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【解密高考】2015高考数学(人教A版)一轮作业:9-1直线方程]


时间:45 分钟 班级:________ 姓名:________

满分:100 分 学号:________ 得分:________

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,在下列四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.若与直线 3x-y+1=0 垂直的直线的倾斜角为 α,则 cosα 的值是( A.3 3 1

0 C. 10 1 B.-3 3 10 D.- 10 )

1 1 sinα 解析: 与直线 3x-y+1=0 垂直的直线的斜率为-3, 即 tanα=-3, 所以cosα 1 3 10 ?π ? =-3,又 sin2α+cos2α=1,且 α∈?2,π?,所以 cosα=- 10 . ? ? 答案:D 2. 已知直线 l: ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等, 则 a 的值是( A.1 C.-2 或-1 B.-1 D.-2 或 1 )

a+2 解析:由题意得 a+2= a ,解得 a=-2 或 a=1. 答案:D 3 3.过点 A(0,2)且倾斜角的正弦值是5的直线方程为( A.3x-5y+10=0 B.3x-4y+8=0 C.3x+4y+10=0 D.3x-4y+8=0 或 3x+4y-8=0 3 3 解析:设所求直线的倾斜角为 α,则 sinα=5,∴tanα=± 4,∴所求直线方程 3 为 y=± 4x+2,即为 3x-4y+8=0 或 3x+4y-8=0. )

答案:D 4.已知点 A(1,-2),B(m,2),且线段 AB 的垂直平分线的方程是 x+2y-2 =0,则实数 m 的值是( A.-2 C.3 ) B.-7 D.1

?1+m ? 解析:线段 AB 的中点? ,0?代入直线 x+2y-2=0 中,得 m=3. ? 2 ? 答案:C 1 → → 5.已知 A(7,1),B(1,4),直线 y=2ax 与线段 AB 交于点 C,且AC=2CB,则 a 等于( A.2 4 C.5 ) B.1 5 D.3

→ =2CB →, 解析:设点 C(x,y),由于AC 所以(x-7,y-1)=2(1-x,4-y), ?x-7=2-2x, ?x=3, 所以有? ?? ?y-1=8-2y ?y=3. 1 3 又点 C 在直线 y=2ax 上,所以有 3=2a,a=2. 答案:A 6.设 A、B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2,且|PA|=|PB|,若直线 PA 的方程为 x-y+1=0,则直线 PB 的方程是( A.x+y-5=0 C.2x-y-4=0 )

B.2x-y-1=0 D.2x+y-7=0

解析:易知 A(-1,0),∵|PA|=|PB|, ∴P 在 AB 的中垂线即 x=2 上,∴B(5,0). ∵PA、PB 关于直线 x=2 对称, ∴kPB=-1,∴lPB:y-0=-(x-5),即 x+y-5=0. 答案:A 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后

的横线上) ?π π? ?2π ? 7.若直线 l 的斜率为 k,倾斜角为 α,而 α∈?6,4?∪? 3 ,π?,则 k 的取值 ? ? ? ? 范围是________. ?π π? ?2 ? 解析:∵k=tanα 在?6,4?和?3π,π?上都是增函数, ? ? ? ? ? 3 ? ∴k∈? ,1?∪[- 3,0). ?3 ? ? 3 ? 答案:[- 3,0)∪? ,1? ?3 ? 8.直线 l:xsinα-y+1=0(α∈R),则其倾斜角 θ 的取值范围是________. 解析:由题设得 k=sinα∈[-1,1],于是 k=tanθ∈[-1,1],又 θ∈[0,π),∴ π? ?3π ? ? θ?0,4?∪? 4 ,π?. ? ? ? ? π? ?3π ? ? 答案:?0,4?∪? 4 ,π? ? ? ? ? 9.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(0,-1),B(-3,-4)两点,若点 C → |= 10,则点 C 的坐标是________. 在∠AOB 的平分线上,且|OC 解 析 : 设 C(a , b)(a<0 , b<0) . OB 所 在 直 线 方 程 为 4x - 3y = 0 , 则 3b| ?|4a- 5 =|a|, ? ? a2+b2= 10, ?a=-1, 解得? ?b=-3.

∴C(-1,-3). 答案:(-1,-3) 10.(2014· 郑州质检)与直线 3x+4y+12=0 平行,且与坐标轴构成的三角形 的面积是 24 的直线 l 的方程是________. 解析:设直线 l 的方程为 3x+4y=a(a≠0), a a 则直线 l 与两坐标轴的交点分别为(3,0),(0,4), 1 a a ∴2×|3|· |4|=24,解得 a=± 24. ∴直线 l 的方程为 3x+4y=± 24. 答案:3x+4y+24=0 或 3x+4y-24=0

三、解答题(本大题共 3 小题,共 40 分,11、12 题各 13 分,13 题 14 分, 写出证明过程或推演步骤) 11.(2014· 开封二模)已知直线:l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线 l 不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A,交 y 轴正半轴于点 B,O 为坐标原点,设 △AOB 的面积为 S,求 S 的最小值及此时直线 l 的方程. 解:(1)证明:法一:直线 l 的方程可化为 y=k(x+2)+1, 故无论 k 取何值,直线 l 总过定点(-2,1). 法二:设直线过定点(x0,y0),则 kx0-y0+1+2k=0 对任意 k∈R 恒成立, 即(x0+2)k-y0+1=0 恒成立, 所以 x0+2=0,-y0+1=0, 解得 x0=-2,y0=1,故直线 l 总过定点(-2,1). (2)直线 l 的方程为 y=kx+2k+1,则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k+1, ?k≥0, 要使直线 l 不经过第四象限,则? ?1+2k≥0, 解得 k 的取值范围是 k≥0. (3)依题意,直线 l 在 x 轴上的截距为- 1+2k ∴A(- k ,0),B(0,1+2k) 又- 1+2k 1 1 1+2k k <0 且 1+2k>0,∴k>0,故 S=2|OA||OB|=2× k (1+2k) 1+2k k ,在 y 轴上的截距为 1+2k,

1 1 1 =2(4k+ k+4)≥2(4+4)=4, 1 1 当且仅当 4k=k ,即 k=2时,取等号, 故 S 的最小值为 4,此时直线 l 的方程为 x-2y+4=0. 12.(2014· 长春外国语学校月考)已知两直线 l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y =2a2+4(0<a<2)与两坐标轴的正半轴围成四边形.当 a 为何值时,围成的四边 形面积取最小值,并求最小值.

解:两直线 l1:a(x-2)=2(y-2),l2:2(x-2)=-a2(y-2),都过点(2,2), 如图. a 设两直线 l1,l2 的交点为 C,且它们的斜率分别为 k1 和 k2,则 k1=2∈(0,1), 2 1 k2=-a2∈(-∞,-2). ∵直线 l1 与 y 轴的交点 A 的坐标为(0,2-a), 直线 l2 与 x 轴的交点 B 的坐标 为(2+a2,0). ∴S 四边形 OACB=S△OAC+S△OCB 1 1 =2(2-a)×2+2×(2+a2)×2 1 15 =a2-a+4=(a-2)2+ 4 . 1 15 ∴当 a=2时,四边形 OACB 的面积最小,其值为 4 . 13.(2014· 北京东城高三综合练习)已知 O 为平面直角坐标系的原点,过点 M(-2,0)的直线 l 与圆 x2+y2=1 交于 P,Q 两点. →· → =-1,求直线 l 的方程; (1)若OP OQ 2 (2)若△OMP 与△OPQ 的面积相等,求直线 l 的斜率. 解:(1)依题意,直线 l 的斜率存在,则可设直线 l 的斜率为 k. 因为直线 l 过点 M(-2,0),可设直线 l:y=k(x+2). → |=|OQ → |=1. 因为 P,Q 两点在圆 x2+y2=1 上,所以|OP →· → =-1, 又因为OP OQ 2 →· → =|OP → ||OQ → |cos∠POQ=-1. 所以OP OQ 2 1 所以∠POQ=120° .所以 O 到直线 l 的距离等于2.

所以

|2k| 1 15 =2,得 k=± 15 . 2 k +1

所以直线 l 的方程为 x- 15y+2=0 或 x+ 15y+2=0. → =2MP →, (2)因为△OMP 与△OPQ 的面积相等,所以MQ 设 P(x1,y1),Q(x2,y2), → =(x +2,y ),MP → =(x +2,y ). 所以MQ 2 2 1 1 ?x2+2=2?x1+2?, ?x2=2?x1+1?, 所以? 即? (*) ?y2=2y1, ?y2=2y1.
2 2 ?x1+y1=1, 因为 P,Q 两点在圆上,所以? 2 2 ?x2+y2=1.

7 x1=-8, ? 2 2 ? x + y = 1 , ? 1 1 把(*)代入得? 所以? 2 2 15 ?4?x1+1? +4y1=1. y = ± ? 1 ? 8 . 15 15 故直线 l 的斜率 k=kMP=± 9 ,即 k=± 9 .


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