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2007年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛


2007 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案及评分标准

2007 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛
说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准。选择题只设 6 分和 0 分两档,填空题只设 9 分和 0 分两档;其 他各题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它中间档次。 2. 如果考生的解题方法和本解答不同,只要思

路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当 划分档次评分,5 分为一个档次,不要再增加其他中间档次。 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 本题共有 6 小题,每小题均给出 A,B,C,D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案 的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得 6 分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写 在括号内) ,一律得 0 分。 1. A. 解 已知 a , b 是方程 log 3 x 3 ? log 27 (3 x) ? ?

10 27

B.

4 81

4 的两个根,则 a ? b ? 3 10 28 C. D. 81 81





原方程变形为

log3 3 log3 (3x) 1 ? log3 x 4 1 4 ? ? ? ,即 ? ?? . log3 (3x) log3 27 3 1 ? log3 x 3 3

1 t 4 ? ? ,解得 t1 ? ?1, t2 ? ?3 .所以 1 ? log3 x ? ?1或 1 ? log3 x ? ?3 ,所以 t 3 3 1 1 10 方程的两根分别为 和 ,所以 a ? b ? . 故选(C). 9 81 81 ???? 3 ??? ? 2. 设 D 为△ ABC 的边 AB 上一点, P 为△ ABC 内一点,且满足 AD ? AB , 4 ??? ???? 2 ??? ? ? S AP ? AD ? BC ,则 △APD ? ( ) 5 S△ABC
令 1 ? log3 x ? t ,则 ?

2 7 8 C. D. 5 15 15 ??? 2 ??? ? ? 解 连 PD,则 DP ? BC ,所以 DP // BC ,故 ?ADP ? ?B ,故 5 1 S△APD 2 AD ? DP ? sin ?ADP 3 2 3 ? ? ? ? . 故选(A). 1 S△ABC 4 5 10 AB ? BC ? sin ?B 2
A. B. 3. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 既是奇函数又是周期函数, f ( x ) 的最小正周期是 ? , 若 且当 x∈[0,

3 10

? ) 2

时, f ( x) ? sin x ,则 f ( ? ) 的值为

8 3

(

)

A. 解

3 2

B. ?

3 2

C.

1 2

D.

?

1 2

根据题设条件可知

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8 ? ? ? ? 3 f ( ? ) ? f (? ? 3? ) ? f (? ) ? ? f ( ) ? ? sin ? ? . 3 3 3 3 3 2
故选(B). 4. 已知 ABCD ? A B1C1D1 是一个棱长为 1 的正方体, O1 是底面 A1B1C1D1 的中心, M 是棱 BB1 上的 1 点,且 S△DBM : S△O1B1M ? 2 : 3 ,则四面体 O1 ADM 的体积为 A. 解 ( ) D.

7 24

B.

3 16

C.

7 48

11 48
心,则
D C O B M

易知 AC ? 平面 D1B1BD ,设 O 是底面 ABCD 的中

AO ? 平面 DO1M .
因为

A

S△DBM BD ? BM BM 2 ? ? 2? ? , S△O1B1M O1B1 ? B1M B1M 3
D1 A1 O1

1 3 BM 1 所以 ? ,故 BM ? , B1M ? .于是 4 4 B1M 3

C1 B1

S△DO1M ? SD1B1BD ? S△DD1O1 ? S△O1B1M ? S△DBM
7 1 2 1 2 3 1 1 2, ? 1? 2 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? 2? 16 2 2 2 2 4 2 4
所以 VA-O1MD ?

1 1 7 2 7 . 故选(C). S△DO1M ? AO ? ? 2? ? 3 3 16 2 48

5. 有编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球,从中取出 4 个,则取出的球的编号互不相同 的概率为 ( ) A. 解

5 . 21

B.

2 . 7

C.

1 3

D.

8 21

4 从 10 个球中取出 4 个,不同的取法有 C10 ? 210 种.如果要求取出的球的编号互不相同,可以先

4 从 5 个编号中选取 4 个编号,有 C5 种选法.对于每一个编号,再选择球,有两种颜色可供挑选,所以取出

的球的编号互不相同的取法有 C5 ? 2 ? 80 种.
4 4

因此,取出的球的编号互不相同的概率为
n

80 8 ? . 故选(D). 210 21
( D. 3 个 )

6. 使得 3 ? 81是完全平方数的正整数 n 有 A. 0 个 解 B. 1 个 C. 2 个

n 当 n ? 4 时 , 易 知 3 ? 81 不 是 完 全 平 方 数 . 故 设 n ? k ? 4 , 其 中 k 为 正 整 数 , 则

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3n ? 81 ? 81(3k ? 1) .
因 为 3 ? 8 1是 完 全 平 方 数 , 而 81 是 平 方 数 , 则 一 定 存 在 正 整 数 x , 使 得 3 ? 1 ? x , 即
n k 2

3k ? x2 ?1 ? (x ? 1) ( ? 1) x ? 1, x ? 1 都是 3 的方幂. x ,故
又两个数 x ? 1, x ? 1 相差 2,所以只可能是 3 和 1,从而 x ? 2, k ? 1. 因此,存在唯一的正整数 n ? k ? 4 ? 5 ,使得 3 ? 81 为完全平方数.故选(B).
n

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上。 7. 设 [ x ] 表示不大于 x 的最大整数,集合 A ? {x | x2 ? 2[ x] ? 3} , B ? {x | _________________. 解 不等式

1 ? 2 x ? 8} ,则 A ? B ? 8

1 ? 2 x ? 8 的解为 ?3 ? x ? 3 ,所以 B ? (?3,3) . 8

? x 2 ? 2[ x ] ? 3, 若 x ? A ? B ,则 ? 所以 [ x ] 只可能取值 ?3, ?2, ?1,0,1, 2 . ? ?3 ? x ? 3,
若 [ x] ? ?2 ,则 x2 ? 3 ? 2[ x] ? 0 ,没有实数解;若 [ x] ? ?1 ,则 x ? 1 ,解得 x ? ?1 ;
2

若 [ x] ? 0 ,则 x ? 3 ,没有符合条件的解;若 [ x] ? 1 ,则 x ? 5 ,没有符合条件的解;
2 2

若 [ x] ? 2 ,则 x ? 7 ,有一个符合条件的解 x ?
2

7.

因此, A ? B ? ?1, 7 . 若数列 ?an ? 满足: a1 ?

?

?

8.

2 2 , an?1 ? an ? (an ?1 ? an ) ,则 a2007 ? _______. 3 3



由 an ?1 ? an ?
2

2 (an ?1 ? an ) 两边平方得 3(an?1 ? an )2 ? 2(an?1 ? an ) , 3

又 3(an ? an?1 ) ? 2(an ? an?1 ) ,两式相减,得

3(an?1 ? an?1 )(an?1 ? 2an ? an?1 ) ? 2(an?1 ? an?1 ) .
由 a1 ?

2 2 , an?1 ? an ? (an ?1 ? an ) 求得 a2 ? 2 ,又由递推关系式易知数列 ?an ? 是单调递增数列,所 3 3
2 2 ,即 (an ?1 ? an ) ? (an ? an ?1 ) ? , 3 3

以 an?1 ? an?1 ? 0 ,故 3(an?1 ? 2an ? an?1 ) ? 2 ,即 an ?1 ? 2an ? an ?1 ? 所 以 数 列

?an?1 ? an ?

是 以 a2 ? a1 ?

4 2 为 首 项 , 为 公 差 的 等 差 数 列 , 所 以 3 3
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an ?1 ? an ?

4 2 2 ? (n ? 1) ? (n ? 1) ,于是 3 3 3 2 1 an ? a1 ? (2 ? 3 ? ? ? n) ? n(n ? 1) , 3 3 1 所以 a2007 ? ? 2007 ? (2007 ? 1) ? 1343352 . 3
9. 设复数 z1 ? (2 ? a) ? (1 ? b)i, z2 ? (3 ? 2a) ? (2 ? 3b)i, z3 ? (3 ? a) ? (3 ? 2b)i, 其中 a, b ? R ,当

z1 ? z2 ? z3 取得最小值时, 3a ? 4b ? __________.
解 易求得 z1 ? z2 ? z3 ? 8 ? 6i , 于是 z1 ? z2 ? z3 ? z1 ? z2 ? z3 =10,z1 ? z2 ? z3 取得最小值, ,

当且仅当

2 ? a 3 ? 2a 3 ? a 8 7 5 ? ? ? ,解得 a ? , b ? ,所以 3a ? 4b ? 12. 1 ? b 2 ? 3b 3 ? 2b 6 3 4 ? 225 2 ? 10. 设 x ? (0, ) ,则函数 y ? 的最小值为__________. 2 4sin 2 x cos x
因为 x ? (0,



?

2

) ,所以 sin x ? 0,cos x ? 0 ,设 k ? 0 ,
(1)

y?

225 1 1 ? k sin 2 x ? ? ? k cos 2 x ? k ? 15 k ? 3 3 k ? k 2 4sin x cos x cos x

15 ? 2 225 ? 225 ? 4 ? k sin 2 x, sin x ? , ?sin x ? 2 k , 2 ? 4sin x ? ? ? ? 4k 其中等号成立当且仅当 ? 成立,此时 ?? ?? 1 1 1 2 2 3 ? ?cos x ? ?cos x ? ? k cos x 3 2 ? cos x ? ? k ? ? k ?
1 15 1 ? ? 1 ,设 ? t 6 ,则 2t 4 ? 15t 3 ? 2 ? 0 .而 3 2 k 2 k k

2t 4 ? 15t 3 ? 2 ? 2t 4 ? t 3 ? 16t 3 ? 2 ? t 3 (2t ?1) ? 2(2t ?1)(4t 2 ? 2t ?1) ? (2t ?1)(t 3 ? 8t 2 ? 4t ? 2),
故 (2t ?1)(t 3 ? 8t 2 ? 4t ? 2) ? 0 , 注意到 sin x ?
2

1 15 1 ? 1, cos 2 x ? ? 1 ,判断易知满足限制条件的根只有 t ? . 3 2 2 2 k k

1 1 时, k ? 6 ? 64 ,不等式(1)取得等号. 2 t 225 2 ? 所以函数 y ? 的最小值为 15 64 ? 3 3 64 ? 64 ? 68 . 2 4sin x cos x
当t ? 11. 对于函数 f ( x) ? 值为__________. 解 若 a ? 0 , 对 于 正 数 b , f ( x ) 的 定 义 域 为 D ? (??, ? ] ? [0, ??) , 但 f ( x ) 的 值 域
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存在一个正数 b , 使得 f ( x ) 的定义域和值域相同, 则非零实数 a 的 ax 2 ? bx ,

b a

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A ? [0, ??) ,故 D ? A ,不合要求.
若 a ? 0 ,对于正数 b , f ( x ) 的定义域为 D ? [0, ? ] . 由于此时 [ f ( x)]max ? f (?

b a

b b b ,故函数的值域 A ? [0, )? ]. 2a 2 ?a 2 ?a

由题意,有 ?

b b ,由于 b ? 0 ,所以 a ? ?4 . ? a 2 ?a

12. 已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,点 P(?2, 0) 到其渐近线的距离为

2 6 .若过 P 点作 3

斜率为

2 的直线交双曲线于 A, B 两点,交 y 轴于 M 点,且 PM 是 PA 与 PB 的等比中项,则双曲线的 2

半焦距为__________. 解 设渐近线的方程为 y ? kx ,由题设得

?2k 1? k
2

?

2 6 ,解得 k ? ? 2 ,双曲线的渐近线方程为 3

y ? ? 2x ,故可设双曲线的方程为 2x2 ? y 2 ? ?

(? ? 0 ) .

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 直 线 AB 的 方 程 为 y ?

2 ( x ? 2 ), 代 入 双 曲 线 方 程 消 去 y , 得 2

3x2 ? 4x ? 2 ? 4 .0 ? ?
当 ? ? 16 ? 12(2? ? 4) ? 0 , ? ? ? 即
2

8 4 2 时, 上面的方程恰有两实根, x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ? (? ? 2) . 且 3 3 3

由 题 设 可 知 , PM ? PA ? PB , 可 化 为 ( x1 ? 2) ? ( x2 ? 2) ? 4 , 即 x1 x2 ? 2( x1 ? x2) ? 4 ? 4 即 ,

2 4 ? (? ? 2) ? 2 ? ? 4 ? 4 ,解得 ? ? 2 或 ? ? 14 . 3 3
2 2 2 2 因此,双曲线的方程为 2 x ? y ? 2 或 2 x ? y ? 14 ,即 x ?
2

y2 x2 y 2 ? 1或 ? ?1. 2 7 14

所以双曲线的半焦距为 1 ? 2 ? 3 或 7 ? 14 ? 21 . 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分)

1 x2 ? y 2 ? 1于点 M , N . 13. 过点 Q(?1, ?1) 作已知直线 l : y ? x ? 1的平行线,交双曲线 4 4
(1)证明:点 Q 是线段 MN 的中点.

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(2)分别过点 M , N 作双曲线的切线 l1 , l2 ,证明:三条直线 l , l1 , l2 相交于同一点. (3)设 P 为直线 l 上一动点,过点 P 作双曲线的切线 PA, PB ,切点分别为 A, B .证明:点 Q 在直线 AB 上. 解 (1)直线 MN 的方程为 y ? (?1) ? 得 3x ? 6 x ? 25 ? 0 .
2

1 1 x2 [ x ? (?1)] ,即 y ? ( x ?3) ,代入双曲线方程 ? y 2 ? 1, 4 4 4

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 x1 , x2 是方程的两根,所以 x1 ? x2 ? ?2 , 于是 y1 ? y2 ?

1 ( x1 ? x2 ? 6) ? ?2 ,故点 Q(?1, ?1) 是线段 MN 的中点. ………5 分 4

(2)双曲线

x2 ? y 2 ? 1的过点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 的切线方程分别为 4

l1 :

x1 x xx ? y1 y ? 1 , l2 : 2 ? y2 y ? 1 . 4 4

? x1 x ? 4 ? y1 y ? 1, 1 ? 联立,得 ? 两式相加,并将 x1 ? x2 ? ?2 , y1 ? y2 ? ?2 代入,得 y ? x ? 1 ,这说明 4 ? x2 x ? y y ? 1, 2 ? 4 ?
直 线 l1 , l2 的 交 点 在 直 线 l : y ? 点.

1 x ? 1 上 , 即 三 条 直 线 l , l1 , l2 相 交 于 同 一 4
…………………………10 分

x3 x xx ? y3 y ? 1 和 4 ? y4 y ? 1 , 4 4 xx xx xx 因为点 P 在两条直线上, 所以 3 0 ? y3 y0 ? 1 , 4 0 ? y4 y0 ? 1 , 这表明点 A, B 都在直线 0 ? y0 y ? 1 上, 4 4 4 x0 x ? y0 y ? 1 . 即直线 AB 的方程为 4 x x 又 y0 ? 0 ? 1 ,代入整理得 0 ( x ? y ) ? ( y ? 1) ? 0 ,显然,无论 x0 取什么值(即无论 P 为直线 l 上哪 4 4
(3)设 P( x0 , y0 ) , A( x3 , y3 ), B( x4 , y4 ) ,则 PA, PB 的方程分别为 一点) ,点 Q(?1, ?1) 都在直线 AB 上. …………………………20 分 14. 已知数列 ?an ? 满足递推关系式: an ?1 ?

1 2 an ? an ? 2 , n ? 1, n ? N . 2 3 2
n

(1)若 a1 ? 4 ,证明: (ⅰ)当 n ? 2 时,有 an?1 ? 2an ; (ⅱ)当 n ? 1 时,有 an ?1 ? ( ) an . (2)若 a1 ? 1 ,证明:当 n ? 5 时,有 证明: 因为 an ?1 ? an ?

?a
k ?1

n

1
k

? n ? 1.

1 2 1 an ? 2an ? 2 ? (an ? 2) 2 ? 0 ,故 an?1 ? an ,即数列 ?an ? 为递增数列. 2 2
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1 2 an ? an ? 2 可求得 a2 ? 6, a3 ? 14 ,于是当 n ? 2 时, an ? 6 ,于是 2 1 2 1 5 an ?1 ? 2an ? an ? 3an ? 2 ? (an ? 3) 2 ? ? 0 ,即当 n ? 2 时, an?1 ? 2an . 2 2 2
(1) (ⅰ)由 a1 ? 4 及 an ?1 ? …………………………5 分 (ⅱ)由于 n ? 2 时, an?1 ? 2an ,所以 n ? 2 时, an?1 ? 2n?2 a2 ? 6 ? 2n?2 ? 3 ? 2n?1 . 由 an ?1 ?

1 2 a 1 2 an ? an ? 2 可得 n?1 ? an ? ? 1 . 2 an 2 an 1 3 an ? ( ) n ? 1 2 2
( n ? 3 ).

先用数学归纳法证明下面的不等式成立: Ⅰ)当 n ? 3 时,

1 3 a3 ? 7 ? ( )3 ? 1 ,结论成立. 2 2 1 3 k Ⅱ)假设结论对 n ? k (k ? 3) 成立,即 ak ? ( ) ? 1 ,则结合(ⅰ)的结论可得 2 2 1 3 3 ak ?1 ? ak ? 2( ) k ? 2 ? ( ) k ?1 ? 1 ,即当 n ? k ? 1 时结论也成立. 2 2 2 1 3 n 综合Ⅰ) ,Ⅱ)可知,不等式 an ? ( ) ? 1 对一切 n ? 3 都成立. 2 2
因此,当 n ? 3 时,

3 3 an?1 1 2 1 ? an ? ? 1 ? an ? 1 ? ( ) n ,即 an ?1 ? ( ) n an . 2 2 an 2 an 2 3 2
2

又 a2 ? 6 ? ( ) ? a1 , a3 ? 14 ? ( ) ? a2 ? 13.5 ,所以当 n ? 1 时,有 an ?1 ? ( ) an .
1 n

3 2

3 2

…………………………10 分 (2)由于 a1 ? 1 ,而数列 ?an ? 为递增数列,故当 n ? 1 时,有 an ? 1 . 由 an ?1 ?
n

1 2 1 1 1 an ? an ? 2 可得 ? ,而 a1 ? 1 ,于是 ? 2 an an ? 2 an ?1 ? 2

n 1 1 1 1 1 1 ? ?( ? a k ?1 a ? 2 ? a ? 2 ) ? a ? 2 ? a ? 2 ? 2 ? a ?1. k ?1 k k k ?1 1 n ?1 n ?1

下面先证明:当 n ? 5 时,有 an ? 2 ? Ⅰ)根据 a1 ? 1 及 an ?1 ?

1 n ?1

(*)

1 2 3 13 217 an ? an ? 2 计算易得 a1 ? , a3 ? , a4 ? , 2 2 8 128 1 217 2 217 217 1 217 217 1 217 217 39 1 a5 ? ( ) ? ?2 ? 2? (1 ? ? ) ,而 (1 ? ? )? ? ? , 2 128 128 128 2 128 128 2 128 128 256 4 1 故 a5 ? 2 ? ,即当 n ? 5 时,结论成立. 4 1 Ⅱ)假设结论对 n ? k (k ? 5) 成立,即 ak ? 2 ? . k ?1 1 3 1 3 2 2 因为 an ?1 ? (an ? 1) ? ,而函数 f ( x) ? ( x ? 1) ? 在 x ? 1 时为增函数,所以 2 2 2 2
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1 1 3 1 1 1 ak ?1 ? (2 ? ? 1)2 ? ? 2 ? ? ? 2? , 2 2 k ?1 2 k ? 1 2(k ? 1) k
即当 n ? k ? 1 时结论也成立. 综合Ⅰ) ,Ⅱ)可知,不等式 an ? 2 ? 于是当 n ? 5 时, an ?1 ? 2 ?

1 对一切 n ? 5 都成立. n ?1

n 1 1 1 1 ,故 ? n ,所以 ? ? ?1 ? n ?1 . n 2 ? an ?1 2 ? an?1 k ?1 ak

…………………………20 分 15. 求所有的正整数 n ,使得 n ? 36 是一个完全平方数,且除了 2 或 3 以外, n 没有其他的质因数. 解 设 n ? 36 ? ( x ? 6)2 ,其中 x ? N ? ,则 n ? x( x ? 12) .

? x ? 2a1 ? 3b1 , ? 依题意,可设 ? 其中 a1 , a2 , b1 , b2 均为非负整数,于是 a b ? x ? 12 ? 2 2 ? 3 2 , ?
2a2 ? 3b2 ? 2a1 ? 3b1 ? 12
b b

(1)…………………………5 分

如果 a1 ? a2 ? 0 , 3 2 ? 3 1 ? 12 , 则 这是不可能的.所以 a1 , a2 中至少有一个大于 0, 于是 x 和 x ? 12 均 为偶数,从而 a1 , a2 均为正整数. 若 a2 ? 1 ,则 2 ? 3 2 ? 12 ? 2 1 ? 3 1 ,显然只可能 a1 ? 1 (否则左右两边被 4 除的余数不相同) ,此时
b a b

3b2 ? 6 ? 3b1 ,显然只能是 b2 ? 2, b1 ? 1,此时 x ? 6, n ? 108 .
…………………………10 分 若 a2 ? 2 ,则 x ? 12 是 4 的倍数,从而 x 也是 4 的倍数,故 a1 ? 2 ,此时

2a2 ?2 ? 3b2 ? 2a1 ?2 ? 3b1 ? 3

(2)

显然 a1 ? 2, a2 ? 2 中至少有一个应为 0(否则(2)式左右两边奇偶性不相同). 1)当 a2 ? 2 ? 0 ,即 a2 ? 2 时,

3b2 ? 2a1?2 ? 3b1 ? 3

(3)

此时 a1 ? 2 ? 0 (否则等式左右两边奇偶性不相同) ,故 b2 ? b1 . 若 b1 ? 2 , (3) 则 式左边是 9 的倍数, 而右边为 3, 矛盾, 故只可能 b1 ? 1 , (3) 从而 式即 3 2 它只有两组解 ?
b ?1

? 2a1 ?2 ? 1,

?a1 ? 2 ? 1, ?a1 ? 2 ? 3, ? a1 ? 3, ? a1 ? 5, 和? 即? 和? 此时,对应的 x 值分别为 24 和 96,相应的 ?b2 ? 1 ? 1, ?b2 ? 1 ? 2, ?b2 ? 2, ?b2 ? 3,

n 值分别为 864 和 10368. …………………15 分
2)当 a1 ? 2 ? 0 ,即 a1 ? 2 时,

2a2 ?2 ? 3b2 ? 3b1 ? 3

(4)

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此时显然 a2 ? 2 ? 0 (否则等式左右两边奇偶性不相同) ,故 b2 ? b1 . 若 b2 ? 2 ,则(4)式左边是 9 的倍数,而右边是 3,无解.故 b2 ? 1 . 若 b2 ? 0 ,则 2
a2 ? 2

? 3b1 ? 3 ,只可能 b1 ? 0 ,此时 a2 ? 4, x ? 4, n ? 64 .
a2 ? 2

若 b2 ? 1, (4) 则 式即 2

?a2 ? 2 ? 1, ?a2 ? 2 ? 2, ? a2 ? 3, ? a2 ? 4, ? 3b1 ?1 ? 1, 它只有两组解 ? 和? 即? 和? ?b1 ? 1 ? 0, ?b1 ? 1 ? 1, ?b1 ? 1, ?b1 ? 2,

此时,对应的 x 值分别为 12 和 36,相应的 n 值分别为 288 和 1728. 因此,符合条件的 n 值有 6 个,分别为 64,108,288,864,1728,10368. …………………………20 分

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