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四川高中数学竞赛初赛2016答案


2016 年全国高中数学联赛(四川)初赛试题 参考答案及评分标准
说明: 1、评阅试卷时,请依据评分标准.选择题和填空题只设 5 分和 0 分两档;其它各题的 评阅,请严格按照评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它中间档次. 2、如果考生的解答题方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评阅时可参 考本评分标准适当划分档次评分,5 分一个档次,不要再增加其它中间档

次. 一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 1、A 2、D 3、C 4、C 5、A 6、B 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 7、180 8、 ?

1 2

9、 4 3

10、

1 4

11、

3 2

12、2015

三、解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分) 13、设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2n ? r ( r 为常数) , 记 bn ? 2(1 ? log 2 an ) (n ? N ) .
*

(1)求数列 {anbn } 的前 n 项和 Tn ; (2)若对于任意的正整数 n ,都有 求实数 k 的最大值. 解: (1)由条件易知 a1 ? 2 ? r, a2 ? S2 ? S1 ? 2, a3 ? S3 ? S2 ? 4 ,
2 又由 a2 ? a1a3 得 r ? ?1 .

1 ? bn 1 ? b1 1 ? b2 ? ?? ? ? k n ? 1 成立, b1 b2 bn

……5 分

于是 Sn ? 2n ? 1 .故 an ? 2n?1 , bn ? 2(1 ? log2 an ) ? 2n , anbn ? n ? 2n . 因此 Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? ?? (n ?1) ? 2n?1 ? n ? 2n ①

2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ?? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1



由①-②得: ?Tn ? 21 ? 22 ? ?? 2n?1 ? 2n ? n ? 2n?1 ,故 Tn ? (n ?1) ? 2n?1 ? 2 . 所以,数列 {anbn } 的前 n 项和为 Tn ? (n ?1) ? 2n?1 ? 2 (n ? N* ) . ……10 分 (2) 因为 k ?

1 ? bn 1 ? b1 1 ? b2 1 1 1? 2 1? 4 1 ? 2n , ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? b2 bn 4 2n n ? 1 b1 n ?1 2

构造 f (n) ?

1 1? 2 1? 4 1 ? 2n ? ? ?? ? , 4 2n n ?1 2
参考答案及评分标准(第 1 页共 4 页)



f (n ? 1) n ? 1 1 ? 2(n ? 1) 4n2 ? 12n ? 9 ? ? ? ? 1, f (n) 4n2 ? 12n ? 8 n ? 2 2(n ? 1)
3 2, 4

……15 分

于是 { f ( n)} 严格单增,则 f ( n) 的最小值为 f (1) ? 即实数 k 的最大值是

3 2. 4

……20 分

14、已知 a 、 b 、 c 为正实数,

a?b?c ? (a ? b ? c)(b ? c ? a)(c ? a ? b) . 1 1 1 ? ? a 2 b2 c 2 a?b?c 证明: (1)先证: abc ? 1 1 1 ? ? a 2 b2 c 2
求证: abc ? 等价于证明: (ab)2 ? (bc)2 ? (ca)2 ? abc(a ? b ? c) , 令 x ? ab, y ? bc, z ? ca , 由不等式 x2 ? y 2 ? z 2 ? xy ? yz ? zx 知结论成立. (2)再证: a ? b ? c ? (a ? b ? c)(b ? c ? a)(c ? a ? b) ? ……5 分

? 1 1 1? ? 2? 2? 2 ?a b c ?

(*)

由于不等式是轮换对称的, 不妨设 a ? max{a, b, c} , 则 a ?b ?c ? 0 c , ?a ?b ? 0 ①当 b ? c ? a ? 0 时,结论显然成立; ②当 b ? c ? a ? 0 时,令 a ? y ? z, b ? z ? x, c ? x ? y ,

1 1 1 (b ? c ? a ) , y ? (c ? a ? b) , z ? (a ? b ? c ) , 2 2 2 故 x, y, z 均大于 0.
则x? 不等式(*)变为: 2( x ? y ? z ) ? 8 xyz[

……10 分

1 1 1 ? ? ] 2 2 ( y ? z ) ( z ? x) ( x ? y ) 2

只需证:

1 1 1 4 4 4 ? ? ? ? ? ,……15 分 2 2 yz zx xy ( y ? z ) ( z ? x) ( x ? y) 2
2

注意到: ( y ? z ) ? 4 yz ,则

4 1 ? , 2 ( y ? z) yz

同理:

4 1 4 1 ? , ? .所以,原不等式成立.……20 分 2 2 ( z ? x) zx ( x ? y ) xy

参考答案及评分标准(第 2 页共 4 页)

15、已知抛物线 y2?2px 过定点 C(1,2),在抛物线上任取不同于点 C 的一点 A,直线 AC 与直线 y?x?3 交于点 P,过点 P 作 x 轴的平行线交抛物线于点 B. (1)求证:直线 AB 过定点; (2)求△ABC 面积的最小值. 解: (1)由抛物线 y2?2px 过定点 C(1,2), y A 可得抛物线方程为 y2?4x. 2 y C 设点 A 坐标为( 0 ,y0)( y0≠2), Q 4 O y ?2 x 则直线 AC 的方程为 y?2? 02 (x?1), B P y0 ?1 4 4 即 y?2? (x?1), y0 ? 2 与 y?x?3 联立解得 P 点坐标为( 所以 B 点坐标为(
? y0 ? 6 2 y0 ? 12 , ).……5 分 y0 ? 2 y0 ? 2

( y0 ? 6)2 2 y0 ? 12 , ). y0 ? 2 ( y0 ? 2)2
2 y0 ? 12 ),直线 AB 过定点 Q(3,2). y0 ? 2

2 当 y0 ?12 时,A 坐标为(3,y0),B 点坐标为(3,

2 y0 ? 12 2 y y0 y0 ? 2 ( y ? 6) 2 当 y0 ≠12 时, ≠ 0 ,直线 AB 的方程为 y ? y ? ( x ? ), 0 2 4 4 ( y0 ? 2)2 y0 ( y0 ? 6) 2 ? 4 ( y0 ? 2)2
2 0

2

y0 ?

2 y0 ( y0 ? 2) ( y0 ? 2) 2 y (4 x ? ) , (或: y ? y ? ( x ? ), ) 0 0 2 2 4 y0 ? 12 y0 ?3 4 易得,直线 AB 也过定点 Q(3,2).……10 分 法 2:由抛物线 y2?2px 过定点 C(1,2),可得抛物线方程为 y2?4x. 设直线 AB 的方程为 x?my?a,与抛物线方程联立得,y2?4my?4a?0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1?y2?4m,y1y2??4a, P 点坐标为 B(y2?3,y2),因为 AP 过定点 C, y ?2 y ?2 所以 2 ? 1 ,又 x1?my1?a, y2 ? 3 ? 1 x1 ? 1

化简得,y?y0?

所以(m?1)y1y2?(2m?4)y1?(a?1)y2?2a?6?0.……5 分 将 y1y2??4a,y2?4m?y1 代入上式,得(?2m?3?a)y1?(2a?4m?6)?0. 即(?2m?3?a)(y1?2)?0. 因此式对任意 y1≠2 都成立,所以?2m?3?a?0,即 3?2m?a, 因此直线 x?my?a 过定点 Q(3,2).……10 分 (2)由(1)可设直线 AB 的方程为 x?3?m(y?2), 与抛物线方程联立得 y2?4my?4(2m?3)?0.则 y1?y2?4m,y1y2?4(2m?3), 1 S△ABC? |CQ|?|y1?y2|?|y1?y2|? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ?4 (m ? 1)2 ? 2 .?? 2 所以当 m?1 时,△ABC 面积的最小值为 4 2 .……20 分

16、已知 a 为实数,函数 f(x)?|x2?ax|?lnx,请讨论函数 f(x)的单调性.
参考答案及评分标准(第 3 页共 4 页)

解:由条件知函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) .? (???若 a≤0,则 f(x)? x2?ax?lnx, ??于是 f ?( x) ? 2 x ? a ?

1 2 x 2 ? ax ? 1 ? ,令 f ?( x) ? 0 ,得? x x

x1 ?

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ? 0 , x2 ? ?0. 4 4

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 )上单调递减,在( ,?∞)上单调递增.……5 分 4 4 2 ? ? x ? ax ? ln x ,当x ≥ a 时 (2)若 a>0,则 f(x)? ? 2 ?, ? ?? x ? ax ? ln x ,当0<x<a 时 ① 先讨论 g(x)?x2?ax?lnx (x≥a)的单调性.

所以, f ( x ) 在(0,

g′(x)?2x?a? 当

a ? a2 ? 8 1 2 x2 ? ax ? 1 ? .令 g′(x)?0,得 x? >0, 4 x x

a ? a2 ? 8 >a,即 a<1 时, 4

g(x)在(a, 当

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 )上单调递减,在( ,?∞)上单调递增; 4 4

a ? a2 ? 8 ≤a,即 a≥1 时,g(x)在(a,?∞)上单调递增.……10 分 4 ② 再讨论当 a>0 时,h(x)??x2?ax?lnx (0<x<a)的单调性. 1 ?2 x2 ? ax ? 1 h′(x)??2x?a? ? . x x 当??a2??≤0,即 0<a≤ 2 2 时,h′(x)≤0,h(x)在(0,a)上单调递减;

当??a2??>0,即 a> 2 2 时, 令 h′(x)?0,得 0 ? x1 ? 所以 h(x)在(0, 在( 综上可得:
a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 )上单调递减,在( ,?∞)上单调递增; 4 4 ② 当 1≤a≤ 2 2 时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,?∞)上单调递增;
a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ? a, <a, 0 ? x2 ? 4 4

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ),( ,a)上单调递减, 4 4

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , )上单调递增.……15 分 4 4

① 当 a<1 时,f(x)在(0,

③ 当 a> 2 2 时,f(x)在(0, 在(

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ),( ,a)上单调递减, 4 4

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , ),(a,?∞)上单调递增.……20 分 4 4

参考答案及评分标准(第 4 页共 4 页)


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