选 B. 要 logax∈? ? 2? 2 1.求复合函数 y=f(g(x))的单调区间的步骤: (1)确定函数的定义域. (2)将复合函数分解成基本初等函数 y=f(u),u=g(x). (3)分别确定这两个函数的单调区间. (4)若这两个函数同增同减,则 y=f(g(x))为增函数;若一增一减,则 y=f(g(x))为减函数,即 “同增异减”. [提醒] 函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减.单调区间 要分开写,即使在两个区间上的单调性相同,也不能用并集表示. 2.利用定义法证明或判断函数单调性的步骤:

[思考] 若将本例题中的“0<a<1”改为“a>1”,则函数 g(x)的单调递减区间如何? 1 解析:由例解析知,需 logax≤0 或 logax≥ ,解得 x≤1 或 x≥ a,又 x>0,所以单调递 2

减区间为(0,1],[ a,+∞). [变式训练] 1.判断并证明函数 f(x)= ax (其中 a>0)在 x∈(-1,1)上的单调性. x -1
2

证明:方法一(定义法):设-1<x1<x2<1, 则 f(x1)-f(x2)=
2 2 ax1 ax2 ax1x2-ax1-ax2x1+ax2 a?x2-x1??x1x2+1? - 2 = = . 2 2 2 2 x1-1 x2-1 ?x1-1??x2-1? ?x2 1-1??x2-1?

2 ∵-1<x1<x2<1,∴x2-x1>0,x1x2+1>0,(x1 -1)(x2 2-1)>0.

因此当 a>0 时,f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),此时函数 f(x)在(-1,1)上为减函数. 方法二(导数法): a?x2-1?-2ax2 -a?x2+1? f′(x)= = 2 . ?x2-1?2 ?x -1?2 又 a>0,所以 f′(x)<0,所以函数 f(x)在(-1,1)上为减函数. 考点二、利用函数的单调性求参数 [典例赏析 2] (1)如果函数 f(x)=ax2+2x-3 在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数 a 的取 值范围是( ) 1 1 A.a>- B.a≥- 4 4 1 C.- ≤a<0 4 1 D.- ≤a≤0 4

? ??3a-1?x+4a,x<1, (2)(2015· 重庆模拟)已知 f(x)=? 是(-∞,+∞)上的减函数,那么 ?logax,x≥1 ?

a 的取值范围是( A.(0,1) 1 1? C.? ?7,3? [解析] 调递增;

) 1 0, ? B.? ? 3? 1 ? D.? ?7,1?

(1)当 a=0 时,f(x)=2x-3,在定义域 R 上是单调递增的,故在(-∞,4)上单

1 当 a≠0 时,二次函数 f(x)的对称轴为 x=- ,因为 f(x)在(-∞,4)上单调递增, a 1 1 1 所以 a<0,且- ≥4,解得 0>a≥- . 综合上述得- ≤a≤0.故选 D. a 4 4

?3a-1<0,
(2)由题意知?0<a<1,

?

? ??3a-1?×1+4a≥loga1,

a< , ? ? 3 即?0<a<1, 1 ? ?a≥7,

1

1 1 所以 ≤a< 故选 C. 7 3

已知函数的单调性确定参数的值域范围要注意以下两点:①若函数在区间[a,b]上单调,则 该函数在此区间的任意子区间上也是单调的; ②分段函数的单调性, 除注意各段的单调性外, 还要注意衔接点的取值. [变式训练] x-5 2.(1)函数 y= 在(-1,+∞)上单调递增,则 a 的取值范围是( x-a-2 A.a=-3 C.a≤-3 B.a<3 D.a≥-3 )

??2-a?x+1,x<1, ? f?x1?-f?x2? (2)已知 f(x)=? x 满足对任意 x1≠x2,都有 >0 成立,那么 a x1-x2 ? ?a ,x≥1,

的取值范围是________. x-5 a-3 解析:(1)y= =1+ ,由函数在(-1,+∞)上单调递增, x-a-2 x-?a+2?
?a-3<0, ? 有? 解得 a≤-3. ?a+2≤-1, ?

(2) 由已知条件得 f(x)为增函数, 2-a>0, ? ? ∴?a>1, ? ??2-a?×1+1≤a, 3 ?3 ? 解得 ≤a<2,∴a 的取值范围是? ,2?. 2 ?2 ?

考点三、确定函数的最值(值域) 1 ? 1 1 1 ,2 上的值域是 ? ,2? ,则实数 a 的值为 [ 典例赏析 3] (1) 若函数 f(x) = - 在 ? 2 2 ? ? ? ? a x ________. (2)函数 y= x-x(x≥0)的最大值为________. 1 ? ?1 ? ?1? 1 [解析] (1)因为函数 f(x)在区间? ?2,2?上是增函数,值域为?2,2?,所以 f?2?=2,f(2)

?a-2=2, =2,即? 1 1 ?a-a=2,

1

1

2 解得 a= . 5

1 1 1 1 t- ?2+ ,结合图象知,当 t= ,即 x= 时, (2)令 t= x则 t≥0,所以 y=t-t2=-? ? 2? 4 2 4

1 ymax= . 4 求函数最值(值域)的常用方法及适用类型 (1)单调性法:易确定单调性的函数,一般用单调性法在区间端点处取得. (2)图象法:能作出图象的函数,用图象法,观察其图象最高点、最低点,求出最值. (3)换元法:对解析式较复杂的函数,可通过换元转化为以上四种类型中的某种,再求解.用 换元法时,一定要注意新“元”的范围. (4)基本不等式法:分子、分母其中一个为一次,一个为二次函数结构以及两个变量(如 x, y)的函数,一般通过变形使之具备“一正、二定、三相等”的条件,用基本不等式法求最值 (值域). (5)导数法:对于 f′(x)可求,f′(x)=0 可解的三次、分式以及含 ex,ln x,sin x,cos x 结构 的函数,用导数法,先求出给定区间上的极值,再结合端点值求得. [变式训练] x2+8 3.函数 f(x)= (x>1)的最小值为________. x-1 解析:方法一:基本不等式法: f(x)= x2+8 ?x-1?2+2?x-1?+9 9 = =(x-1)+ +2≥2 x-1 x-1 x-1 9 ?x-1?· +2=8, x-1

9 当且仅当 x-1= ,即 x=4 时,f(x)min=8. x-1 ?x-4??x+2? 方法二:导数法:f′(x)= ?x-1?2 令 f′(x)=0,得 x=4 或 x=-2(舍去). 当 1<x<4 时,f′(x)<0,f(x)在(1,4)上递减; 当 x>4 时,f′(x)>0,f(x)在(4,+∞)上递增, 所以 f(x)在 x=4 处达到最小值,即 f(x)min=f(4)=8.

第二章

第2节

一、选择题

1.(2014· 北京高考)下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是( A.y=e
-x

)

B.y=x3 D.y=|x|

C.y=ln x

解析:由定义域为 R,排除选项 C,由函数单调递增,排除选项 A,D. 答案:B 2.(2015· 宁波模拟)定义新运算⊕:当 a≥b 时,a⊕b=a;当 a<b 时,a⊕b=b2,则函 数 f(x) =(1⊕x)x-(2⊕x),x∈ [-2,2]的最大值等于( A.-1 C.6 B.1 D.12 )

解析:由已知得当-2≤x≤1 时,f(x)=x-2,当 1<x≤2 时,f(x)=x3-2. ∵f(x)=x-2,f(x)=x3-2 在定义域内都为增函数.∴f(x)的最大值为 f(2)=23-2=6. 答案:C a ?x>1?, ? ? 3. 已知 f(x)=?? a? 是 R 上的单调递增函数, 则实数 a 的取值范围为( 4- x+2?x≤1? ? ?? 2? A.(1,+∞) C.(4,8) B.[4,8) D.(1,8)
x

)

解析:因为 f(x)是 R 上的单调递增函数,

? ?4-a>0, 所以可得? 2 a ? ?a≥4-2+2.
答案:B

a>1,

解得 4≤a<8,故选 B.

1? 4.(2015· 山东济宁二模)定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上递增,f? ?3?=0,则满足 f(log1 x)>0 的 x 的取值范围是( 8 A.(0,+∞) 1? ?1 ? C.? ?0,8?∪?2,2? 解析:由 f(x)=f(-x)=f(|x|) 1? 1 得 f(|log1 x|)>f? , 于是 |log x | > ,解出答案,可知选 B. 1 3 ? ? 3 8 8 ) 1? B.? ?0,2?∪(2,+∞) 1? D.? ?0,2?

答案:B 5.(2015· 杭州模拟)已知减函数 f(x)的定义域是实数集 R,m、n 都是实数.如果不等式 f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)成立,那么下列不等式成立的是( A.m-n<0 C.m+n<0 B.m-n>0 D.m+n>0 )

解析:设 F(x)=f(x)-f(-x),由于 f(x)是 R 上的减函数, ∴f(-x)是 R 上的增函数,-f(-x)是 R 上的减函数,∴F(x)为 R 上的减函数, ∴当 m<n 时,有 F(m)>F(n),即 f(m)-f(-m)>f(n)-f(-n)成立, 因此当 f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)成立时,不等式 m-n<0 一定成立,故选 A. 答案:A
? ?f?x?,f?x?≤k, 6.设函数 y=f(x)在 R 上有定义,对于给定的正数 k,定义函数 fk(x)=? ?k,f?x?>k. ? ?2 x,x≥0, ? 1 ? 若函数 f(x)=? x 则函数 f? ?2?x??的单调递减区间为( ? ?2 ,x<0,


)

A.(-∞,-1] C.[0,+∞)

B.(-∞,0] D.[1,+∞)







f

?1?x?? = ?2 ?

?f?x?,f?x?≤2, ?1 1 ?2,f?x?>2

1



f?x?,x∈?-∞,-1]∪[1,+∞?, ? ? ?1 ? ?2,x∈?-1,1?, 1 ? 如图所示,函数 f? ?2?x??在区间[1,+∞)上单调递减. 答案:D 二、填空题 7.(2014· 天津高考)函数 f(x)=lg x2 的单调递减区间是________. 解析:函数 f(x)=lg x2 的单调递减区间需满足 x2>0 且 y=x2 单调递减,故 x∈(-∞,0). 答案:(-∞,0) ax+1 8.设函数 f(x)= 在区间(-2,+∞)上是增函数,那么 a 的取值范围是________. x+2a ax+2a2-2a2+1 2a2-1 解析:f(x)= =a- , x+2a x+2a

其对称中心为(-2a,a).
2 2 ? ? ?2a -1>0 ?2a -1>0 ∴? ?? ?a≥1. ?-2a≤-2 ? ? ?a≥1

答案:[1,+∞) 9.(2015· 辽宁沈阳模拟)设函数 f(x)在(-∞,+∞)内有定义,对于给定的正数 K,定义
?f?x?,f?x?≤K, ? 1 - 函数 fK(x)=? 取函数 f(x)=2 |x|, 当 K= 时, fK(x)的单调递增区间为________. 2 ? ?K,f?x?>K,

1?|x| 1 1 1 1 解析: 当 f(x)> 时, fK(x)= 无单调递增区间, 所以 f(x)≤ , 即? 所以 x≥1 或 x≤ ?2? ≤2, 2 2 2 -1,结合图象知单调递增区间为(-∞,-1). 答案:(-∞,-1) 10.(2015· 荆州市质检)函数 f(x)=|x3-3x2-t|,x∈[0,4]的最大值记为 g(t),当 t 在实数范 围内变化时,g(t)的最小值为________.

解析:令 g(x)=x3-3x2-t,则 g′(x)=3x2-6x, 令 g′(x)≥0,则 x≤0 或 x≥2,在[0,2]上 g(x)为减函数,在[2,4]上 g(x)为增函数,故 f(x) 的最大值 g(t)=max{|g(0)|,|g(2)|,|g(4)|},又|g(0)|=|t|,|g(2)|=|4+t|,|g(4)|=|16-t|,在同 一坐标系中分别作出它们的图象,由图象可知,在 y=16-t(t≤16)与 y=4+t(t≥-4)的交点 处,g(t)取得最小值,由 16-t=4+t,得 2t=12,t=6,∴g(t)min=10. 答案:10 三、解答题 x2+2x+a 11.(2015· 昆明模拟)已知函数 f(x)= , x x∈[1,+∞). 1 (1)当 a= 时,求函数 f(x)的最小值; 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围. 1 1 解:(1)当 a= ,f(x)=x+ +2, 2 2x 1 ∴f′(x)=1- 2, 2x

当 x∈[1,+∞)时,f′(x)>0 恒成立, ∴f(x)在[1,+∞)上是增函数, 7 7 ∴当 x=1 时,f(x)取最小值,f(1)= .故 f(x)min= . 2 2 (2)要使 f(x)>0,x∈[1,+∞)恒成立, 即 x2+2x+a>0,x∈[1,+∞)恒成立. 设 g(x)=x2+2x+a=(x+1)2+a-1, ∴当 x∈[1,+∞)时,g(x)min=3+a. ∴3+a>0,∴a>-3 即可,∴a∈(-3,+∞). 12.已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,若 a,b∈[-1,1],a+b≠0 时, f?a?+f?b? 有 >0 成立. a+b (1)判断 f(x)在[-1,1]上的单调性,并证明它; 1? ? 1 ? (2)解不等式:f? ?x+2?<f x-1 ;

?

?

(3)若 f(x)≤m2-2am+1 对所有的 a∈[-1,1]恒成立,求实数 m 的取值范围. 解:(1)任取 x1,x2∈[-1,1],且 x1<x2, 则-x2∈[-1,1],∵f(x)为奇函数, ∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2) = f?x1?+f?-x2? · (x1-x2), x1+?-x2?

f?x1?+f?-x2? 由已知得 >0,x1-x2<0, x1+?-x2? ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). ∴f(x)在[-1,1]上单调递增. (2)∵f(x)在[-1,1]上单调递增,

? ? 1 ∴?-1≤x+2≤1, 1 ? ≤1. ?-1≤x- 1

1 1 x+ < , 2 x-1

3 ∴- ≤x<-1. 2

(3)∵f(1)=1,f(x)在[-1,1]上单调递增.

∴在[-1,1]上,f(x)≤1. 问题转化为 m2-2am+1≥1, 即 m2-2am≥0,对 a∈[-1,1]恒成立. 设 g(a)=-2m· a+m2≥0. ①若 m=0,则 g(a)=0≥0,对 a∈[-1,1]恒成立. ②若 m≠0, 则 g(a)为 a 的一次函数, 若 g(a)≥0, 对 a∈[-1,1]恒成立, 必须有 g(-1)≥0 且 g(1)≥0,∴m≤-2 或 m≥2. ∴m 的取值范围是 m=0 或 m≥2 或 m≤-2. [备课札记]


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