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2014届高考数学一轮复习 第7章 第2节《空间几何体的表面积和体积》名师首选练习题 新人教A版


第七章
一、选择题

第二节

空间几何体的表面积和体积

4 1. 母线长为 1 的圆锥的侧面展开图的圆心角等于 π , 则该圆锥的体积为 3 A. 2 2 π 81 4 5 π 81 B. 8 π 81 10 π 81 ( )

(

)

C.<

br />
D.

2.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是

2π A.8- 3 C.8-2π

π B.8- 3 2π D. 3

3.若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长都相等,其外接球的表面积是 4π ,则其 侧棱长为 A. C. 3 3 2 2 3 2 3 B. 3 D. 2 3 ( )

4.将边长为 a 的正方形 AB CD 沿对角线 AC 折起,使 BD=a,则三棱锥 D-ABC 的体积为 ( A. C. ) B. D.

a3
6 3 3 a 12

a3
12 2 3 a 12

5.如图,某几何体的正视图,侧视图和俯 视图分别是等边三角形,等腰三角形和菱形, 则该几何体体积为 ( )

1

A.4 3 C.2 3

B.4 D.2 32 π, 3

6.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切 ,已知这个球的体积是 那 么这个三棱柱的体积是 A.96 3 C.24 3 二、填空题 B.16 3 D.48 3 ( )

7.三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,PA=3,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,则三 棱锥 P-ABC 的体积等于________. 8.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为________m .
3

9.四棱锥 P-ABCD 的顶点 P 在底面 ABCD 中的投影恰好是 A,其三视图如图所示,则四 棱锥 P-ABCD 的表面积为________.

三、解答题

2

10.如图,E、F 分别为正方形 ABCD 的边 BC、CD 的中点,沿图中虚线将边长为 2 的正方 形折起来,围成一个三棱锥,求此三棱锥的体积.

11.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱垂直于底面,其高为 6 cm,底面三角形的边长分 别为 3 cm,4 cm,5 cm,以上、下底面的内切圆为底面,挖去一个圆柱,求剩余部分形成的 几何体的体积.

12.如图,四边形 ABCD 为正方形,QA⊥平面 ABCD,PD∥QA,

QA=AB= PD.
(1)证明:PQ⊥平面 DCQ; ( 2)求棱锥 Q?ABCD 的体积与棱锥 P?DCQ 的体积的比值.

1 2

详解答案

一、选择题 4 4 1.解析:圆锥的 侧面展开图扇形的弧长,即底面圆的周长为 π ·1= π ,设底面圆 3 3 4 2 的半径为 r,则有 2π r= π ,得 r= ,于是圆锥的高 h= 3 3 1-? 2 ? 3
2



5 ,故圆锥的体 3
3

4 5 积 V= π. 81 答案:C 2.解析:圆锥的底面半径为 1,高为 2,该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积,即

V=23- ×π ×12 ×2=8- π .
答案:A 3.解析:依题可以构造一个正方体,其体对角线就是外接球的直径.设侧棱长为 a, 球半径为 r.∵r=1,∴ 3a=2r=2, 2 3 ∴a= . 3 答案:B 4.解析:设正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 E,沿 AC 折起后依题意得,当 BD =a 时,BE⊥DE,所以 DE⊥平面 ABC,于是三棱锥 D-ABC 的高为 DE= 1 1 2 2 2 3 -ABC 的体积 V= · a · a= a . 3 2 2 12 答案:D 5.解析:由题意知该几何体为如图所示的四棱锥,底面为菱形,且 AC=2 3,BD=2, 1 1 高 OP=3,其体积 V= ×( ×2 3×2)×3=2 3. 3 2 2 a,所以三棱锥 D 2

1 3

2 3

答案:C 4 32 1 3 3 6.解析:由 π R = π ,∴R=2.∴正三棱柱的高 h=4.设其底面边长为 a,则 · 3 3 3 2

a=2,∴a=4 3.∴V=
答案:D 二、填空题

3 2 (4 3) ·4=48 3. 4

1 1 3 2 7.解析:依题意有,三棱锥 P-ABC 的体积 V= S△A BC·PA= × ×2 ×3= 3. 3 3 4 答案: 3
4

8.解析:由三视图可知,此几何体的上面是正四棱柱,其长,宽,高分别是 2,1,1, 此几何体的下面是长方体,其长,宽,高分别是 2,1,1,因此该几何体的体积 V=2×1×1 +2×1×1=4(m ). 答案:4 9.解析:依题意可知,在该四棱锥中,PA⊥底面 ABCD,PA=a,底面四边形 ABCD 是边 长为 a 的正方形,因此有 PD⊥CD,PB⊥BC,PB=PD= 2a,所以该四棱锥的表面积等于 a 1 2 1 2 +2× a +2× × 2a×a=(2+ 2)a . 2 2 答案:(2+ 2)a 三、解答题 10. 解:折叠起来后,B、D、C 三点重合为 S 点,则围成的三棱锥为 S-AEF,这时 SA 1 1 1 ⊥SE,SA⊥SF,SE⊥SF, SA=2, =SF=1,所以此三棱锥的体积 V= · ·1·1·2= . 且 SE 3 2 3 11. 解:V 棱柱=3×4÷2×6=36(cm ). 设圆柱底面圆的半径为 r, (3-r)+(4-r)=5,
3 2 2 3

r=1. V 圆柱=π r2·h=6π (cm3).

V=V 棱柱-V 圆柱=(36-6π ) c m3.
12.解:(1)证明:由条件知 PDAQ 为直角梯形. 因为 QA⊥平面 ABCD,所以平面 PDAQ⊥平面 ABCD,交线为 AD. 又四边形 ABCD 为正方形,DC⊥AD, 所以 DC⊥平面 PDAQ.可得 PQ⊥DC. 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ=PQ= 则 PQ⊥QD. 所以 PQ⊥平面 DCQ. 1 3 (2)设 AB=a.由题设知 AQ 为棱锥 Q?ABCD 的高,所以棱锥 Q-ABCD 的体积 V1= a . 3 由(1)知 PQ 为棱锥 P-DCQ 的高,而 PQ= 2a,△DCQ 的面积为 2 2 a, 2 2 PD, 2

5

1 3 所以棱锥 P-DCQ 的体积 V2= a . 3 故棱锥 Q-ABCD 的体积与棱锥 P-DCQ 的体积的比值为 1.

6


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