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2015届高考数学文二轮专题训练专题三第3讲平面向量


第3讲
考情解读

平面向量

1.平面向量基本定理和向量共线定理是向量运算和应用的基础,高考中常以小

题形式进行考查.2.平面向量的线性运算和数量积是高考的热点, 有时和三角函数相结合, 凸 显向量的工具性,考查处理问题的能力.

1.平面向量中的五个基本概念 (1)零向量模的大小为 0

,方向是任意的,它与任意非零向量都共线,记为 0. a (2)长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量,a 的单位向量为 . |a| (3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量). (4)如果直线 l 的斜率为 k,则 a=(1,k)是直线 l 的一个方向向量. (5)向量的投影:|b|cos〈a,b〉叫做向量 b 在向量 a 方向上的投影. 2.平面向量的两个重要定理 (1)向量共线定理:向量 a(a≠0)与 b 共线当且仅当存在唯一一个实数 λ,使 b=λa. (2)平面向量基本定理:如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的 任一向量 a,有且只有 一对实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2,其中 e1,e2 是一组基底. 3.平面向量的两个充要条件 若两个非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 (1)a∥b?a=λb?x1y2-x2y1=0. (2)a⊥b?a· b=0?x1x2+y1y2=0. 4.平面向量的三个性质 (1)若 a=(x,y),则|a|= a· a= x2+y2. (2)若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 → |AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. (3)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为 a 与 b 的夹角, x1x2+y1y2 a· b 则 cos θ= = 2 2 2 2. |a||b| x1+y1 x2+y2

热点一 平面向量的概念及线性运算 例1 (1)(2014· 福建)在下列向量组中,可以把向量 a=(3,2)表示出来的是( )

A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) (2)如图所示,A,B,C 是圆 O 上的三点,线段 CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于圆 O → → → 外的点 D,若OC=mOA+nOB,则 m+n 的取值范围是( A.(0,1) B.(1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-1,0) 思维启迪 (1)根据平面向量基本定理解题.(2)构造三点共线图形,得到平面向量的三点共 )

→ → → 线结论,将此结论与OC=mOA+nOB对应. 答案 (1)B (2)D 解析 (1)由题意知,A 选项中 e1=0,C、D 选项中两向量均共线,都不符合基底条件,故 选 B(事实上,a=(3,2)=2e1+e2). → → → → → → → (2)依题意, 由点 D 是圆 O 外一点, 可设BD=λBA(λ>1), 则OD=OB+λBA=λOA+(1-λ)OB. → → 又 C,O,D 三点共线,令OD=-μOC(μ>1), λ → 1-λ → → 则OC=- OA- OB(λ>1,μ>1), μ μ 1-λ λ 所以 m=- ,n=- . μ μ λ 1-λ 1 故 m+n=- - =- ∈(-1,0).故选 D. μ μ μ 思维升华 对于平面向量的线性运算问题, 要注意其与数的运算法则的共性与不同, 两者不 能混淆.如向量的加法与减法要注意向量的起点和终点的确定,灵活利用三角形法则、平行 四边形法则.同时,要抓住两条主线:一是基于“形”,通过作出向量,结合图形分析;二 是基于“数”,借助坐标运算来实现. π (1)(2014· 陕西)设 0<θ< ,向量 a=(sin 2θ,cos θ),b=(cos θ,1),若 a∥b,则 2

tan θ=________. 1 → → (2)如图,在△ABC 中,AF= AB,D 为 BC 的中点,AD 与 CF 交于点 E.若AB=a,AC=b, 3 → 且CE=xa+yb,则 x+y=________.

1 1 答案 (1) (2)- 2 2 解析 (1)因为 a∥b, 所以 sin 2θ=cos2θ,2sin θcos θ=cos2θ. π 因为 0<θ< ,所以 cos θ>0, 2 1 得 2sin θ=cos θ,tan θ= . 2 (2)如图,设 FB 的中点为 M,连接 MD.

因为 D 为 BC 的中点,M 为 FB 的中点,所以 MD∥CF. 1 因为 AF= AB,所以 F 为 AM 的中点,E 为 AD 的中点. 3 → → 方法一 因为AB=a,AC=b,D 为 BC 的中点, → 1 所以AD= (a+b). 2 → 1→ 1 所以AE= AD= (a+b). 2 4 1 → → → → → 所以CE=CA+AE=-AC+AE=-b+ (a+b) 4 1 3 = a- b. 4 4 1 3 1 所以 x= ,y=- ,所以 x+y=- . 4 4 2 1 1 方法二 易得 EF= MD,MD= CF, 2 2

1 3 所以 EF= CF,所以 CE= CF. 4 4 1 → → → → → 因为CF=CA+AF=-AC+AF=-b+ a, 3 1 1 3 → 3 所以CE= (-b+ a)= a- b. 4 3 4 4 1 3 1 所以 x= ,y=- ,则 x+y=- . 4 4 2 热点二 平面向量的数量积 例2 → → → → (1)如图,BC、DE 是半径为 1 的圆 O 的两条直径,BF=2FO,则FD· FE等于( )

3 A.- 4 1 C.- 4

8 B.- 9 4 D.- 9

→ → → → → → → → 1 → (2)(2013· 重庆)在平面上,AB1⊥AB2,|OB1|=|OB2|=1,AP=AB1+AB2.若|OP|< ,则|OA|的取 2 值范围是( A.?0, ) B.? 5 7? ?2,2? 7 ? ? 2 , 2?

?

5? 2?

C.?

5 ? ? 2 , 2?

D.?

→ → → → → → 思维启迪 (1)图 O 的半径为 1,可对题中向量进行转化FD=FO+OD,FE=FO+OE;(2) → 1 → → 利用|OP|< ,寻找OP,OA的关系. 2 答案 (1)B (2)D → → → 1 解析 (1)∵BF=2FO,圆 O 的半径为 1,∴|FO|= , 3 1 8 → → → → → → → → → → → → ∴FD· FE=(FO+OD)· (FO+OE)=FO2+FO· (OE+OD)+OD· OE=( )2+0-1=- . 3 9 → → (2)∵AB1⊥AB2, → → → → → → ∴AB1· AB2=(OB1-OA)· (OB2-OA) → → → → → → →2 =OB1· OB2-OB1· OA-OA· OB2+OA =0, → → → → → → → ∴OB1· OB2-OB1· OA-OA· OB2=-OA2.

→ → → ∵AP=AB1+AB2. → → → → → → ∴OP-OA=OB1-OA+OB2-OA, → → → → ∴OP=OB1+OB2-OA. → → ∵|OB1|=|OB2|=1, → → → → → → → → ∴OP2=1+1+OA2+2(OB1· OB2-OB1· OA-OB2· OA) → → → =2+OA2+2(-OA2)=2-OA2, → 1 → 1 → 1 ∵|OP|< ,∴0≤|OP|2< ,∴0≤2-OA2< , 2 4 4 7 → 7 → ∴ <OA2≤2,即|OA|∈? , 2?. 4 ?2 ? 思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法:数量积的定义,坐标运算,数量积的几何意

义;(2)可以利用数量积求向量的模和夹角,向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计 算. (1)(2014· 江苏)如图,在平行四边形 ABCD 中,已知 AB → → → → → → =8,AD=5,CP=3PD,AP· BP=2,则AB· AD的值是________. → → → (2)已知点 G 是△ABC 的重心,若∠A=120° ,AB· AC=-2,则|AG| 的最小值是________. 2 答案 (1)22 (2) 3 → → → 1 → 1→ → → → → 1→ → → → → 解析 (1)由CP=3PD, 得DP= DC= AB, AP=AD+DP=AD+ AB, BP=AP-AB=AD+ 4 4 4 1→ → → 3→ → → → 1→ → 3→ → 1→ → 3 AB-AB=AD- AB.因为AP· BP=2,所以(AD+ AB)· (AD- AB)=2,即AD2- AD· AB- 4 4 4 4 2 16 → → → → → AB2=2.又因为AD2=25,AB2=64,所以AB· AD=22. (2)在△ABC 中,延长 AG 交 BC 于 D,∵点 G 是△ABC 的重心,∴AD 是 BC 边上的中线, 2 → → → → → → → 2→ → 且 AG= AD, ∵AB· AC=|AB|×|AC|×cos 120° =-2,∴|AB|×|AC|=4,∵AG= AD, 2AD= 3 3 → → → 1 → → AB+AC,∴AG= (AB+AC), 3 1 → → 1 → 4 → → → →2 1 → → → 4 ∴AG2=[ (AB+AC)]2= [AB2+2AB· AC+AC ]≥ [2|AB|×|AC|+2×(-2)]= ,∴AG2≥ , 3 9 9 9 9 2 → 2 → ∴|AG|≥ ,∴|AG|的最小值是 . 3 3 热点三 平面向量与三角函数的综合 例3 已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos x,sin x),c=(sin x+2sin α,cos x+2cos α),其

中 0<α<x<π. π (1)若 α= ,求函数 f(x)=b· c 的最小值及相应 x 的值; 4 π (2)若 a 与 b 的夹角为 ,且 a⊥c,求 tan 2α 的值. 3 思维启迪 (1)应用向量的数量积公式可得 f(x)的三角函数式, 然后利用换元法将三角函数式 转化为二次函数式,由此可解得函数的最小值及对应的 x 值. (2)由夹角公式及 a⊥c 可得关于角 α 的三角函数式,通过三角恒等变换可得结果. 解 (1)∵b=(cos x,sin x), π c=(sin x+2sin α,cos x+2cos α),α= , 4 ∴f(x)=b· c =cos xsin x+2cos xsin α+sin xcos x+2sin xcos α =2sin xcos x+ 2(sin x+cos x). π ? 令 t=sin x+cos x? ?4<x<π?, 则 2sin xcos x=t2-1,且-1<t< 2. 则 y=t2+ 2t-1=?t+

?

2?2 3 - ,-1<t< 2, 2? 2

∴t=-

2 3 2 时,ymin=- ,此时 sin x+cos x=- , 2 2 2

π? 2 即 2sin? ?x+4?=- 2 , π π π 5 ∵ <x<π,∴ <x+ < π, 4 2 4 4 π 7 11π ∴x+ = π,∴x= . 4 6 12 3 11π ∴函数 f(x)的最小值为- ,相应 x 的值为 . 2 12 π (2)∵a 与 b 的夹角为 , 3 π a· b ∴cos = =cos αcos x+sin αsin x=cos(x-α). 3 |a|· |b| π ∵0<α<x<π,∴0<x-α<π,∴x-α= . 3 ∵a⊥c, ∴cos α(sin x+2sin α)+sin α(cos x+2cos α)=0, π? ∴sin(x+α)+2sin 2α=0,即 sin? ?2α+3?+2sin 2α=0.

5 3 3 ∴ sin 2α+ cos 2α=0,∴tan 2α=- . 2 2 5 思维升华 在平面向量与三角函数的综合问题中, 一方面用平面向量的语言表述三角函数中 的问题,如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系,利用向量模表述三角函 数之间的关系等; 另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题, 在解决此类问题的 过程中,只要根据题目的具体要求,在向量和三角函数之间建立起联系,就可以根据向量或 者三角函数的知识解决问题. 3? 已知向量 a=? ?sin x,4?,b=(cos x,-1). (1)当 a∥b 时,求 cos2x-sin 2x 的值; (2)设函数 f(x)=2(a+b)· b,已知在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a= 3,b=2,sin B= 6 π π ,求 f(x)+4cos(2A+ )(x∈[0, ])的取值范围. 3 6 3

3 3 解 (1)∵a∥b,∴ cos x+sin x=0,∴tan x=- . 4 4 cos2x-2sin xcos x 1-2tan x 8 ∴cos2x-sin 2x= = = . sin2x+cos2x 1+tan2x 5 π? 3 (2)f(x)=2(a+b)· b= 2sin? ?2x+4?+2, a b 2 π 由正弦定理 = ,可得 sin A= ,∴A= . sin A sin B 2 4 π? π? 1 ? ∴f(x)+4cos? ?2A+6?= 2sin?2x+4?-2, π π π 11π ∵x∈[0, ],∴2x+ ∈[ , ]. 3 4 4 12 ∴ 3 π 1 -1≤f(x)+4cos(2A+ )≤ 2- . 2 6 2 3 1 -1, 2- ]. 2 2

故所求范围为[

1.当向量以几何图形的形式出现时,要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表 → → → 示,就要根据向量加减法的法则进行,特别是减法法则很容易出错,向量AB=OB-OA (其 中 O 为任意一个点),这个法则就是终点向量减去起点向量. 2.根据平行四边形法则,对于非零向量 a,b,当|a+b|=|a-b|时,平行四边形的两条对角 线长度相等,此时平行四边形是矩形,条件|a+b|=|a-b|等价于向量 a,b 互相垂直. 3.两个向量夹角的范围是[0,π],在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可 能是 0 或 π 的情况,如已知两个向量的夹角为钝角时,不单纯就是其数量积小于零,还要求

不能反向共线. 4.平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中,在三角函数问题中平面向 量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系, 解题的关键还是三角函数问题; 解析几何中 向量知识只是给出一些几何量的位置和数量关系, 在解题中要善于根据向量知识分析解析几 何中的几何关系. 错误!未找到引用源。 真题感悟 1.(2014· 湖南)在平面直角坐标系中,O 为原点,A(-1,0),B(0, 3),C(3,0),动点 D 满足 → → → → |CD|=1,则|OA+OB+OD|的最大值是________. 答案 7+1

→ → 解析 设 D(x,y),由CD=(x-3,y)及|CD|=1 知(x-3)2+y2=1, 即动点 D 的轨迹为以点 C 为圆心的单位圆.

→ → → 又 O A +OB+OD
=(-1,0)+(0, 3)+(x,y) =(x-1,y+ 3), → → → ∴|OA+OB+OD|= ?x-1?2+?y+ 3?2. 问题转化为圆(x-3)2+y2=1 上的点与点 P(1,- 3)间距离的最大值. ∵圆心 C(3,0)与点 P(1,- 3)之间的距离为 ?3-1?2+?0+ 3?2= 7, 故 ?x-1?2+?y+ 3?2的最大值为 7+1. 2.(2014· 天津)已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=120° ,点 E,F 分别在边 BC,DC 上, 2 → → → → BE=λBC,DF=μDC.若AE· AF=1,CE· CF=- ,则 λ+μ=( 3 1 A. 2 5 C. 6 答案 C → → → → → → 解析 ∵AE=AB+λBC,AF=AD+μDC, → → → → → → ∴AE· AF=(AB+λBC)· (AD+μDC) → → → → → → → → =AB· AD+μAB· DC+λBC· AD+λμBC· DC 1 1 =2×2×(- )+4μ+4λ+2×2×(- )λμ 2 2 =-2+4(λ+μ)-2λμ=1. 2 B. 3 7 D. 12 )

3 ∴2(λ+μ)-λμ= .① 2 → → → → ∵CE· CF=(1-λ)CB· (1-μ)CD → → =(λμ-λ-μ+1)CB· CD 1 =2×2×(- )(λμ-λ-μ+1) 2 2 =-2[λμ-(λ+μ)+1]=- , 3 1 ∴λμ-(λ+μ)+1= , 3 2 即 λμ-(λ+μ)=- .② 3 5 由①②解得 λ+μ= . 6 押题精练 → → → → 1.在 Rt△ABC 中,∠BCA=90° ,CA=CB=1,P 为 AB 边上的点,且AP=λAB,若CP· AB → → ≥PA· PB,则 λ 的取值范围是( 1 A.[ ,1] 2 1 1+ 2 C.[ , ] 2 2 答案 B π → → → → → → → → → → → → → 解析 因为CP· AB=(AP-AC)· AB=AP· AB-AC· AB=λAB· AB-AC· AB=2λ-1× 2×cos 4 → → → → → → → → → → =2λ-1,PA· PB=-AP· PB=-λAB· (1-λ)AB=2λ(λ-1),因为CP· AB≥PA· PB,所以 2λ- 2- 2 2+ 2 2- 2 1≥2λ(λ-1),解得 ≤λ≤ ,又因为 P 为 AB 边上的点,所以 0≤λ≤1,所以 2 2 2 ≤λ≤1,故选 B. 2.如图,在半径为 1 的扇形 AOB 中,∠AOB=60° ,C 为弧上的动点,AB 与 OC 交于点 P, → → 则OP· BP最小值是______________________________________________________. ) 2- 2 B.[ ,1] 2 1- 2 1+ 2 D.[ , ] 2 2

1 答案 - 16

→ → → → → → → → → → → 解析 因为OP=OB+BP, 所以OP· BP=(OB+BP)· BP=OB· BP+(BP)2.又因为∠AOB=60° , OA=OB, 1→ 1→ → → → → → → ∴∠OBA = 60° .OB = 1.所以 OB· BP= |BP|cos 120° =- | BP|. 所以 OP· BP=- |BP|+ |BP |2= 2 2 1 1 1 → 1 → 1 → → (|BP|- )2- ≥- .故当且仅当|BP|= 时,OP· BP最小值是- . 4 16 16 4 16 3 3 3.已知向量 m=(sin x,cos x),n=( , ),x∈R,函数 f(x)=m· n. 2 2 (1)求 f(x)的最大值; π (2)在△ABC 中,设角 A,B 的对边分别为 a,b,若 B=2A,且 b=2af(A- ),求角 C 的大 6 小. 3 3 π 解 (1)f(x)= sin x+ cos x= 3sin(x+ ), 2 2 6 所以 f(x)的最大值为 3. π (2)因为 b=2af(A- ),由(1)和正弦定理,得 sin B 6 =2 3sin2A. 又 B=2A,所以 sin 2A=2 3sin2A, 即 sin Acos A= 3sin2A, 而 A 是三角形的内角, 所以 sin A≠0,故 cos A= 3sin A, tan A= 3 , 3

π π π 所以 A= ,B=2A= ,C=π-A-B= . 6 3 2

(推荐时间:60 分钟) 一、选择题 1.设 a,b 为向量,则“|a· b|=|a||b|”是 a∥b 的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案 C 解析 设向量 a,b 的夹角为 θ,若|a· b|=||a||b|cos θ|=|a||b|,cos θ=± 1,则 a∥b;若 a∥b, 则 cos θ=± 1,从而|a· b|=||a||b|cos θ|=|a||b|,“|a· b|=|a||b|”是 a∥b 的充要条件. B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

→ → → → 2.已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),点 P 在 x 轴上,AP· BP取最小值时 P 点坐标是( A.(-3,0) C.(2,0) 答案 D B.(1,0) D.(3,0)

)

→ → → → 解析 依题意设 P(x,0),则AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1),所以AP· BP=(x-2)(x-4) → → +2=x2-6x+10=(x-3)2+1,当 x=3 时AP· BP取得最小值 1.此时 P 点坐标为(3,0). π 3.已知|a|=1,|b|=2, 〈a,b〉= ,则|a+b|为( 3 A.9 C.3 答案 D 解析 = 7. → → 4.(2013· 福建)在四边形 ABCD 中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为( A. 5 B.2 5 C.5 D.10 答案 C → → 解析 ∵AC· BD=0, ∴AC⊥BD. 1→ → ∴四边形 ABCD 的面积 S= |AC||BD| 2 1 = × 5×2 5=5. 2 π 5.等腰直角三角形 ABC 中,A= ,AB=AC=2,M 是 BC 的中点,P 点在△ABC 内部或其 2 → → 边界上运动,则BP· AM的取值范围是( A.[-1,0] C.[-2,-1] 答案 D 解析 以点 A 为坐标原点,射线 AB,AC 分别为 x 轴,y 轴的正方向建立平面直角坐标系, 则 B(2,0),M(1,1).设 P(x,y),由于点 P 在△ABC 内部或其边界上运动,故 x≥0,y≥0 且 → → → → x+y≤2,BP· AM=(x-2,y)· (1,1)=x-2+y,所以BP· AM的取值范围是[-2,0]. → → → 6.若点 M 是△ABC 所在平面内的一点,且满足 5AM=AB+3AC,则△ABM 与△ABC 的面 积比为( ) B.[1,2] D.[-2,0] ) ) 1 |a+b|2=a2+b2+2a· b=1+4+2|a|· |b|· cos〈a,b〉=5+2×1×2× =7,所以|a+b| 2 B.7 D. 7 )

1 A. 5 3 C. 5 答案 C 解析 设 AB 的中点为 D,

2 B. 5 9 D. 25

→ → → → → → → 由 5AM=AB+3AC,得 3AM-3AC=2AD-2AM, → → 即 3CM=2MD. 如图所示,故 C,M,D 三点共线, → 3→ 且MD= CD, 5 也就是△ABM 与△ABC 对于边 AB 的两高之比为 3∶5, 3 则△ABM 与△ABC 的面积比为 . 5 二、填空题 2 → → 7.在 Rt△ABC 中,AB=1,BC=2,AC= 3,D 在边 BC 上,BD= ,则AB· AD=________. 3 答案 2 3

解析 ∵Rt△ABC 中,AB=1,BC=2,AC= 3, 2 BD 1 → 1→ ∴∠ABC=60° ,∠BAC=90° ,∵BD= ,BC=2,得到 = ,∴BD= BC, 3 BC 3 3 → → → → 1→ → 1 → → AD=AB+BD=AB+ BC=AB+ (AC-AB) 3 3 1 → 2→ = AC+ AB, 3 3 2 2 → → → 1 → 2→ 1→ → 2→2 ∴AB· AD=AB· ( AC+ AB)= AB· AC+ AB =0+ ×12= . 3 3 3 3 3 3 → 1 → → → → 8.(2014· 课标全国Ⅰ)已知 A,B,C 为圆 O 上的三点,若AO= (AB+AC),则AB与AC的夹 2 角为________. 答案 90° → 1 → → 解析 ∵AO= (AB+AC), 2 ∴点 O 是△ABC 中边 BC 的中点, → → ∴BC 为直径,根据圆的几何性质有〈AB,AC〉=90° . 9.已知 e1,e2 为相互垂直的单位向量,若向量 λe1+e2 与 e1+λe2 的夹角等于 60° ,则实数 λ =________.

答案 2± 3 解析 因为 e1,e2 为相互垂直的单位向量,则不妨设 e1,e2 分别为直角坐标系中 x,y 轴的 正方向的单位向量,则向量 λe1+e2 与 e1+λe2 的坐标为(λ,1),(1,λ),因为向量 λe1+e2 与 e1+λe2 的夹角等于 60° ,所以由向量数量积的定义可得 cos 60° = 2λ ?λ=2± 3. λ +1 λ2+1
2

?λe1+e2?· ?e1+λe2? 1 ? = |λe1+e2|· |e1+λe2| 2

→ → 10.给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB,它们的夹角为 90° .如图所示,点 C → → → 在以 O 为圆心的圆弧 ? =xOA+yOB,其中 x、y∈R,则 x+ AB 上运动.若OC y 的最大值是________. 答案 2

解析 设∠AOC=α,则∠COB=90° -α,
? ?x=cos α → → → ∴OC=cos α· OA+sin α· OB,即? . ?y=sin α ?

π? ∴x+y=cos α+sin α= 2sin? ?α+4?≤ 2. 三、解答题 11.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 在 x 轴正半轴上,直线 AB 的倾 π 3π? 3π 斜角为 ,|OB|=2,设∠AOB=θ,θ∈? ?2, 4 ?. 4 (1)用 θ 表示点 B 的坐标及|OA|; 4 → → (2)若 tan θ=- ,求OA· OB的值. 3 解 (1)由题意,可得点 B 的坐标为(2cos θ,2sin θ). π π 3π 在△ABO 中,|OB|=2,∠BAO= ,∠B=π- -θ= -θ. 4 4 4 |OB| |OA| 由正弦定理,得 = , π sin B sin 4 3π ? 即|OA|=2 2sin? ? 4 -θ?. → → → → (2)由(1),得OA· OB=|OA|· |OB|· cos θ 3π ? =4 2sin? ? 4 -θ?cos θ. π 3π? 4 因为 tan θ=- ,θ∈? ?2, 4 ?, 3 4 3 所以 sin θ= ,cos θ=- . 5 5

3π ? 3π 3π 又 sin? ? 4 -θ?=sin 4 cos θ-cos 4 sin θ = 2 ? 3? ? 2 2 4 ×?-5?- - ?× = , 2 ? 2 ? 5 10

3 2 12 → → - ?=- . 故OA· OB=4 2× ×? 10 ? 5? 25 C 12.已知△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若向量 m=(cos B,2cos2 -1)与向 2 量 n=(2a-b,c)共线. (1)求角 C 的大小; (2)若 c=2 3,S△ABC=2 3,求 a,b 的值. 解 (1)∵m=(cos B,cos C),m∥n, ∴ccos B=(2a-b)cos C, ∴sin Ccos B=(2sin A-sin B)cos C, 1 sin A=2sin Acos C,∴cos C= , 2 π ∵C∈(0,π),∴C= . 3 (2)∵c2=a2+b2-2abcos C, ∴a2+b2-ab=12,① 1 ∵S△ABC= absin C=2 3, 2 ∴ab=8,②
?a=2 ?a=4 ? ? 由①②得? 或? . ? ? ?b=4 ?b=2

→ 5→ 13.在△ABC 中,AC=10,过顶点 C 作 AB 的垂线,垂足为 D,AD=5,且满足AD= DB. 11 → → (1)求|AB-AC|; → → → → (2)存在实数 t≥1,使得向量 x=AB+tAC,y=tAB+AC,令 k=x· y,求 k 的最小值. 5 → → 5→ → 解 (1)由AD= DB,且 A,B,D 三点共线,可知|AD|= |DB|. 11 11 又 AD=5,所以 DB=11. 在 Rt△ADC 中,CD2=AC2-AD2=75, 在 Rt△BDC 中,BC2=DB2+CD2=196, 所以 BC=14. → → → 所以|AB-AC|=|CB|=14.

→ → → (2)由(1),知|AB|=16,|AC|=10,|BC|=14. 102+162-142 1 由余弦定理,得 cos A= = . 2 2×10×16 → → → → 由 x=AB+tAC,y=tAB+AC, 知 k=x· y → → → → =(AB+tAC)· (tAB+AC) → → → → =t|AB|2+(t2+1)AC· AB+t|AC|2 1 =256t+(t2+1)×16×10× +100t 2 =80t2+356t+80. 由二次函数的图象, 可知该函数在[1,+∞)上单调递增, 所以当 t=1 时,k 取得最小值 516.


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