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3.1.1方程的根与函数的零点


偃师一高数学组

必修一第三章

函数的应用

学案一
①学习目标

方程的根与函数的零点

1. 结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与 方程根的联系; 2. 掌握零点存在的判定定理.

②重点:零点的概念 ③难点:函数零点与方程根的关系 ④学法:分组探究 ⑤学习过程
一、课前准备 (预习教材 P86~ P88,找出疑惑之处) 复习 1:一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 (a ? 0)的解法. 判别式 ? = . 当? 0,方程有两根,为 x1,2 ? 当? 当? 0,方程有一根,为 x0 ? 0,方程无实根.

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; ;

复习 2:方程 ax 2 +bx+c=0 (a ? 0)的根与二次函数 y=ax 2 +bx+c (a ? 0)的图象之间有什么关系? 判别式 ??0
??0

一元二次方程

二次函数图象

??0

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:函数零点与方程的根的关系 问题: ① 方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解为 ,函数 y ? x2 ? 2x ? 3 的图象与 x 轴有 坐标为 . ② 方程 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 的解为 ,函数 y ? x2 ? 2x ? 1 的图象与 x 轴有 标为 . 2 ③ 方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解为 ,函数 y ? x2 ? 2x ? 3 的图象与 x 轴有 标为 .

个交点, 个交点,坐 个交点,坐

根据以上结论,可以得到: 一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的根就是相应二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的图 象与 x 轴交点的 . 你能将结论进一步推广到 y ? f ( x) 吗?

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学案 1

方程的根与函数的零点

学案 1

方程的根与函数的零点

新知:对于函数 y ? f ( x) ,我们把使 f ( x) ? 0 的实数 x 叫做函数 y ? f ( x) 的零点(zero point). 反思:函数 y ? f ( x) 的零点、方程 f ( x) ? 0 的实数根、函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐 标,三者有什么关系?

试试: ( 1 )函数 y ? x2 ? 4x ? 4 的 零点为 为 .



( 2 )函数 y ? x2 ? 4x ? 3 的零点

小结:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点. 探究任务二:零点存在性定理 问题: ① 作出 y ? x2 ? 4x ? 3 的图象,求 f (2), f (1), f (0) 的值,观察 f (2) 和 f (0) 的符号

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② 观察下面函数 y ? f ( x) 的图象, 在区间 [a, b] 上 零点; f ( a)? f ( b) 在区间 [b, c] 上 零点; f ( b)? f ( c) 在区间 [c, d ] 上 零点; f ( c)? f ( d )

0; 0; 0.

新知:如果函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f (a) ? f (b) <0, 那么,函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内有零点,即存在 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方 程 f ( x) ? 0 的根. 讨论:零点个数一定是一个吗?逆定理成立吗?试结合图形来分析. ※ 典型例题 例 1 求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点的个数.

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必修一第三章

函数的应用

变式:求函数 f ( x) ? ln x ? x ? 2 的零点所在区间.

小结:函数零点的求法. ① 代数法:求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ② 几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来,并利用 函数的性质找出零点. ※ 动手试试 练 1. 求下列函数的零点: (1) y ? x2 ? 5x ? 4 ; (2) y ? ( x ? 1)( x2 ? 3x ? 1) .

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练 2. 求函数 y ? 2 x ? 3 的零点所在的大致区间.

⑥总结提升
※ 学习小结 ①零点概念;②零点、与 x 轴交点、方程的根的关系;③零点存在性定理 ※ 知识拓展 图象连续的函数的零点的性质: (1)函数的图象是连续的,当它通过零点时(非偶次零点) ,函数值变号. 推论:函数在区间 [a, b] 上的图象是连续的,且 f (a) f (b) ? 0 ,那么函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上 至少有一个零点. (2)相邻两个零点之间的函数值保持同号.

⑦学习评价
※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 函数 f ( x) ? ( x2 ? 2)( x2 ? 3x ? 2) 的零点个数为( ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.若函数 f ( x) 在 ? a, b? 上连续,且有 f (a) ? f (b) ? 0 ,则函数 f ( x) 在 ? a, b? 上( ).
A. 一定没有零点 C. 只有一个零点 B. 至少有一个零点 D. 零点情况不确定
第 3 页 共 4 页 学案 1 方程的根与函数的零点

学案 1

方程的根与函数的零点

3. 函数 f ( x) ? e x ?1 ? 4 x ? 4 的零点所在区间为( A. (?1,0) B. (0,1) C. (1, 2) D. (2,3)

).

4. 函数 y ? ? x2 ? x ? 20 的零点为 . 5. 若函数 f ( x) 为定义域是 R 的奇函数,且 f ( x) 在 (0, ??) 上有一个零点.则 个数为 .

f ( x) 的零点

课后作业
1. 求函数 y ? x3 ? 2 x2 ? x ? 2 的零点所在的大致区间,并画出它的大致图象.

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2. 已知函数 f ( x) ? 2(m ? 1) x2 ? 4mx ? 2m ? 1 . (1) m 为何值时,函数的图象与 x 轴有两个零点; (2)若函数至少有一个零点在原点右侧,求 m 值.

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