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浙江省富阳市第二中学2016届高三上学期第二次质量检测数学(文)试题


富阳二中 2015 学年高三年级第二次质量检测

文科数学 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的)

, 0} , B ? {0, 1} ,则集合 C A?B ( A ? B) 1.已知集合 A ? {?1
A. ? B. {0} C. {-1 ,1} D. {-1, 0, 1}

(▲)

2.在 ???C 中, “ ?? ? ?C ? 0 ”是“ ???C 为直角三角形”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

??? ? ??? ?

(▲)

3.在等差数列{ an }中 an >0,且 a1 ? a2 ? ?? a20 ? 60 ,则 a10 ? a11 的最大值等于 (▲) A.3 B.6 C.9 D.36

4.已知圆 x 2 ? y 2 ? 9 的弦过点 P(1,2) ,当弦长最短时,该弦所在直线方程为 (▲) A. y ? 2 ? 0 B. x ? 2 y ? 5 ? 0 C. 2 x ? y ? 0 D. x ? 1 ? 0 (▲)

5. 若 ?、? 是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为 ①若直线 m ? ? ,则在平面 ? 内,一定不存在与直线平行的直线. ②若直线 m ? ? ,则在平面 ? 内,一定存在无数条直线与直线垂直. ③若直线 m ? ? ,则在平面 ? 内,不一定存在与直线垂直的直线. ④若直线 m ? ? ,则在平面 ? 内,一定存在与直线垂直的直线. A.①③ B.②③ C.①④ D.②④

6.若将函数 y ? 2sin(4 x ? ? ) 的图象向右平移 的最小值是 A. (▲) B.

? 个单位,得到的图象关于 y 轴对称,则 | ? | 6

? 6

? 5

C.

? 4

D.

? 3
1 4

2 0) ,则 7.抛物线 y ? x 的焦点为 F ,点 P( x,y ) 为该抛物线上的动点,又点 A(? ,

| PF | 的 | PA |

最小值是

( ▲)

-1-

A.

2 3 3

B.

3 2

C.

2 2

D.

1 2 1 相交且交点 x

1) ,点 B 在曲线 C1:y ? e x ? 1 上,若线段 AB 与曲线 C 2:y ? 8.已知点 A(0,

恰为线段 AB 的中点,则称点 B 为曲线 C1 与曲线 C 2 的一个“相关点” ,记曲线 C1 与曲线

C2 的“相关点”的个数为 n ,则
A. n ? 0 B. n ? 1 C. n ? 2

( ▲ ) D. n ? 2

二、填空题(本大题共 7 小题,第 9 题共 3 空,每空 2 分,第 10,11,12 题每题 2 空,每空 3 分,第 13,14,15 题每题 1 空,每空 4 分,共计 36 分. ) 9.已知等比数列 ?an ? 中, a2 ? 2, a4 ? 4 ,则 a1 ? _▲__, a6 =__▲__, S10 =_▲_. 10 .定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,当 x ≥ 0 时, f ( x) ? x 2 ,则 f(-2)=__ ▲_, 则不等式

f (1 ? 2 x) ? f (3) 的解集是__▲_____.
11. 设向量 a, b 满足 a ? b ? 1 ,a ? b ? ?

? ? 1 , 则向量 a与b 的夹角为_▲__, a ? 2b ? 2
▲ ,

▲ .

? 2x ? y ? 0 ? 12.若变量 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 2 x ? y 的最大值为 ? x?0 ?
13.若某多面体的三视图如右图所示,则此多面体的体积是

y?1 = x?2




.



x2 y 2 ? ? 1的右焦点为圆心,且与双曲线 C 的渐近线相切的圆 14.以双曲线 C : 4 5
的方程是 ▲ .
2 2

15.已知点 A (0, 2) 为圆 M : x + y - 2ax - 2ay = 0 (a > 0) 外一点,圆 M 上存 在点使得∠MAT=45 ,则实数的取值范围是
0



.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16. (本题满分 15 分) 设函数 f ( x) ? cos x ? 3 sin x cos x ?
2

1 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期及值域; (Ⅱ) 已知 ?ABC 中, 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , 若 f (B ? C) ?

3 ,a ? 3 , 2

b ? c ? 3 ,求 ?ABC 的面积.

-2-

17. (本题满分 15 分)已知递增的等差数列 ?an ? 满足: a1 , a2 , a4 成等比数列,且 a1 ? 1 。 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? log 2 (1 ?

1 ? 1 ? ) ,设 Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ,求数列 ? Tn Tn?1 ? 的前 n 项和 Sn an ?2 ?2 ?

18. (本题满分 15 分)在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD / / BC ,

AB ? BC 侧面 PAB ? 底面 ABCD , PA ? AD ? AB ? 2 , BC ? 4 。
(1)若 PB 中点为。求证: AE //平面PCD ; (2) 若 ?PAB ? 600 , 求直线 BD 与平面 PCD 所成角的正弦值。 A

P

D

B
19. ( 本 题 满 分 15 分 ) 已 知 抛 物 线 y ? 2 x 上 有 四 点
2

C

,直线 A( x1 , y1 )、B( x 2 , y 2 ) 、 C ( x3 , y 3 )、D( x 4 , y 4 ) ,点 M(3,0) AB、 CD 都过点 M, 且都不垂直于 x 轴, 直线 PQ 过点 M 且垂直于 x 轴, 交 AC 于点 P,交 BD 于点 Q. (1)求 y1 y 2 的值; (2)求证:MP=MQ. O

y
P C

A

M

x

D

Q

B

20. (本题满分 14 分)已知过抛物线 y =2px(p>0)的焦点,斜率为 2 2的直线交抛物线 于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x1)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程;

2

-3-

(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若 OC = OA +λ OB ,求 λ 的值.

??? ?

??? ?

??? ?

-4-

富阳二中 2015 学年高三年级第二次质量检测

文科数学(答卷)

座位号_____

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 二、 填空题: 本大题共 7 小题,第 9 题共 3 空,每空 2 分,第 10,11,12 题每题 2 空,每空 3 分,第 13,14,15 题每题 1 空,每空 4 分,共计 36 分. 9._________________, ___________________, _____________________________; 1 2 3 4 5 6 7 8

10._________,

_____________; 11.________________, ____________________;

12.____________,_________________13,_____________;

14.___________________________; 15._______________________ 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 15 分)设函数 f ( x) ? cos x ? 3 sin x cos x ?
2

1 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期及值域; (Ⅱ) 已知 ?ABC 中, 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , 若 f (B ? C) ?

3 ,a ? 3 , 2

b ? c ? 3 ,求 ?ABC 的面积.

-5-

17. (本题满分 15 分)已知递增的等差数列 ?an ? 满足: a1 , a2 , a4 成等比数列,且 a1 ? 1 。 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? log 2(1 ?

1 ? 1 ? ) ,设 Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ,求数列 ? Tn Tn?1 ? 的前 n 项和 Sn 。 an ?2 ?2 ?

P
18. (本题满分 15 分)在四棱锥 P ? ABCD 中,底面

ABCD 为直角梯形,AD / / BC ,AB ? BC 侧面 PAB ?
底面 ABCD , PA ? AD ? AB ? 2 , BC ? 4 。 (1)若 PB 中点为。求证: AE //平面PCD ; (2)若 ?PAB ? 600 ,求直线 BD 与平面 PCD 所成角的 正弦值。

A

D

B

C

-6-

19. ( 本 题 满 分 15 分 ) 已 知 抛 物 线 y ? 2 x 上 有 四 点
2

y
P C

,直 A( x1 , y1 )、B( x 2 , y 2 ) 、 C ( x3 , y 3 )、D( x 4 , y 4 ) ,点 M(3,0) 线 AB、CD 都过点 M,且都不垂直于 x 轴,直线 PQ 过点 M 且垂直 于 x 轴,交 AC 于点 P,交 BD 于点 Q. (1)求 y1 y 2 的值; (2)求证:MP=MQ. O

A

M

x

D

Q

B

-7-

20. (本题满分 14 分)已知过抛物线 y =2px(p>0)的焦点,斜率为 2 2的直线交抛物线 于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x1)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程; (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若 OC = OA +λ OB ,求 λ 的值.

2

??? ?

??? ?

??? ?

-8-

富阳二中 2015 学年高三年级第二次质量检测 参考答案 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 C 2 A 3 C 4 B 5 D 6 A 7 C 8 B

二、 填空题: 本大题共 7 小题,第 9 题共 3 空,每空 2 分,第 10,11,12 题每题 2 空,每空 3 分,第 13,14,15 题每题 1 空,每空 4 分,共计 36 分. 9.___ ?

2 ____,

___8____, ____ 62 ? 31 2 ___;

10._ _-4__,

_ ?x | x ? ?1?_____; 11.__

2? __, __ 3 ___; 3

12._ 8, [?3, ? ]

1 2

13,

5 6

14._ ( x ? 3) ? y ? 5 _; 15.__
2 2

3 ?1 ? a ? 1 _

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16.解(Ⅰ) f ( x) ? cos2 x ? 3 sin x cos x ?
1 ?? ? = cos ? 2 x ? ? ? 1 ,??3 分 2 3? ?

所以 f ( x) 的最小正周期为 T ? ? ,??4 分

?? ? 2] ,??6 分 ∵ x ? R ∴ ?1 ? cos ? 2x ? ? ? 1 ,故 f ( x) 的值域为 [0, 3? ?
?? 3 ? 1 ? ? (Ⅱ)由 f ( B ? C) ? cos ?2( B ? C) ? ? ?1 ? ,得 cos(2 A ? ) ? ,又 A ? (0,? ) ,得 A ? , 3 2 3 3 2 ? ?
????????????????????????????9 分 在 ?ABC 中,由余弦定理,得 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos

?
3

= (b ? c)2 ? 3bc ,又 a ? 3 , b ? c ? 3 ,

所以 3 ? 9 ? 3bc ,解得 bc ? 2 ,??????13 分 所以, ?ABC 的面积 S ? bc sin
1 2

?
3

?

1 3 3 ? 2? ? ??15 分 2 2 2

17.解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ? a1 , a2 , a4 成等比数列,且 a1 ? 1

-9-

?a22 ? a1 ? a4 ,即 (1 ? d )2 ? 1 ? 3d ? d ? 1 或 d ? 0 ,因为,数列 ?an ? 为递增等差数列
? d ? 1 ,?an ? 1 ? (n ?1) ? n 所以,数列 ?an ? 的通项公式为: an ? n
(Ⅱ)? bn ? 1 ?

2 3 n ?1 1 n ?1 ) ? log 2 (n ? 1) ? ? Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ? log 2 ( ? ????? 1 2 n an n

?

1 1 1 1 ? ? ? Tn?1 2 ?2 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2
Tn

1 1 1 1 1 1 ? S n ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 1 1 n ? ? ? 2 n ? 2 2n ? 4

所以,数列 ?

?

1 ? n ? 的前 n 项和 S n ? 2n ? 4 ? Tn ? Tn ?1 ?

18. 证明(1)取 PC 的中点,连结 DF , EF

? EF //AD ,且 AD ? EF ,所以 ADFE 为平行四边形。 ? AE //DF ,且 AE 不在平面 PCD 内, DF 在平面 PCD 内,
所以 AE //平面PCD (2)等体积法 令点到平面 PCD 的距离为 h

VP ? BCD ? VB ? PCD

VP ? BCD ?

4 1 3 , VB ? PCD ? S?PCD h 3 3

又 S ?PCD ? 15

?h ?

4 5

4 h 10 直线 BD 与平面 PCD 所成角 ? 的正弦值 sin ? ? 。 ? 5 ? BD 2 2 5
19. (1)设直线 AB 的方程为 x ? my ? 3 ,与抛物线联立得: y ? 2my ? 6 ? 0
2

- 10 -

∴ y1 y 2 ? ?6 (2) 直线 AC 的斜率为

y1 ? y 3 2 2 ? ∴直线 AC 的方程为 y ? ( x ? x1 ) ? y1 x1 ? x3 y1 ? y 3 y1 ? y 3 6 ? y1 y 3 ? y1 ? y 3
6 ? (? ? 6 ) y3 y2 6( y 2 ? y 3 ) y 2 y3 ? 6

∴点 P 的纵坐标为 y P ?

6 ? y3 y2

?

同理:点 Q 的纵坐标为 y Q ?

6( y 3 ? y 2 ) y 2 y3 ? 6

∴ y P ? y Q ? 0 ,又 PQ⊥x 轴∴MP=MQ 20. 解:(1)直线 AB 的方程是 y=2 2?x- ?,与 y =2px 联立, ? 2?
2

?

p?

5p 2 2 从而有 4x -5px+p =0,所以 x1+x2= . 4 由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9, 所以 p=4,从而抛物线方程是 y =8x. (2)由 p=4,4x -5px+p =0 可简化为 x -5x+4=0,从而 x1=1,x2=4,y1=-2 2,y2 =4 2, 从而 A(1,-2 2),B(4,4 2). 设 OC =(x3,y3)=(1,-2 2)+λ (4,4 2)=(4λ +1,4 2λ -2 2), 又 y3=8x3,即 =8(4λ +1), 即(2λ -1) =4λ +1, 解得 λ =0 或 λ =2.
2 2 2 2 2 2 2

??? ?

- 11 -


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