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【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案:学案56 随机抽样


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第十章 概率与统计、统计案例 学案 56 随机抽样
导学目标: 1.理解随机抽样的必要性和重要性.2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取 样本.3.了解分层抽样和系统抽样方法.

自主梳理 1.简单随机抽样 (1)定义:设一个总体含有 N 个个体,从中____________抽取 n 个个体作为样本

(n≤N), 如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都________, 就把这种抽样方法叫做简单随 机抽样. (2)最常用的简单随机抽样的方法:__________和____________. 2.系统抽样的步骤 假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本. (1)先将总体的 N 个个体进行________; N N (2)确定____________,对编号进行________.当 (n 是样本容量)是整数时,取 k= ; n n (3)在第 1 段用________________确定第一个个体编号 l (l≤k); (4)按照一定的规则抽取样本. 通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号________, 再 加 k 得到第 3 个个体编号________,依次进行下去,直到获取整个样本. 3.分层抽样 (1)定义:一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各 层独立地抽取一定数量的个体, 将各层取出的个体合在一起作为样本, 这种抽样方法是一种 分层抽样. (2)分层抽样的应用范围: 当总体是由________________________________组成时,往往选用分层抽样. 自我检测 1.为了了解所加工的一批零件的长度,抽取其中 200 个零件并测量其长度,在这个问 题中,200 个零件的长度是( ) A.总体 B.个体 C.总体的一个样本 D.样本容量 2.某牛奶生产线上每隔 30 分钟抽取一袋进行检验,则该抽样方法为①;从某中学的 30 名数学爱好者中抽取 3 人了解学习负担情况,则该抽样方法为②.那么( ) A.①是系统抽样,②是简单随机抽样 B.①是分层抽样,②是简单随机抽样 C.①是系统抽样,②是分层抽样 D.①是分层抽样,②是系统抽样 3.(2010· 四川)一个单位有职工 800 人,其中具有高级职称的为 160 人,具有中级职称 的为 320 人,具有初级职称的为 200 人,其余人员 120 人.为了解职工收入情况,决定采用 分层抽样的方法, 从中抽取容量为 40 的样本. 则从上述各层中依次抽取的人数分别是( ) A.12,24,15,9 B.9,12,12,7 C.8,15,12,5 D.8,16,10,6 4.(2010· 重庆)某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职 工 150 人,为了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本,若样本中的 青年职工为 7 人,则样本容量为( ) A.7 B.15 C.25 D.35
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5.(2011· 天津模拟)在 120 个零件中,一级品 24 个,二级品 36 个,三级品 60 个,用系 统抽样方法从中抽取量为 20 的样本,则三级品 a 被抽到的可能性为________.

探究点一 抽样方法的选取 例 1 (2011· 济宁检测)要完成下列两项调查:①从某社区 125 户高收入家庭、280 户中 等收入家庭、95 户低收入家庭中选出 100 户调查社会购买力的某项指标;②某中学的 15 名 艺术特长生中选出 3 人调查学习负担情况.宜采用的抽样方法依次为( ) A.①简单随机抽样法,②系统抽样法 B.①分层抽样法,②简单随机抽样法 C.①系统抽样法,②分层抽样法 D.①②都用分层抽样法 变式迁移 1 某高级中学有学生 270 人,其中一年级 108 人,二、三年级各 81 人,现 要抽取 10 人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用 简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为 1,2,…,270;使用 系统抽样时,将学生统一随机编号为 1,2,…,270,并将整个编号依次分为 10 段.如果抽 得号码有下列四种情况: ①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250; ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265; ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254; ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270. 关于上述样本的下列结论中,正确的是( ) A.②、③都不能为系统抽样 B.②、④都不能为分层抽样 C.①、④都可能为系统抽样 D.①、③都可能为分层抽样 探究点二 系统抽样 例 2 (2010· 湖北)将参加夏令营的 600 名学生编号为:001,002,…,600.采用系统抽 样方法抽取一个容量为 50 的样本, 且随机抽得的号码为 003.这 600 名学生分住在三个营区, 从 001 到 300 在第Ⅰ营区,从 301 到 495 在第Ⅱ营区,从 496 到 600 在第Ⅲ营区,三个营区 被抽中的人数依次为( ) A.26,16,8 B.25,17,8 C.25,16,9 D.24,17,9 变式迁移 2 (2009· 广东)某单位 200 名职工的年龄分布情况如图,现要从中抽取 40 名 职工作为样本.用系统抽样法,将全体职工随机按 1~200 编号,并按编号顺序平均分为 40 组(1~5 号,6~10 号,…,196~200 号).若第 5 组抽出的号码为 22,则第 8 组抽出的号 码应是________.若用分层抽样方法,则 40 岁以下年龄段应抽取______________________ 人.

探究点三 分层抽样 例 3 某单位共有老、中、青职工 430 人,其中有青年职工 160 人,中年职工人数是 老年职工人数的 2 倍.为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本 中有青年职工 32 人,则该样本中的老年职工人数为( ) A.9 B.18 C.27 D.36 变式迁移 3 某企业有 3 个分厂生产同一种电子产品,第一、二、三分厂的产量之比为
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1∶2∶1, 用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从 3 个分厂生产的电子产品中共抽取 100 件作使用寿命的测试,由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的 平均值分别为 980 h,1 020 h,1 032 h, 则抽取的 100 件产品的使用寿命的平均值为________ h.

1.简单随机抽样的特点:(1)样本的总体个数不多;(2)从总体中逐个不放回地抽取,是 不放回抽样;(3)是一种等机会抽样,各个个体被抽取的机会均等,保证了抽样的公平 性. 2.系统抽样的特点:(1)适用于总体个数较多的情况;(2)剔除多余个体并在第一段中用 简单随机抽样确定起始的个体编号;(3)是等可能抽样. 3.对于分层抽样的理解应注意:(1)分层抽样适用于由差异明显的几部分组成的情况; (2)在每一层进行抽样时,采用简单随机抽样或系统抽样;(3)分层抽样充分利用已掌握 的信息,使样本具有良好的代表性;(4)分层抽样也是等概率抽样,而且在每层抽样时, 可以根据具体情况采用不同的抽样方法,因此应用较为广泛.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2011· 台州第一次调研)现要完成下列 3 项抽样调查: ①从 10 盒酸奶中抽取 3 盒进行食品卫生检查;②科技报告厅有 32 排,每排有 40 个座 位,有一次报告会恰好坐满了听众,报告会结束后,为了听取意见,需要请 32 名听众进行 座谈.③东方中学共有 160 名教职工,其中一般教师 120 名,行政人员 16 名,后勤人员 24 名.为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见,拟抽取一个容量为 20 的样本.较为合 理的抽样方法是( ) A.①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样 B.①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样 C.①系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样 D.①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样 2.某校高三年级有男生 500 人,女生 400 人,为了解该年级学生的健康情况,从男生 中任意抽取 25 人,从女生中任意抽取 20 人进行调查,这种抽样方法是( ) A.简单随机抽样法 B.抽签法 C.随机数法 D.分层抽样法 3.要从已经编号(1~60)的 60 枚最新研制的某型号导弹中随机抽取 6 枚来进行发射试 验,用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 6 枚导弹的编号可能是 ( ) A.5,10,15,20,25,30 B.3,13,23,33,43,53 C.1,2,3,4,5,6 D.2,4,8,16,32,48 4.某校共有学生 2 000 名,各年级男、女生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到二年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在三年 级抽取的学生的人数为( ) 一年级 二年级 三年级 373 x y 女生 377 370 z 男生 A.24 B.18 C.16 D.12 5. (2011· 陕西师大附中模拟)某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取 90 名学生进行 家庭情况调查, 经过一段时间后再次从这个年级随机抽取 100 名学生进行学情调查, 发现有 20 名同学上次被抽到过,估计这个学校高一年级的学生人数为( )
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A.180 B.400 C.450 D.2 000 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.一个总体有 100 个个体,随机编号为 0,1,2,…,99,依编号顺序平均分成 10 组, 组号依次为 1,2,3,…,10,现用系统抽样方法抽取一个容量为 10 的样本,规定如果在第 1 组中随机抽取的号码为 m,那么在第 k 组中抽取的号码个位数字与 m+k 的个位数字相同, 若 m=6,则在第 7 组中抽取的号码是________. 7.(2011· 舟山月考)某学院的 A,B,C 三个专业共有 1 200 名学生.为了调查这些学生 勤工俭学的情况,拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本.已知该学院的 A 专 业有 380 名学生,B 专业有 420 名学生,则在该学院的 C 专业应抽取________名学生. 8.一个总体分为 A,B 两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本.已 1 知 B 层中每个个体被抽到的概率都为 ,则总体中的个体数为________. 12 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)某校高中三年级的 295 名学生已经编号为 1,2,…,295,为了解学生的学习 情况,要按 1∶5 的比例抽取一个样本,用系统抽样的方法进行抽取,并写出过程.

10.(12 分)(2011· 潮州模拟)潮州统计局就某地居民的月收入调查了 10 000 人,并根据 所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示 收入在[1 000,1 500)).

(1)求居民月收入在[3 000,3 500)的频率; (2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数; (3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系,必须按月收入再从这 10 000 人中 用分层抽样方法抽出 100 人作进一步分析,则月收入在[2 500,3 000)的这段应抽多少人?

11.(14 分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了 100 名电视观众,相关的数据如表所示:
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文艺节目 新闻节目 总计 40 18 58 20 至 40 岁 15 27 42 大于 40 岁 55 45 100 总计 (1)由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有关? (2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名,大于 40 岁的观众应该抽取 几名? (3)在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名,求恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁的概率.

学案 56

随机抽样

自主梳理 1.(1)逐个不放回地 相等 (2)抽签法 随机数法 2.(1)编号 (2)分段间隔 k 分段 (3)简单随机抽样 (4)(l+k) (l+2k) 3.(2)差异明 显的几个部分 自我检测 1.C 2.A [因为①中牛奶生产线上生产的牛奶数量很大,每隔 30 分钟抽取一袋,这符合系 统抽样;②中样本容量和总体容量都很小,采用的是简单随机抽样.] 3.D [由题意,各种职称的人数比为 160∶320∶200∶120=4∶8∶5∶3,所以抽取的 4 8 5 具有高、中、初级职称的人数和其他人员的人数分别为 40× = 8,40× = 16,40× = 20 20 20 3 10,40× =6.] 20 4.B [由题意知青年职工人数∶中年职工人数∶老年职工人数=350∶250∶150=7∶ 5∶3.由样本中青年职工为 7 人,得样本容量为 15.] 1 5. 6 20 1 解析 每一个个体被抽到的概率都是样本容量除以总体,即 = . 120 6 课堂活动区 例 1 解题导引 解决本题的关键在于对各种抽样方法概念的正确理解以及在每一次 抽样的步骤中所采用的抽样方法. 采用什么样的抽样方法要依据研究的总体中的个体情况来 定. B [①中总体由差异明显的几部分构成, 宜采用分层抽样法, ②中总体中的个体数较少, 宜采用简单随机抽样法.] 变式迁移 1 D [③中每部分选取的号码间隔一样(都是 27),可能为系统抽样方法,排 除 A;②可能为分层抽样,排除 B;④不是系统抽样,排除 C,故选 D.] N? 例 2 解题导引 系统抽样是一种等间隔抽样,间隔 k=? ? n ? (其中 n 为样本容量,N
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为总体容量).预先定出规则,一旦第 1 段用简单随机抽样确定出起始个体的编号,那么样 本中的个体编号就确定下来.从小号到大号逐次递增 k,依次得到样本全部.因此可以联想 等差数列的知识结合Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ营区的编号范围来求解. 600 B [ 由题意,系统抽样间隔 k = = 12 ,故抽到的个体编号为 12k + 3 ( 其中 k = 50 0,1,2,3,…,49).令 12k+3≤300,解得 k≤24. ∴k=0,1,2,…,24,共 25 个编号. 所以从Ⅰ营区抽取 25 人; 令 300<12k+3≤495,解得 25≤k≤41. ∴k=25,26,27,…,41,共 17 个编号. 所以从Ⅱ营区抽取 17 人; 因此从第Ⅲ营区抽取 50-25-17=8(人).] 变式迁移 2 37 20 解析 由分组可知,抽号的间隔为 5,又因为第 5 组抽出的号码为 22,所以第 6 组抽出 的号码为 27,第 7 组抽出的号码为 32,第 8 组抽出的号码为 37. 40 40 岁以下的年龄段的职工数为 200×0.5=100(人 ) ,则应抽取的人数为 ×100= 200 20(人). 例 3 解题导引 分层抽样中各层抽取的个体数依各层个体数成比例分配.因此要善 于利用列比例等式来解决该类问题.必要时引进字母来表示一些未知量. B [设该单位老年职工有 x 人,从中抽取 y 人. 则 160+3x=430?x=90,即老年职工有 90 人, 90 y 则 = ?y=18.] 160 32 变式迁移 3 1 013 解析 利用分层抽样可知从 3 个分厂抽出的 100 个电子产品中, 每个厂中的产品个数比 也为 1∶2∶1,故分别有 25,50,25 个.再由三个厂子算出的平均值可得 100 件产品的总的平 均寿命为 980×25+1 020×50+1 032×25 =1 013(h). 100 课后练习区 1.A [①总体较少,宜用简单随机抽样;②已分段,宜用系统抽样;③各层间差距较 大,宜用分层抽样.] 2.D [由分层抽样的定义可知,该抽样为按比例的抽样.] 60 3.B [系统抽样是等距抽样,间隔 k= =10.] 6 4.C [∵二年级女生有 2 000×0.19=380(人), ∴三年级共有 2 000-(373+377)-(380+370)=500(人). 64 ∴应在三年级抽取的人数为 ×500=16(人).] 2 000 5.C [设这个学校高一年级人数为 x, 90 20 则 = ,∴x=450.] x 100 6.63 解析 由题意知,第 7 组中抽取的号码的个位数与 6+7 的个位数相同,即为 3;又第 7 组中号码的十位上的数为 6,所以在第 7 组中抽取的号码是 63. 7.40 解析 由题知 C 专业有学生 1 200-380-420=400(名), 400 那么 C 专业应抽取的学生数为 120× =40(名). 1 200
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8.120 解析 分层抽样中,每个个体被抽到的概率都相等, 10 1 则 = ?x=120. x 12 9.解 按照 1∶5 的比例,应该抽取的样本容量为 295÷ 5=59,我们把 295 名同学分成 59 组,每组 5 人.(4 分) 第 1 组是编号为 1~5 的 5 名学生,第 2 组是编号为 6~10 的 5 名学生,依次下去,第 59 组是编号为 291~295 的 5 名学生.(8 分) 采用简单随机抽样的方法, 从第 1 组 5 名学生中抽出一名学生, 不妨设编号为 l(1≤l≤5), 那么抽取的学生编号为(l+5k) (k=0,1,2,…,58),得到 59 个个体作为样本,如当 l=3 时 的样本编号为 3,8,13,…,288,293. (12 分) 10.解 (1)月收入在[3 000,3 500)的频率为 0.000 3×(3 500-3 000)=0.15.(2 分) (2)∵0.000 2×(1 500-1 000)=0.1, 0.000 4×(2 000-1 500)=0.2, 0.000 5×(2 500-2 000)=0.25, 0.1+0.2+0.25=0.55>0.5. ∴样本数据的中位数为 0.5-?0.1+0.2? 2 000+ 0.000 5 =2 000+400=2 400.(6 分) (3)居民月收入在[2 500,3 000)的频率为 0.000 5×(3 000-2 500)=0.25, 所以 10 000 人中月收入在[2 500,3 000)的人数为 0.25×10 000=2 500(人), 再从 10 000 人中分层抽样方法抽出 100 人,则月收入在[2 500,3 000)的这段应抽取 2 500 100× =25(人). 10 000 (12 分) 11.解 (1)因为在 20 至 40 岁的 58 名观众中有 18 名观众收看新闻节目,而大于 40 岁 的 42 名观众中有 27 名观众收看新闻节目,所以,经直观分析,收看新闻节目的观众与年龄 是有关的.(4 分) 5 (2)从题中所给条件可以看出收看新闻节目的共 45 人,随机抽取 5 人,则抽样比为 = 45 1 1 ,故大于 40 岁的观众应抽取 27× =3(人).(8 分) 9 9 (3)抽取的 5 名观众中大于 40 岁的有 3 人,在 20 至 40 岁的有 2 人,记大于 40 岁的人 为 a1,a2,a3,20 至 40 岁的人为 b1,b2,则从 5 人中抽取 2 人的基本事件有(a1,a2),(a1,a3), (a2,a3),(b1,b2),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2)共 10 个,其中 恰有 1 人为 20 至 40 岁的有 6 个, 6 3 故所求概率为 = .(14 分) 10 5

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