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2014届高考数学(文)一轮复习课件(苏教版):06第六章 不等式、推理与证明(回扣主干知识+突破热点题型+提升


第六章 不等式、推理与证明

第一节 不等关系及一元二次不等式的解法
第二节 二元一次不等式 (组)与简单线性规划问题 第三节 基本不等式 第四节 合情推理与演绎推理 第五节 直接证明与间接证明 专家讲坛

[备考方向要明了]
考 什 么 怎么考 1.了解现实世界和日常生活中的不等关 1.以不等式的大小关系 比较和

一元二次不等 系;了解不等式(组)的实际背景;掌 式的解法为主. 握不等式的性质及应用. 2.已知二次函数的零点 2.会从实际情境中抽象出一元二次不等 的分布,求一元二次 式模型. 方程中未知参数的取 3.通过函数图象了解一元二次不等式与 值范围2012年高考 相应的二次函数、一元二次方程的 T13. 关系. 3.与函数等知识综合考 4.会解一元二次不等式,对给定的一元 查一元二次不等式的 二次不等式,会设计求解的流程图. 相关知识.

[归纳 知识整合]
一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的 关系如下表
判别式 Δ>0 Δ=0 Δ<0

Δ=b2-
二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象

判别式 Δ=b -4ac 一元二次方程 ax +bx+c= 0(a>0)的根 ax2+bx+c> 0(a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
2 2

Δ>0

Δ=0

Δ< 0

有两相异实根 x1,x2(x1<x2)

有 两 相 等 实 没有 根 x1=x2=- 实数 b 根 2a
b {x|x≠-2a}

{x|x<x1或x>x2} {x|x1<x<x2}

R ___ ?

? _____

[探究]

1.ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0(a≠0)对一切

x∈R都成立的条件是什么?
提示:ax
2 2

?a>0, ? +bx+c>0对一切x∈R都成立的条件为? ?Δ<0. ?

ax

?a<0, ? +bx+c<0对一切x∈R都成立的条件为? ?Δ<0. ?

x-a 2.可用(x-a)(x-b)>0的解集代替 >0的解集,你认 x-b x-a x-a x-a 为如何求不等式 <0, ≥0及 ≤0的解集? x-b x-b x-b x-a 提示: <0?(x-a)(x-b)<0; x-b
??x-a??x-b?≥0, ? x-a ≥0?? ?x-b≠0; x-b ? ??x-a??x-b?≤0, ? x-a ≤0?? ?x-b≠0. x-b ?

[自测 牛刀小试]
1.(教材习题改编)已知集合A={x|x2-16<0},B={x|x2-

4x+3>0},则A∩B=__________.
解析:由x2-16<0,得-4<x<4, 故A={x|-4<x<4}.

由x2-4x+3>0,得x>3或x<1,
故B={x|x>3或x<1}. 故A∩B={x|-4<x<1或3<x<4}. 答案:{x|-4<x<1或 3<x<4}

x-3 2.不等式 ≤0 的解集为 ________. x-1
??x-3??x-1?≤0, ? x-3 解析:由 ≤0,得? ?x-1≠0, x-1 ?

解之得 1<x≤3.

答案:{x|1<x≤3}

3.(教材习题改编)设二次不等式 ax2+bx+1>0 的解集为
? ? ? 1 ?x?-1<x< 3 ? ? ? ? ? ?,则 ? ?

ab = ______.

1 解析:∵x=-1, 是方程 ax2+bx+1=0 的两根, 3 b 1 b 2 1 1 ∴-a=-1+ 即a= .又-1× =a, 3 3 3 ∴a=-3,b=-2.∴ab=6.

答案:6

4.(教材习题改编)若关于x的一元二次方程x2-(m+1)x


m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围为 ________. 解析:∵方程x2-(m+1)x-m=0有两个不相等的实
数根, ∴Δ=(m+1)2+4m>0,即m2+6m+1>0. ∴m<-3-2 2或m>-3+2 2.
答案:(-∞,-3-2 2)∪(-3+2 2,+∞)

5.不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,则实数a的取值 范围是________. 解析:∵不等式x2+ax+4<0的解集不是空集, ∴Δ=a2-4×4>0,即a2>16.

∴a>4或a<-4.
答案:(-∞,-4)∪(4,+∞)

用不等式(组)表示不等关系

[例1] 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10 元销售,每天可销售100件,现在他采用提高售价,减少 进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元, 销售量就可能相应减少10件.若把提价后商品的售价设为 x元,怎样用不等式表示每天的利润不低于300元? [自主解答] 若提价后商品的售价为x元,则销售量减 x-10 少 1 ×10件,因此,每天的利润为(x-8)[100-10(x- 10)]元,则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式 (x-8)[100-10(x-10)]≥300.

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实际应用中不等关系与数学语言间的关系 将实际问题中的不等关系写成相应的不等式(组)时,

应注意关键性的文字语言与对应数学符号之间的正确转
换,常见的文字语言及其转换关系如下表: 大于,高 小于,低 大于等于, 小于等于, 文字语言 于,超过 于,少于 至少,不 至多,不 低于 超过 符号语言 > < ≥ ≤
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1.某厂拟生产甲、乙两种适销产品,甲、乙产品都需要在 A,B两种设备上加工,在每台A,B设备上加工一件甲 产品所需工时分别为1小时和2小时,加工一件乙产品所 需工时分别为2小时和1小时,A,B两种设备每月有效 使用台时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关 系的不等式.
解:设甲、乙两种产品的产量分别为x,y, ?x+2y≤400, ? ?2x+y≤500, 则由题意可知? ?x≥0,x∈N, ?y≥0,y∈N. ?

一元二次不等式的解法
[例 2] 求下列不等式的解集:

(1)-x2+8x-3>0;(2)x2-4x-5≤0; (3)ax2-(a+1)x+1<0.

[自主解答]

(1)因为Δ=82-4×(-1)×(-3)=52>0,所以

方程-x2+8x-3=0有两个不等实根x1=4- 13,x2=4+ 13. 又二次函数y=-x2+8x-3的图像开口向下,所以原不等式的 解集为{x|4- 13<x<4+ 13}.

(2)原不等式可化为(x-5)(x+1)≤0,所以原不等式的解 集为{x|-1≤x≤5}.
(3)若a=0,原不等式等价于-x+1<0,解得x>1. ? 1? 1 若a<0,则原不等式等价于 ?x-a? (x-1)>0,解得x< a ,或 ? ? x>1.
? 1? 若a>0,原不等式等价于?x-a?(x-1)<0. ? ?

=1

? ? ? 1 当 a=0 时,解集为{x|x>1};当 0<a<1 时,解集为?x?1<x<a ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?x? <x<1?. 时,解集为?;当 a>1 时,解集为 a ? ? ? ? ?

? 1? 1 ? ③当 0<a<1 时,a>1,解?x-a?(x-1)<0 得 ? ? ? 1 1<x<a. ? ? 1 ? ? ? ? ?x?x< 或x>1?; 综上所述,当 a<0 时,解集为 ? ? a ? ? ?

? 1? 1 ? ②当 a>1 时,a<1,解?x-a?(x-1)<0 得 ? ? ? 1 a<x<1;

? 1? 1 ①当 a=1 时,a=1,?x-a?(x-1)<0 无解; ? ?

? ? ?;当 ? ?

a

若将本例(2)改为“x2+4x+5≤0”呢? 解:∵Δ=42-4×5=16-20=-4<0, ∴不等式x2+4x+5≤0的解集为?.

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一元二次不等式的解法

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(1)对于常系数一元二次不等式,可以用因式分解法 或判别式法求解. (2)对于含参数的不等式,首先需将二次项系数化为

正数,若二次项系数不能确定,则需讨论它的符号,然后
判断相应的方程有无实根,最后讨论根的大小,即可求出 不等式的解集.
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1.解下列不等式: (1)8x-1≤16x2; (2)x2-2ax-3a2<0(a<0). 解:(1)原不等式转化为

16x2-8x+1≥0,即(4x-1)2≥0,
故原不等式的解集为R. (2)原不等式转化为(x+a)(x-3a)<0,

∵a<0,∴3a<-a.
∴原不等式的解集为{x|3a<x<-a}.

一元二次不等式的恒成立问题 [例3] 已知不等式mx2-2x-m+1<0. (1)若对所有的实数x不等式恒成立,求m的取值范围; (2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立,求x 的取值范围. [自主解答] (1)不等式mx2-2x-m+1<0恒成立, 即函数f(x)=mx2-2x-m+1的图象全部在x轴下方. 当m=0时,1-2x<0,不符合题意. 当m≠0时,函数f(x)=mx2-2x-m+1为二次函数,需 满足开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解,

?m<0, ? 即? ?Δ=4-4m?1-m?<0, ?

则 m 无解.

综上可知不存在这样的 m.

(2)从形式上看,这是一个关于x 的一元二次不等式,

可以换个角度,把它看成关于m的一元一次不等式,并且
已知它的解集为[-2,2],求参数x的范围. 设f(m)=(x2-1)m+(1-2x), 则其为一个以m为自变量的一次函数,其图象是直线, 由题意知该直线当-2≤m≤2时线段在x轴下方,

?f?-2?<0, ? 故? ?f?2?<0, ?

?-2x2-2x+3<0, ? 即? 2 ?2x -2x-1<0. ② ?



-1- 7 -1+ 7 由①,得 x< 或 x> . 2 2 1- 3 1+ 3 由②,得 <x< . 2 2 -1+ 7 1+ 3 由①②,得 <x< . 2 2 ∴x
? ? ? ?-1+ 的取值范围为?x? ? ? 2 ?

7 1+ 3 <x< 2

? ? ?. ? ?

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恒成立问题及二次不等式恒成立的条件 (1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数.一般地, 知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数. (2)对于二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的 图象在给定的区间上全部在x轴上方;恒小于0就是相应的二次函数 的图象在给定的区间上全部在x轴下方. (3)一元二次不等式恒成立的条件 ①ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是: a>0且b2-4ac<0(x∈R). ②ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是: a<0且b2-4ac<0(x∈R).

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2.已知f(x)=x2-2ax+2(a∈R),当x∈[-1,+∞)时, f(x)≥a恒成立,求a的取值范围. 解:法一:f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对 称轴为x=a. ①当a∈(-∞,-1)时,f(x)在[-1,+∞)上单调递增, f(x)min=f(-1)=2a+3. 要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a, 即2a+3≥a,解得-3≤a<-1; ②当a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2,由 2-a2≥a,解得-1≤a≤1. 综上所述,所求a的取值范围为[-3,1].

法二:令g(x)=x2-2ax+2-a,由已知, 得x2-2ax+2-a≥0在[-1,+∞)上恒成立, ?Δ>0, ? 2 即Δ=4a -4(2-a)≤0或?a<-1, ?g?-1?≥0. ? 解得-3≤a≤1.所求a的取值范围是[-3,1].

一元二次不等式的应用

[例4]

某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/

辆,出厂价为12万元/辆,年销售量为10 000辆.本年度为 适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成

本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价
相应地提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为 0.6x,已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x 的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成 本增加的比例x应在什么范围内?

[自主解答]

(1)由题意得y=[12(1+0.75x)-10(1+

x)]×10 000(1+0.6x)(0<x<1), 整理得y=-6 000x2+2 000x+20 000(0<x<1).
(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,必须有 ?y-?12-10?×10 000>0, ? ? 即 ?0<x<1, ?
?-6 000x2+2 ? ? ?0<x<1, ?

000x>0,

1 解得0<x<3,
? 1? 所以投入成本增加的比例应在?0,3?范围内. ? ?

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解不等式应用题的步骤

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4.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元,预测六 月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份递增x%, 八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额 与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总 额至少达7 000万元,则x的最小值是________. 解析:七月份的销售额为500(1+x%)万元,八月份的销 售额为500(1+x%)2万元,则一月份到十月份的销售总

额是3 860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]万元,
根据题意有3 860+500+2[500(1+x%)+500(1+ x%)2]≥7 000,

即25(1+x%)+25(1+x%)2≥66. 令t=1+x%,则25t2+25t-66≥0, 6 11 解得t≥5或t≤- 5 (舍去), 6 故1+x%≥5,解得x≥20. 所以x的最小值是20.

答案:20

? 1 个区别——不等式与不等关系的区别

不等关系强调的是关系,可用符号“>”,“<”,“≠”, “≥”,“≤”表示,而不等式则是表示两者的不等关系,可 用“a>b”,“a<b”,“a≠b”,“a≥b”,“a≤b”等式子表示, 就像相等关系可以用等式体现一样,不等关系可以用不

等式体现.
? 1 个防范——二次项系数中参数的取值 二次项系数中含有参数时,参数的符号影响不等

式的解集,不要忘了二次项系数是否为零的情况.

?2种思想——分类讨论和转化思想

(1)分类讨论的思想:含有参数的一元二次不等式

一般需要分类讨论.在判断方程根的情况时,判别式
是分类的标准;需要表示不等式的解集时,根的大小 是分类的标准. (2)转化思想:不等式在指定范围的恒成立问题, 一般转化为求函数的最值或值域问题.

创新交汇——一元二次不等式与函数交汇问题 1.一元二次不等式的解法常与函数的零点、函数的

值域、方程的根及指数函数、对数函数、抽象函数等交汇
综合考查. 2.解决此类问题可以根据一次、二次不等式,分式 不等式,简单的指数、对数不等式的解法进行适当的变形 求解,也可以利用函数的单调性把抽象不等式进行转化求

解.

[例] (2012· 浙江高考)设a∈R,若x>0时均有[(a- 1)x-1](x2-ax-1)≥0,则a=________. [解析] ∵x>0,∴当a≤1时,(a-1)x-1<0恒成 立.∴[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0不可能恒成立. ∴a>1. 对于x2-ax-1=0,设其两根为x2,x3,且x2<x3, 易知x2<0,x3>0. 又当x>0时,原不等式恒成立, 通过y=(a-1)x-1与y=x2-ax-1图象可知 1 x1= 必须满足方程 x2-ax-1=0,即 x1=x3, a-1 3 3 代入解得 a= 或 a=0(舍). [答案] 2 2

[名师点评]

1.本题具有以下创新点 (1)本题是考查三次不等的恒成立问题,可转化为含 参数的一元一次不等式及一元二次不等式的恒成立问题.

(2)本题将分类讨论思想、整体思想有机结合在一起,
考查了学生灵活处理恒成立问题的方法和水平. 2.解决本题的关键

(1)将三次不等式转化为一元一次不等式和一元二次
不等式问题;

(2)若直接通过函数求导、求最小值,则运算量大, 基本上无法求解;而通过一次函数y1=(a-1)x-1(x>0)及 二次函数y2=x2-ax-1(x>0)图象的变化情况,再结合 1 y1·2的结果得出 y 为方程x2-ax-1=0的根,使问题得 a-1 以巧妙解决.

[变式训练]

1.偶函数f(x)(x∈R)满足:f(-4)=f(1)=0,且在区间[0,3]
与[3,+∞)上分别递减和递增,则不等式x3f(x)<0的解集 为___________. 解析:由图知,f(x)<0的解集为(-4,-1)∪(1,4),∴ 不等式x3f(x)<0的解集为(-∞,-4)∪(-1,0)∪(1,4).

答案:(-∞,-4)∪(-1,0)∪(1,4)

2.已知函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′ (x)为f(x)的导函数,函数y=f′(x)的图象如 图所示,且f(-2)=1,f(3)=1,则不等式

f(x2-6)>1的解集为_______.
解析:由导函数图象知当x<0时,f′(x)>0, 即f(x)在(-∞,0)上为增函数;当x>0时,f′(x)<0,即f(x)在(0,

+∞)上为减函数.故不等式f(x2-6)>1等价于f(x2-6)>f(-2)
或f(x2-6)>f(3),即-2<x2-6≤0或0≤ x2-6<3.解得∈(2,3)∪(-3,-2). 答案:(2,3)∪(-3,-2)

1.不等式2x2-x-1>0的解集是_______.
解析:∵2x2-x-1>0,∴(2x+1)(x-1)>0,
? 1? 1 ∴x<- 或 x>1.∴解集为?-∞,-2?∪(1,+∞). 2 ? ?

? 1? 答案:?-∞,-2?∪(1,+∞) ? ?

2x2+2mx+m 2.如果不等式 <1 对一切实数 x 均成立,则 2 4x +6x+3 实数 m 的取值范围是 ______.
? 3?2 3 +6x+3=?2x+2? + >0,所以不等式 4 ? ?

解析:由于 4x

2

可化为 2x2+2mx+m<4x2+6x+3,即 2x2+(6-2m)x+(3-m)>0. 依题意有(6-2m)2-8(3-m)<0,解得 1<m<3.

答案:(1,3)

3.若关于x的不等式ax2-x+2a<0的解集为?,则实数a的 取值范围是________. 解析:依题意可知,问题等价于ax2-x+2a≥0恒成立, 当a=0时,-x≥0不恒成立,故a=0不合题意; 当a≠0时,要使ax2-x+2a≥0恒成立, 即f(x)=ax2-x+2a的图象不在x轴的下方,
?a>0, ? ∴? ?Δ≤0, ? ?a>0, ? 即? ?1-8a2≤0. ?

? 2 ? 2 ? 解得 a≥ ,即 a 的取值范围是? ,+∞?. ? 4 ? 4 ?

? 答案:? ? ?

? 2 ? ,+∞? 4 ?

4.汽车在行驶中,由于惯性作用,刹车后还要继续向前滑

行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离.刹
车距离是分析交通事故的一个重要因素.在一个限速40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不 对,同时刹车,但还是相碰了,事发后现场测得甲车的 刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m,又

知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间有
如下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.问: 是超速行驶应负主要责任?

解:由题意列出不等式对甲车型:0.1x+0.01x2>12,
解得x>30(x<-40舍去); 对乙车型:0.05x+0.005x2>10, 解得x>40(x<-50舍去), 从而x甲>30 km/h,x乙>40 km/h,

经比较知乙车超过限速,应负主要责任.

[备考方向要明了]
考 什 么 1.会从实际情境中抽象出 二元一次不等式组.
2.了解二元一次不等式的 几何意义,能用平面区 2.命题角度: (1)求目标函数的最大值或最小值,或 以最值为载体求其参数的值(范围).

怎么考
1.考查形式:多以填空题形式出现.

域表示二元一次不等式
组. 3.会从实际情境中抽象出

(2)利用线性规划方法求解实际问题中的
最优方案. (3)将线性规划问题与其他知识相结合,

一些简单的二元线性
规划问题,并能加以 解决.

如向量、不等式、导数等相结合命
题, 如2012年高考T14.

[归纳 知识整合] 1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组 不包括 边界直线. 成的平面区域(半平面) 不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域(半平面) 包括 边界直线. (2)对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),使 得Ax+By+C的值符号相同,也就是位于同一半平面的点, 其坐标适合Ax+By+C>0;而位于另一个半平面内的点, Ax+By+C<0 其坐标适合 .

(3)可在直线Ax+By+C=0的某一侧任取一点,一般

取特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的符号
By+C>0(或Ax+By+C<0)所表示的区域.

来判断Ax+

(4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域, 是各个不等式所表示的平面区域的 公共部分 . [探究] 1.点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)位于直线Ax+By+ C=0的两侧的充要条件是什么? 提示:(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0.

2.线性规划中的基本概念
名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 意义 由变量x,y组成的 不等式 由x,y的 式(组) 关于x,y的函数 解析式 ,如z=2x+3y等 关于x,y的 解析式

一次 不等式(或方程)组成的不等

一次

名称 可行解 可行域 最优解

意义 满足线性约束条件的解 所有可行解组成的 集合

(x,y)

使目标函数取得 最大值 或


最小值 的可行

线性规划问 在线性约束条件下求线性目标函数的 题

最大



或 最小值 问题

[探究] 2.可行解与最优解有何关系?最优解是否唯一? 提示:最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解, 最优解不一定唯一.

[自测 牛刀小试]
1.(教材习题改编)不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0在直角 坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示),应是下列

图形中的________(填序号).

解析: (x-2y+1)(x+y-3)≤0?
?x-2y+1≥0, ? ? ?x+y-3≤0, ? ?x-2y+1≤0, ? 或? ?x+y-3≥0. ?

答案:③

2.如图所示,阴影部分表示的区域可

用二元一次不等式组表示的是 (

)

解析:两条直线方程为:x+y-1=0,x-2y+2=0.将 点(1,1)代入 x+y-1 得 1>0,代入 x-2y+2 得 1>0,即 点(1,1)在 x-2y+2≥0 的内部,在 x+y-1≥0 的内部,
?x+y-1≥0, ? 故所求二元一次不等式组为? ?x-2y+2≥0. ? ?x+y-1≥0, ? 答案:? ?x-2y+2≥0 ?

3.下列各点中,与点(1,2)位于直线x+y-1=0的同一侧 的是________.(填序号)

①(2,1);②(-1,1);③(-1,3);④(2,-3).
解析:当x=1,y=2时,x+y-1=1+2-1=2>0, 当x=-1,y=3时,x+y-1=-1+3-1=1>0, 故(-1,3)与(1,2)位于直线x+y-1=0的同侧. 答案: ①③

4 . (2012· 东 高 考 改 编 ) 已 知 变 量 x , y 满 足 约 束 条 件 广 ?x+y≤1, ? ?x-y≤1, ?x+1≥0, ?

则 z=x+2y 的最小值为_________.

?x+y≤1, ? 解析: 变量 x, 满足的不等式组?x-y≤1, y ?x+1≥0 ? 表示的平面区域如图所示,作辅助线 l0:x+ 2y=0,并平移到过点 A(-1,-2)时,z=x+2y 达到 最小,最小值为-5.

答案:-5

?y≤2, ? 5.已知变量 x,y 满足约束条件?x+y≥1, ?x-y≤1, ? 最大值为
解析:如右图中的阴影部分即为约束 条件对应的可行域,当直线 y=-3x+ z 经过点 C 时,z
?x=3, ? 解得? ?y=2, ?

则 z=3x+y 的 ( )

?y=2, ? 取得最大值.由? ?x-y=1, ?

此时,z=y+3x=11.

答案:11

二元一次不等式(组)表示的平面区域
[例 1] (2012· 福建高考改编)若直线 y=2x 上存在点

?x+y-3≤0, ? (x, y)满足约束条件?x-2y-3≤0, ?x≥m, ? 为_______.

则实数 m 的最大值

[自主解答] 约束条件

如图所示:

?x+y-3≤0, ? ?x-2y-3≤0, ?x≥m, ?

表示的可行域如阴影

部分所示.当直线x=m从如图所示的实线位置运动到过A点的位 置时,m取最大值.解方程组 故m的最大值是1.
?x+y-3=0, ? ? ?y=2x, ?

得A点坐标为(1,2),

[答案] 1

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二元一次不等式表示的平面区域的画法 在平面直角坐标系中,设有直线Ax+By+C=0(B 不为0)及点P(x0,y0),则 (1)若B>0,Ax0+By0+C>0,则点P在直线的上方, 此时不等式,Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0的上 方的区域. (2)若B>0,Ax0+By0+C<0,则点P在直线的下方, 此时不等式Ax+By+C<0表示直线Ax+By+C=0的下方 的区域. (注:若B为负,则可先将其变为正) (3)若是二元一次不等式组,则其平面区域是所有平 面区域的公共部分.

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?0≤x≤2, ? 1.已知关于 x,y 的不等式组?x+y-2≥0, ?kx-y+2≥0, ? 域的面积为 4,则 k = ______.

所表示的平面区

解析:其中平面区域kx-y+2≥0是含有
坐标原点的半平面.直线kx-y+2=0 又过定点(0,2),这样就可以根据平面区 域的面积为4,确定一个封闭的区域, 作出平面区域即可求解.平面区域如图

所示,根据区域面积为4,得A(2,4),代入直线方程,得k
=1.

答案:1

利用线性规划求最值
?x-4y+3≤0, ? 变量x,y满足?3x+5y-25≤0, ?x≥1, ?

[例2]

设z=4x-3y,求z的最大值.

[自主解答] ?x-4y+3≤0, ? 由约束条件?3x+5y-25≤0, ?x≥1, ? 作出(x,y)的可行域如图所示.

4 z 由 z=4x-3y,得 y= x- . 3 3 4 z 求 z=4x-3y 的最大值,相当于求直线 y= x- 在 y 轴上 3 3 z 的截距- 的最小值. 3 4 4 z z 平移直线 y= x 知, 当直线 y= x- 过点 B 时, 最小, - 3 3 3 3 z 最大. ?x-4y+3=0, ? 由? 解得 B(5,2). ?3x+5y-25=0, ? 故 zmax=4×5-3×2=14.

保持例题条件不变,如何解决下列问题. y (1)设z=x,求z的最小值; (2)设z=x2+y2,求z的取值范围. y y-0 解:(1)∵z=x= . x-0
∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.观察图 2 形可知zmin=kOB=5.

(2)z=x2+y2 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距 离的平方.结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中,
?x=1, ? 由? ?x-4y+3=0, ?

解得 C(1,1).

dmin=|OC|= 2,dmax=|OB|= 29. ∴2≤z≤29.

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目标函数最值问题分析 (1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得, 也可能在边界处取得. (2)求线性目标函数的最优解,要注意分析线性目标函数所 表示的几何意义——在y轴上的截距或其相反数.
(3)对目标函数不是一次函数的问题,常考虑目标函数的几何 意义,如① x2+y2 表示点(x,y)与原点(0,0)之间的距离; y 2 2 ?x-a? +?y-b? 表示点(x,y)与点(a,b)之间的距离.② x 表示 y-b 点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率; 表示点(x,y)与点(a,b)连 x-a 线的斜率.这些代数式的几何意义能使所求代数问题转化为几何 问题.

?x-y+6≥0, ? 2.(2013· 邳州质检)已知实数 x,y 满足?x+y≥0, ?x≤3, ?

若z

=ax+y 的最大值为 3a+9,最小值为 3a-3,则实数 a 的取值范围为________.

解析:作出x,y满足的可行域,如图中

阴影部分所示,则z在点A处取得最大值,
在点C处取得最小值,又kBC=-1,kAB =1,∴-1≤-a≤1,即-1≤a≤1.

答案:[-1,1]

线性规划的实际应用 [例3] (2012· 江西高考)某农户计划种植黄瓜和韭菜,

种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种 植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 :
黄瓜 韭菜 年产量/亩 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2万元 0.9万元 每吨售价 0.55万元 0.3万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成
本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为____.

[自主解答] =x+0.9y.

设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩,y亩,总

利润为z万元,则目标函数为z=(0.55×4x-1.2x)+(0.3×6y-0.9y) ?x+y≤50, ? ?1.2x+0.9y≤54, 线性约束条件为? ?x≥0, ?y≥0, ? 画出可行域,如图所示. 作出直线l0:x+0.9y=0,向上平移至过
?x+y=50, ? 点A时,z取得最大值,由? ?4x+3y=180, ?

?x+y≤50, ? ?4x+3y≤180, 即? ?x≥0, ?y≥0. ?

解得A(30,20). [答案]

30

20

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解答线性规划实际问题的步骤如下: (1)根据题意设出变量,找出约束条件和目标函数; (2)准确作出可行域,求出最优解; (3)将求解出来的结论反馈到实际问题当中,设计最

佳方案.

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3.A,B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加 工一道工序才能成为成品.已知A产品需要在甲机器上 加工3小时,在乙机器上加工1小时;B产品需要在甲机 器上加工1小时,在乙机器上加工3小时.在一个工作日

内,甲机器至多只能使用11小时,乙机器至多只能使用
9小时.A产品每件利润300元,B产品每件利润400元, 则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是 ________元.

解析:设生产A,B两种产品各x件,y件,则x,y满足约束 ?3x+y≤11, ? 条件?x+3y≤9, ?x∈N,y∈N, ? 生产利润为z=300x+400y. 画出可行域,如图所示,显然目标函数在点A处取得最大 值,由方程组
?3x+y=11, ? ? ?x+3y=9, ? ?x=3, ? ? ?y=2, ?

解得

此时目标函数

的最大值是300×3+400×2=1 700. 故最大利润是1 700元. 答案:1 700

? 1 种方法——确定二元一次不等式所表示的平面区域的方法

(1)直线定界,即若不等式不含等号,则应把直线画 成虚线;若不等式含有等号,把直线画成实线.

(2)特殊点定域,即在直线Ax+By+C=0的某一侧取
一个特殊点(x0,y0)作为测试点代入不等式检验,若满足不 等式,则表示的就是包括该点的这一侧,否则就表示直线 的另一侧.特别地,当C≠0时,常把原点作为测试点;当 C=0时,常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点.

?1个步骤——利用线性规划求最值的步骤
(1)在平面直角坐标系内作出可行域;
(2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形; (3)在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而 确定最优解; (4)将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.

?1个几何意义——线性目标函数最值的几何意义

求二元一次函数z=ax+by(ab≠0)的最值,将函数z=ax a z +by转化为直线的斜截式:y=- b x+ b ,通过求直线的截距 z b的最值间接求出z的最值,应注意以下两点: z z (1)若b>0,则截距b取最大值时,z也取最大值;截距b取

最小值时,z也取最小值. z z (2)若b<0,则截距 b 取最大值时,z取最小值;截距 b 取 最小值时,z取最大值.按m=(a,b)方向平移直线ax+by= 0,z越来越大.

创新交汇——与线性规划有关的交汇问题 1.线性规划问题常与指数函数、对数函数、向量以 及解析几何的相关知识交汇命题. 2.解决此类问题的思维精髓是“数形结合”,作图要

精确,图上操作要规范.
[例] (2012· 江苏高考)已知正数a,b,c满足:5c-

3a≤b≤4c-a,cln b≥a+cln c,则的取值范围是 ________.

a ?3·+b≥5 ? c c ?a b [解析] 由条件可得?c + c≤4, ? ?b≥ea, ?c c

a b 令 c =x, c =

?3x+y≥5, ? y,则问题转化为约束条件为 ?x+y≤4 ,求目标 ?y≥ex, ?
b y 函数 z=a=x的取值范围.作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影 部分),过原点作 y=ex 的切线,切线方程为 y=ex,切点 P(1,e)在区域
?1 7? 内.故当直线 y=zx 过点 P(1,e)时,zmin=e;当直线 y=zx 过点 C?2,2? ? ?

b 时,zmax=7,故a∈[e,7].[答案]

[e,7]

[名师点评]

1.本题具有以下创新点

(1)命题角度新颖,本题不是直接给出线性约束条件
和目标函数求最值,因而需要将所给不等式组进行合理转 化后,约束条件才明朗. (2)考查知识点新颖,本题将不等式,对数、指数函 数,导数以及曲线的切线问题相交汇,运算求解能力、运 用数形结合、分类讨论的思想方法分析与解决问题的能力 要求较高.

2.解决本题的关键 (1)正确将不等式5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+clnc进行 合理转化,明确约束条件,将其转化为线性规划问题;

b (2)正确识别a的几何意义,将其转化为斜率问题求解.

[变式训练]
1. 已知 平面直 角坐标 系 xOy 上 的区域 D 由 不 等式组 ?0≤x≤ 2, ? ?y≤2, ? ?x≤ 2y

给定,若 M(x,y)为 D 上的动点,点 A

? OA ? 的坐标为( 2,1),则 z= OM · 的最大值为______.

解析:区域D如图所示:
? OA ? 设M(x,y),则z= OM · =(x,y)·

( 2,1)= 2x+y. 要求目标函数z= 2x+y的最大值 即求直线y=- 2x+z在y轴上截 距的最大值,画l0:y=- 2x,由图知过直线y=2与直线 x= 2的交点M( 2,2)时,z取得最大值为zmax= 2× 2 +2=4.

答案:4

?x+y-11≥0, ? 2.设不等式组?3x-y+3≥0, ?5x-3y+9≤0 ?

表示的平面区域为 D.若指数

函数 y=ax 的图象上存在区域 D 上的点,则 a 的取值范围 是________.

解析:平面区域D如图所示.

要使指数函数y=ax的图象上存在区
域D上的点, 所以1<a≤3. 答案:(1,3]

?ln x, x>0, ? 3.(2012· 陕西高考)设函数f(x)=? ?-2x-1,x≤0, ?

D是由x轴

和曲线y=f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区 域,则z=x-2y在D上的最大值为______________.

1 解析:当 x>0 时,求导得 f′(x)=x,所以曲线在点(1,0) 处的切线的斜率 k=1,切线方程为 y=x-1,画图可知 区域 D
? 1 ? 为三角形,三个顶点的坐标分别为?-2,0?,(0, ? ?

-1),(1,0),平移直线 x-2y=0,可知 在点(0,-1)处 z 取得最大值 2.

答案: 2

?2x+y-6≤0, ? 1.不等式组?x+y-3≥0, ?y≤2 ? 为______.

表示的平面区域的面积

?2x+y-6≤0, ? 解析:不等式组?x+y-3≥0, ?y≤2 ? 表示的平面区域如图所示(阴影部分), △ABC的面积即为所求.求出点A, B,C的坐标分别为A(1,2),B(2,2),C(3,0),则△ABC的 1 面积为S=2×(2-1)×2=1.

答案:1

?y≤1, ? 2.若变量 x,y 满足约束条件?x+y≥0, ?x-y-2≤0, ? 的最大值为 ________.

则 z=x-2y

解析:作出可行域如图所示(阴影部分),把 z x z 1 =x-2y 变形为 y= - ,得到斜率为 ,在 2 2 2 z y 轴上的截距为- ,随 z 变化的一组平行直 2 x z z 线.由图可知,当直线 y= - 经过点 A 时,- 最小,即 z 2 2 2 ?x+y=0, ? 最大,解方程组? 得 A 点坐标为(1,-1),所以 ?x-y-2=0, ? zmax=1-2×(-1)=3. 答案:3

?y≥x, ? 3.设 m>1,在约束条件?y≤mx, ?x+y≤1 ?

下,目标函数 z=x+my

的最大值小于 2,则 m 的取值范围为________.

?y≥x, ? 解析:∵m>1,由?y≤mx, ?x+y≤1, ?
如图所示.

画出可行域,

1 z 对于目标函数 z=x+my,即 y=-mx+m,∴平移直线 y=
?y=mx, ? 1 - x 到 B 处 z 取值最大,则由? 得 m ?x+y=1, ? ? 1 m ? 1 m2 ? ? B?m+1,m+1?,zmax= + <2. m+1 m+1 ? ?

解得 1- 2<m<1+ 2,又∵m>1,∴1<m<1+ 2.

答案:(1,1+ 2)

[备考方向要明了] 怎么考 1.了解基本不等式的 1.以填空题的形式考查基本不等式 的应用,如比较大小、求最值等. 证明过程.

考 什 么

2.会用基本不等式解

2011年高考T8.

决简单的最大(小) 2.在实际问题中和函数建模综合起 来,考查基本不等式在求函数最 值问题.

值中的应用,如2012年江苏T17等.

[归纳
a+b 1.基本不等式 ab≤ 2

知识整合]

(1)基本不等式成立的条件: a≥0,b≥0

.

(2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号.

[探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义? a+b a+b 提示:①当a=b时, 2 ≥ ab 取等号,即a=b? 2 =
ab. a+b a+b ②仅当a=b时, 2 ≥ ab取等号,即 2 = ab?a=b.

2.几个重要的不等式 2ab (a,b∈R);b+a≥ 2 (a,b 同号). a +b ≥ a b
2 2

?a+b? ?a+b? ? ?2 ?2 ab≤? (a,b∈R);? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ?

a2+b2 ≤ (a,b∈R) 2

3.算术平均数与几何平均数

a+b 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为 2

,几何

平均数为 ab,基本不等式可叙述为: 两个正实数的算术 平均数不小于它的几何平均数 . 4.利用基本不等式求最值问题 已知x>0,y>0,则 (1)如果积 xy 是定值 P,那么当且仅当 x=y 时,x+y

有最小值是 2 P (简记:积定和最小).
(2)如果和 2x+y 是定值 P,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值是
p 4

(简记:和定积最大).

[探究]

2.当利用基本不等式求最大(小)值时,等号取

不到时,如何处理?
提示:当等号取不到时,可利用函数的单调性等知识 1 来求解.例如,y=x+x在 x≥2 时的最小值,利用单调性, 5 易知 x=2 时 ymin= . 2

[自测 牛刀小试]

1.已知m>0,n>0,且mn=81,则m+n的最小值为_____.
解析:因为 m>0,n>0,所以 m+n≥2 mn=2 81=18.

答案:18

1 2.若函数 f(x)=x+ (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a=_____. x-2

1 1 解析: f(x)=x+ =x-2+ +2, x-2 x-2 ∵x>2, ∴x-2>0. 1 ∴f(x)≥2 ?x-2?· +2=4 x-2 1 当且仅当 x-2= ,即 x=3 时,“=”成立,又 f(x) x-2 在 x=a 处取最小值,所以 a=3.

答案:3

3.(2013· 江苏东台模拟)若二次函数 f(x)=ax2-4x+c 的值域 1 4 为[0,+∞),则a+c的最小值为________. 解析:∵二次函数 f(x)=ax2-4x+c 的值域为[0,+∞),
∴a>0,Δ=16-4ac=0, 1 4 ∴c>0,ac=4,∴a+c≥2 4 ac=2.

答案:2

1 4.函数y=x+x的值域为________.
1 解析:当 x>0 时,x+x≥2 当 x<0 时,-x>0, 1 -x+ ≥2 -x 1 1 ?-x?· =2,所以 x+x≤-2. -x 1 x·=2; x

综上,所求函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).

答案:(-∞,-2]∪[2,+∞)

5.在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的一条直线与函数 2 f(x)= x 的图象交于P,Q两点,则线段PQ长的最小值是 ________.

解析:由题意知:P,Q两点关于原点O对称,不妨设 2 P(m,n)为第一象限中的点,则m>0,n>0,n= m ,所以 ? 2 4? 2 2 2 2 |PQ| =4|OP| =4(m +n )=4 ?m +m2? ≥16(当且仅当m2= ? ? 4 m2,即m= 2时,取等号).故线段PQ长的最小值为4.

答案:4

利用基本不等式证明不等式
[例1] 已知a>0,b>0,a+b=1,

? 1?? 1? 求证:?1+a??1+b?≥9. ? ?? ?

[自主解答] 法一:∵a>0,b>0,a+b=1, a+b 1 b ∴1+a=1+ a =2+a. 1 a 同理,1+b=2+b.

? ?b a? 1? ? 1? ? b? ? a? ∴?1+a??1+b?=?2+a??2+b?=5+2?a+b?≥5+4=9,当且仅 ? ?? ? ? ?? ? ? ?

b a 当a=b,即a=b时取“=”. ? 1?? 1? 1 ∴?1+a??1+b?≥9,当且仅当a=b=2时等号成立. ? ?? ?
1?? 1? 1 1 1 法二: 1+a??1+b?=1+a+b+ab ?? ? ?? ? a+b 1 2 =1+ ab +ab=1+ab, ∵a,b为正数,a+b=1, ?a+b?2 1 1 ? ? = ,当且仅当a=b= 时取“=”. ∴ab≤ 2 ? 2 ? 4 1 2 1 于是ab≥4,ab≥8,当且仅当a=b=2时取“=”. ? 1?? 1? 1 ? ∴?1+a??1+b?≥1+8=9,当且仅当a=b=2时等号成立. ?? ? ? ?? ?
? ? ? ?

1 保持例题条件不变,证明: a+2+ 证明:∵a>0,b>0,且 a+b=1,

1 b+2≤2.



1 a+ + 2

1 b+ = 2

? 1? ?a+ ?×1+ 2? ?

1 1 a+ +1 b+ +1 a+b+3 ? ? 2 2 1 4 ?b+ ?×1≤ + = = 2? 2 2 2 2 ? 1 1 1 =2.当且仅当 a+ =1,b+ =1,即 a=b= 时“=”成立. 2 2 2

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利用基本不等式证明不等式的方法技巧 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的 一种情况,要从整体上把握运用基本不等式,对不满足 使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变

形技巧有:拆项、并项,也可乘上一个数或加上一个数,
“1”的代换法等. ——————————————————————————

bc ca ab 1.已知a>0,b>0,c>0,求证: a + b + c ≥a+b+c.
证明:∵a>0,b>0,c>0, bc ca ∴ a + b ≥2 ca ab b + c ≥2 bc ca bc ab · =2c, a + c ≥2 a b ca ab b · =2a. c bc ab a · =2b, c

?bc ca ab? 以上三式相加得:2? a + b + c ?≥2(a+b+c), ? ?

bc ca ab 即 a + b + c ≥a+b+c.

利用基本不等式求最值 [例2] (1)(2012· 浙江高考)若正数x,y满足x+3y=5xy,

则3x+4y的最小值是____________.
b2 (2)已知 a>0,b>0,a2+ =1,则 a 2 为________. 1+b2的最大值

[自主解答]

3 1 (1)由x+3y=5xy,得 x + y =5(x>0,y>0),则3x

?3 1? 1 +4y=5(3x+4y)?x+ y ? ? ?

12y 3x? 1? 1? =5?13+ x + y ?≥5?13+2 ? ? ? 1 =5(13+12)=5.

12y 3x? ? x · ? y

12y 3x 当且仅当 x = y ,即x=2y时,
?x=2y, ? “=”成立,此时由? ?x+3y=5xy, ?

?x=1, ? 解得? 1 y=2. ? ?

(2)∵a>0, ∴a 1+b2= a2?1+b2?= 1 b2 a2+ + 2 2 3 2 ≤ 2· = , 2 4
2 ? 2 1 b ?a =2+ 2 , 当且仅当? b2 ?a2+ =1, 2 ? 2

2

?1 b2? a2?2+ 2 ? ? ?

? ?a= ? 即? ? ?b= ?

3 , 2 2 2

时取等号.

3 2 ∴a 1+b 的最大值为 . 4

[答案]

(1)5

3 2 (2) 4

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利用基本不等式求最值的条件 利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三 个条件:一正、二定、三相等. (1)“一正”就是各项必须为正数; (2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二 项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积 的因式的和转化成定值; (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证 等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求 的最值,这也是最容易发生错误的地方.

2.(1)函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在 1 1 直线mx+ny-1=0(m,n>0)上,求m+n的最小值;

(2)若正数a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围.

解:(1)∵y=a1 x(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A, ∴A(1,1).又点 A 在直线 mx+ny-1=0(m>0,n>0)上,∴
?1 1? 1 1 n m ? + ?=2+ + m+n=1(m>0, n>0). m+n=(m+n)· ∴ m n ?m n?



1 1 1 ≥2+2=4,当且仅当 m=n= 时,等号成立,∴m+n的 2 最小值为 4. (2)∵ab=a+b+3,又 a,b∈(0,+∞),

∴ab≥2 ab+3.设 ab=t>0, ∴t2-2t-3≥0.∴t≥3 或 t≤-1(舍去). ∴ab 的取值范围是[9,+∞).

利用基本不等式解决实际问题
[例3] 为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在2014年举行促 销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年 k 促销费用t(t≥0)万元满足x=4- (k为常数).如果不搞促销活 2t+1 动,则该产品的年销量只能是1万件.已知2014年生产该产品的固定 投入为6万元,每生产1万件该产品需要再投入12万元,厂家将每件产 品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入 和再投入两部分).

(1)将该厂家2014年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的 函数; (2)该厂家2014年的年促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?

k [自主解答](1)由题意有1=4-1, 3 得k=3,故x=4- . 2t+1 6+12x 故y=1.5× x ×x-(6+12x)-t= ? 3 ? 18 ? ? 4- 3+6x-t=3+6? 2t+1?-t=27- -t(t≥0). 2t+1 ? ? 18 (2)由(1)知:y=27- -t= 2t+1
? 1?? ? 9 ? 1+?t+2?? ? ? . 27.5-? ? t+2 ? ?

基本不等式 9

9

t+

? 1? +?t+ ?≥2 1 ? 2?

2

9 ? 1? ?t+ ?=6, · 1 ? 2? t+ 2

1 当且仅当 =t+ ,即 t=2.5 时等号成立. 1 2 t+ 2 ? 9 +?t+1?? 18 ? 1 ? 2?? ? 故 y=27- -t=27.5- ?t+ ? ? 2t+1 ? 2 ? ≤27.5-6=21.5. 9 1 当且仅当 =t+ 时,等号成立,即 t=2.5 时,y 有最大值 21.5. 1 2 t+ 2 所以 2014 年的年促销费用投入 2.5 万元时,该厂家利润最大,最大 利润为 21.5 万元.

—————

———————————— 解实际应用题时应注意的问题

(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为
函数; (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需再利用

基本不等式求得函数的最值;
(3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有 意义的自变量的取值范围)内求;

(4)有些实际问题中,要求最值的量需要用几个变量表
示,同时这几个变量满足某个关系式,这时问题就变成了 一个条件最值,可用求条件最值的方法求最值. ——————————————————————————

3.某种商品原来每件售价为25元,年销售量8万件. (1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000 件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最高为 多少元? (2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年 对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x 1 2 元.公司拟投入 6 (x -600)万元作为技改费用,投入50万元作 1 为固定宣传费用,投入 5 x万元作为浮动宣传费用.试问:当 该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使明年 的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的 每件定价.

解:(1)设每件定价为x元,依题意,有

? ? x-25 ? ? ?8- 1 ×0.2? ? ?

x≥25×8,整理得x2-65x+1 000≤0,解得25≤x≤40. ∴要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最高为40元.
(2)依题意,x>25时, 1 1 不等式ax≥25×8+50+6(x2-600)+5x有解, 150 1 1 等价于x>25时,a≥ x +6x+5有解, 150 1 150 1 ∵ x + 6 x≥2 x ·x =10(当且仅当x=30时,等号成立), 6 ∴a≥10.2. ∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时,才可能使明 年的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件 定价为30元.

? 1 个技巧——公式的逆用

运用公式解题时, 既要掌握公式的正用, 也要注意公式 a2+b2 a+b 的逆用, 例如 a2+b2≥2ab 逆用就是 ab≤ ; ≥ ab 2 2 (a,b>0)逆用就是
?a+b? ?2 ab≤? ? 2 ? (a,b>0)等,还要注意“添、 ? ?

拆项”技巧和公式等号成立的条件等.

? 2 个变形——基本不等式的变形

a2+b2 ?a+b? 2 ? (1) 2 ≥ ? ? 2 ? ≥ab(a,b∈R,当且仅当a=b时取 ? ? 等号);

a2+b2 a+b 2 (2) 2 ≥ 2 ≥ ab ≥ 1 1 (a>0,b>0, a+b 当且仅当a=b时取等号).

? 3 个关注——利用基本不等式求最值应注意的问题

(1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对
其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本 不等式求最值,这三个条件缺一不可. (2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑” 等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.

(3)连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时
满足任何一次的字母取值存在且一致.

创新交汇——基本不等式在其他数学知识中的应用 1.考题多以函数、方程、立体几何、解析几何、数 列等知识为载体考查基本不等式求最值问题.

2.解决此类问题的关键是正确利用条件转换成能利
用基本不等式求解的形式,同时要注意基本不等式的使用 条件.

[典例] y=

(2012· 湖南高考改编)已知两条直线 l1:y=m 和 l2:

8 (m>0), 与函数 y=|log2x|的图象从左至右相交于点 A, l1 2m+1

B,l2 与函数 y=|log2x|的图象从左至右相交于点 C,D.记线段 AC b 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a,b.当 m 变化时,a的最小值 为________.

[解析] 数形结合可知 A,C 点的横坐标在区间(0,1)内,B,D 点的横 b xB-xD 坐标在区间(1,+∞)内,而且 xC-xA 与 xB-xD 同号,所以a= , xC-xA 根据已知|log2xA|=m,即-log2xA=m,所以 b 8 8 - xA =2 m.同理可得 xC =2- ,xB =2m ,xD =2 ,所以 a = 2m+1 2m+1 8 8 8 2m-2 2m-2 2m-2 2m+1 2m+1 2m+1 8 8 = = =2 +m,由于 + 8 1 1 8 2m+1 2m+1 -m m 2- -2 - m 2 -2 8 2 2m+1 2m+1 2 2m+1 8 2m· 2 2m+1 2m+1 1 2m+1 8 1 7 8 m= + - ≥4- = , 当且仅当 = , 2m+1=4, 即 2 2 2 2 2 2m+1 2m+1 b 3 7 即 m= 时等号成立,故 的最小值为 2 =8 2. [答案] 8 2 a 2 2

[名师点评]

1.本题具有以下创新点 (1)本题是对数函数的图象问题,通过分析、转化为基本 不等式求最值问题. (2)本题将指数、对数函数的性质与基本不等式相结合, 考查了考生分析问题、解决问题的能力. 2.解决本题的关键有以下几点 (1)正确求出A、B、C、D四点的坐标; (2)正确理解a,b的几何意义,并能正确用A、C、B、D 的坐标表示; 8 (3)能用拼凑法将m+ (m>0)化成利用基本不等式求最 2m+1 值的形式.

[变式训练]

1.已知 x>0,y>0,x,a,b,y 成等差数列 x,c,d,y 成 ?a+b?2 等比数列,则 cd 的最小值是_______. ?a+b?2 解析:由题知 a+b=x+y,cd=xy,x>0,y>0,则 cd

?x+y?2 ?2 xy?2 = xy ≥ xy =4,当且仅当 x=y 时取等号.

答案:4

2.若直线 ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆 x2+y2+2x-4y+1=0 截 1 1 得的弦长为 4,则a+b的最小值为_______.

1 解析:圆的直径是4,说明直线过圆心(-1,2),故 2 a+b ? ?1 1? 3 b 1 1 ?1 a 3 ? a+b? ? + ? = + + ≥ + 2,当且仅 =1, a + b = 2 ? ? ?a b? 2 a 2b 2 b a 当a=2b,即a=2( 2-1),b=2- 2时取等号. 答案: 2

3.若x>0,y>0,且 x + y ≤a ________.

x+y 恒成立,则a的最小值是

解析:由 x + y ≤a

x+ y x+y ,得a≥ ,令f(x,y)= x+y ? x+ y?2 = x+y 2 xy 1+ x+y 2.

x+ y x+ y ,则f(x,y)= = x+y x+y ≤ 1+

2 xy = 2,当且仅当x=y时等号成立.故a≥ 2 xy

答案: 2

1.已知log2a+log2b≥1,则3a+9b的最小值为______.
解析:log2a+log2b=log2ab.∵log2a+log2b≥1,∴ab≥2 且 a > 0 , b > 0.3a + 9b = 3a + 32b≥2 3a·2b = 2 3a 3
× +2b

≥2 32 2ab≥2 32 2=18,当且仅当 a=2b,即 a=2, b=1 时等号成立.∴3a+9b 的最小值为 18.

答案:18

1 1 2.设a,b均为正实数,求证:a2+b2+ab≥2 2.
1 1 1 1 证明:由于a、b均为正实数,所以 a2 + b2 ≥2 a2·2 = b 2 1 1 2 ,当且仅当 a2 = b2 ,即a=b时等号成立,又因为 ab + ab 2 2 ab≥2 · ab=2 2,当且仅当ab=ab时等号成立, ab ? 12= 12, ?a b 1 1 2 所以 a2 + b2 +ab≥ ab +ab≥2 2,当且仅当 ? 即 ? 2 =ab, ?ab a=b= 2时取等号. 4

5 1 3.已知x<4,求f(x)=4x-2+ 的最大值. 4x-5

5 1 解:因为x< 4 ,所以5-4x>0,则f(x)=4x-2+ = 4x-5
? 1 ? ? -?5-4x+5-4x?+3≤-2+3=1. ? ? ?

1 当且仅当5-4x= ,即x=1时,等号成立. 5-4x

[备考方向要明了]
考 什 么 1.了解合情推理的含义,能利用归 纳和类比等进行简单的推理, 怎么考

1.合情推理的考查常单独
命题,以填空题的形式 考查,如2011年高考

了解合情推理在数学发现中的
作用. 2.了解演绎推理的重要性,掌握演 绎推理的基本模式,并能运用 它们进行一些简单推理.

T14 等.
2.对演绎推理的考查则渗 透在解答题中,侧重于 对推理形式的考查.

3.了解合情推理和演绎推理之间的
联系和差异.

[归纳 知识整合]
1.合情合理 (1)归纳推理: ①定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推 出该类事物的 全部对象 都具有这些特征的推理,或者

由个别事实概括出一般结论的推理.
②特点:是由 部分 到 整体 、由 个别 到 一般 的 推理.

(2)类比推理 ①定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对

象的某些已知特征,推出另一类对象也具有 这些特征 的
推理. ②特点:类比推理是由 特殊 到 特殊 的推理. [探究] 1.归纳推理的结论一定正确吗?

提示:不一定,结论是否真实,还需要经过严格的逻
辑证明和实践检验.

2.演绎推理 (1)模式:三段论 ①大前提——已知的 一般原理 ; ②小前提——所研究的 特殊情况 ; ③结论——根据一般原理,对 特殊情况 做出的判断. (2)特点:演绎推理是由 一般 到 特殊 的推理. [探究] 2.演绎推理所获得的结论一定可靠吗?

提示:不一定,只有前提是正确的,推理形式是正确 的,结论才一定是真实的,错误的前提则可能导致错误的 结论.

[自测 牛刀小试] 1.下面几种推理:①由圆的性质类比出球的有关性质;②

由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是
180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°;③某次 考试张军成绩是100分,由此推出全班同学成绩都是100 分;④三角形的内角和是180°,四边形的内角和是 360°,五边形的内角和是540°,由此得出凸多边形的 内角和是(n-2)· 180°.其中是合情推理的是________( 填序号). 解析:①是类比推理,②④是归纳推理,③是非合情推 理. 答案:①②④

2.观察下列各式:55=3 125,56=15 625,57=78 125,…, 则52 013的末四位数字为__________.

解析:55=3 125,56=15 625,57=78 125,,58=390 625,
59=1 953 125,可得59与55的后四位数字相同,…,由 此可归纳出5m+4k与5m(k∈N*,m=5,6,7,8)的后四位数字 相同,又2 013=4×502+5,所以52 013与55后四位数字 相同为3 125. 答案:3 125

3.给出下列三个类比结论. ①(ab)n=anbn与(a+b)n类比,则有(a+b)n=an+bn; ②loga(xy)=logax+logay与sin(α+β)类比,则有sin(α+ β)=sin αsin β; ③(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比,则有(a+b)2=

a2+2a· 2. b+b
其中结论正确是 _________(填序号). 解析:①②不正确,③正确. 答案:③

4.(教材习题改编)有一段演绎推理是这样的:“直线平

行于平面,则直线平行于平面内所有直线;已知直
线b?平面α,直线a?平面α,直线b∥平面α,则直 线b∥直线a”,结论显然是错误的,这是因为 ________. 解析:大前提是错误的,直线平行于平面,则不一

定平行于平面内所有直线,还有异面直线的情况.
答案:大前提错误

1 1 1 9 5.(教材习题改编)在△ABC中,不等式 A + B + C ≥ π 成立; 1 1 1 1 16 在四边形ABCD中,不等式 A + B + C + D ≥ 2π 成立;在五 1 1 1 1 1 25 边形ABCDE中,不等式 A + B + C + D + E ≥ 3π 成立,猜 想,在n边形A1A2?An中,成立的不等式为________.

解析:∵9=32,16=42,25=52,且1=3-2,2=4-2,3=5- 1 1 1 2,?,故在n边形A1A2?An中,有不等式 A + A +?+ A 1 2 n 2 n ≥ 成立. 1 1 1 n2 ?n-2?π 答案:A +A +?+A ≥ (n≥3) ?n-2?π 1 2 n

归纳推理 [例1] (1)(2012· 江西高考)观察下列各式:a+b=1,

a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则
a10+b10=________. 1 (2)设f(x)=3x+ 3,先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2), f(-2)+f(3),然后归纳猜想一般性结论,并给出证明.

[自主解答]

(1)记an+bn=f(n),则f(3)=f(1)+f(2)=

1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11. 通过观察不难发现f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N*,n≥3), 则f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+ f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9)=123.

所以a10+b10=123.
3 3 (2)f(0)+f(1)= ,f(-1)+f(2)= , 3 3 3 3 f(-2)+f(3)= ,猜想 f(x)+f(1-x)= , 3 3

1 证明:∵f(x)= x , 3+ 3 1 3x 3x ∴f(1-x)= 1-x = x= x . 3 + 3 3+ 3· 3 3? 3+3 ? 1 3x ∴f(x)+f(1-x)= x + 3+ 3 3? 3+3x? 3+3x 1 3 = = . x = 3? 3+3 ? 3 3
[答案] (1)123

利用本例(2)的结论计算f(-2 014)+f(-2 013)+…+
f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2 015)的值. 3 解:∵f(x)+f(1-x)= , 3
∴f(-2 014)+f(-2 013)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+… +f(2 015) =[f(-2 014)+f(2 015)]+[f(-2 013)+f(2 014)]+…+ [f(0)+f(1)] 3 2 015 =2 015× = 3 3 3 .

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归纳推理的分类 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类 (1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳,解决此类

问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间
的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等 比数列等. (2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规 律归纳.
——————————————————————————

1.观察下列等式:

1=1 13=1 1+2=3 13+23=9 1+2+3=6 13+23+33=36 1+2+3+4=10 13+23+33+43=100 1+2+3+4+5=15 13+23+33+43+53=225 ? ? 可以推测:13+23+33+…+n3=________(n∈N*,用
含n的代数式表示).

解析:第二列等式右边分别是1×1,3×3,6×6,10×10, 15×15,与第一列等式右边比较即可得,13+23+33+? 1 2 +n =(1+2+3+?+n) =4n (n+1)2.
3 2

1 2 答案:4n (n+1)2

类比推理
[例 2] (2012· 广州模拟)已知数列{an}为等差数列, 若
*

nb-ma am=a,an=b(n-m≥1,m,n∈N ),则 am+ n= . n-m 类比等差数列{an}的上述结论,对于等比数列{bn}(bn>0,n ∈N*),若 bm=c,bn=d(n-m≥2,m,n∈N*),则可以得 到 bm+n=________.

[自主解答] = b-a . n-m

an-am 法一:设数列{an}的公差为d1,则d1= n-m

b-a bn-am 所以am+n=am+nd1=a+n· = . n-m n-m 类比推导方法可知:设数列{bn}的公比为q,由bn=bmqn-m 可知d=cq
n- m

n-m ?d? n-m d n ? ?n ,所以q= ,所以bm+n=bmq =c· c ?c?

n-m dn = cm.

法二:(直接类比)设数列{an}的公差为 d1,数列{bn}的公比为 q,因为等差数列中 an=a1+(n-1)d1,等比数列中 bn=b1qn 1, n-m dn nb-ma 因为 am+n= ,所以 bm+n= cm. n-m


[答案]

n-m dn cm

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———————————— 类比推理的分类

(1)类比定义:在求解由某种熟悉的定义产生的类比 推理型试题时,可以借助原定义来求解; (2)类比性质:从一个特殊式子的性质、一个特殊图 形的性质入手,提出类比推理型问题,求解时要认真分析 两者之间的联系与区别,深入思考两者的转化过程是求解

的关键;
(3)类比方法:有一些处理问题的方法具有类比性,我 们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中,注意知

识的迁移.

2.在△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC于点D. 1 1 1 求证:AD2=AB2+AC2. 那么在四面体ABCD中,类比上述结论,你能得到 怎样的猜想,并说明理由.

证明:如图所示,∵AB⊥AC,AD⊥BC, ∴△ABD∽△CAD,△ABC∽△DBA,

∴AD2=BD· DC,AB2=BD· BC, AC2=BC· DC, 1 1 ∴AD2=BD· DC BC2 BC2 =BD· DC· =AB2· 2. BC· BC AC 又∵BC2=AB2+AC2, AB2+AC2 1 1 1 ∴AD2= AB2· 2 =AB2+AC2. AC 1 1 1 ∴AD2=AB2+AC2. 猜想:类比AB⊥AC,AD⊥BC,猜想四面体ABCD中, 1 1 1 1 AB,AC,AD两两垂直,AE⊥平面BCD,则AE2=AB2+AC2+AD2. 下面证明上述猜想成立.

如右图所示,连接BE并延长交CD于点F,连接AF. ∵AB⊥AC,AB⊥AD,AC∩AD=A, ∴AB⊥平面ACD. 而AF?平面ACD,∴AB⊥AF. 在Rt△ABF中,AE⊥BF, 1 1 1 ∴AE2=AB2+AF2. 同理可得在Rt△ACD中,AF⊥CD, 1 1 1 ∴AF2=AC2+AD2. 1 1 1 1 ∴AE2=AB2+AC2+AD2. 故猜想正确.

演绎推理
a [例 3] 已知函数 f(x)=- x (a>0 且 a≠1). a+ a ?1 1? (1)证明:函数 y=f(x)的图象关于点?2,-2?对称;
? ?

(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3) 的值.
[自主解答] (1)证明: 函数 f(x)的定义域为 R, 任取一点(x,

?1 1? y),它关于点?2,-2?对称的点的坐标为(1-x,-1-y). ? ?

a 由已知得 y=- x , a+ a

a ax 则-1-y=-1+ x =- x , a+ a a+ a a a a·x a ax f(1-x)=- 1-x =- a =- =- x , a + a a+ a·x a a+ a ax+ a ∴-1-y=f(1-x), ?1 1? 即函数 y=f(x)的图象关于点?2,-2?对称. ? ? (2)由(1)可知-1-f(x)=f(1-x), 即f(x)+f(1-x)=-1. 则f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1, f(0)+f(1)=-1, 则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.

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演绎推理的结构特点 (1)演绎推理是由一般到特殊的推理,其最常见的形式 是三段论,它是由大前提、小前提、结论三部分组成 的.三段论推理中包含三个判断:第一个判断称为大前提, 它提供了一个一般的原理;第二个判断叫小前提,它指出 了一个特殊情况.这两个判断联合起来,提示了一般原理 和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断:结论. (2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系,解 题时要找准正确的大前提.一般地,若大前提不明确时, 一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.
——————————————————————————

a 3.已知函数f(x)= x +bx,其中a>0,b>0,x∈(0,+∞), 试确定f(x)的单调区间,并证明在每个单调区间上的增 减性.

解:法一:设0<x1<x2,
?a ? ?a ? 则f(x1)-f(x2)=?x +bx1?-?x +bx2? ? 1 ? ? 2 ? ? a ? ? =(x2-x1)· x -b?. ?x1 2 ?

a 当 0<x1<x2≤ b时,∵a>0,b>0, a a ∴x2-x1>0,0<x1x2<b, >b, x1x2 ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),
? ∴f(x)在?0, ? ?

a? ? 上是减函数; b? ?

a a a 当 x2>x1≥ b>0 时,x2-x1>0,x1x2>b,x1x2<b, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),
? ∴f(x)在? ? ? ? a ? 上是增函数. b,+∞? ?

法二:∵a>0,b>0,x∈(0,+∞), a a ∴令 f′(x)=- 2+b=0,得 x= b, x a a a 当 0<x≤ b时,-x2≤-b,∴-x2+b≤0, 即 f′(x)≤0,
? ? ∴f(x)在?0, ?

当 x≥
? ? ∴f(x)在? ?

a? ? ?上是减函数; b? a a b时,-x2+b≥0,即 f′(x)≥0,
? a ? ,+∞?上是增函数. b ?

?2个步骤——归纳推理与类比推理的步骤

(1)归纳推理的一般步骤: ①通过观察个别情况发现某些相同性质;

②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性
命题(猜想); ③检验猜想.

实验、观察 → 概括、推广 → 猜测一般性结论

(2)类比推理的一般步骤: ①找出两类事物之间的相似性或一致性; ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得 出一个明确的命题(猜想);

③检验猜想.

观察、比较 → 联想、类推 → 猜想新结论

(1)归纳是由特殊到一般的推理; (2)类比是由特殊到特殊的推理; (3)演绎推理是由一般到特殊的推理;

(4)从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正
确,有待证明;若大前提和小前提正确,则演绎推理得 到的结论一定正确.

创新交汇——推理与证明的交汇问题

1.归纳推理主要有数与式的归纳推理、图形中的归纳推
理、数列中的归纳推理;类比推理主要有运算的类比、性质的 类比、平面与空间的类比.题型多为客观题,而2012年福建高 考三角恒等式的推理与证明相结合出现在解答题中,是高考命 题的一个创新. 2.解决此类问题首先要通过观察特例发现某些相似性(特 例的共性或一般规律);然后把这种相似性推广到一个明确表 述的一般命题(猜想);最后对所得的一般性命题进行检验.

[例]

(2012· 福建高考)某同学在一次研究性学习中发

现,以下五个式子的值都等于同一个常数:
(1)sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°; (2)sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°; (3)sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°; (4)sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°;

(5)sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;

(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角
恒等式,并证明你的结论.

3 (2)三角恒等式为sin2α+cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α)=4. 证明如下: sin2α+cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α) =sin2α+(cos 30° α+sin 30° α)2-sin α(cos 30° α+sin 30° α) cos sin cos sin 3 3 1 3 1 =sin2α+4cos2α+ 2 sin αcos α+4sin2α- 2 sin αcos α-2sin2α 3 3 =4sin2α+4cos2α 3 =4.

法一:(1)选择(2)式,计算如下: 1 sin215° +cos215° -sin 15° 15° cos =1-2sin 30° 1 3 =1-4=4. [解]

法二:(1)同法一. 3 (2)三角恒等式为sin α+cos (30° -α)-sin α· cos(30° -α)=4. 证明如下: sin2α+cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α) 1-cos 2α 1+cos?60° -2α? = + -sin α(cos 30° cos α+sin 2 2 30° α) sin 1 1 1 1 3 = 2- 2cos 2α+ 2+ 2(cos 60° 2α+sin 60° 2α)- 2 sin cos sin 1 2 αcos α-2sin α 1 1 1 1 3 3 1 =2-2cos 2α+2+4cos 2α+ 4 sin 2α- 4 sin 2α-4(1-cos 1 1 1 3 2α)=1-4cos 2α-4+4cos 2α=4.
2 2

[名师点评]

1.本题的创新点

(1)本题给出一个等于同一个常数的5个代数式,但没有
给出具体的值,需要学生求出这个常数,这打破以往给出具 体关系式的模式.

(2)本题没有给出具体的三角恒等式,需要考生归纳并给
出证明,打破了以往只归纳不证明的方式. 2.解决本题的关键 (1)正确应用三角恒等变换,用一个式子把常数求出来. (2)通过观察各个等式的特点,找出共性,利用归纳推理 正确得出一个三角恒等式,并给出正确的证明.

[变式训练]

阅读下面材料: 根据两角和与差的正弦公式,有 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,① sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,② 由①+②得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β.③ A+B A-B 令 α+β=A,α-β=B,有 α= ,β= , 2 2 A+B A-B 代入③得 sin A+sin B=2sin cos . 2 2

(1)类比上述推理方法,根据两角和与差的余弦公式,证明: A+B A-B cos A-cos B=-2sin sin ; 2 2

(2)若△ABC的三个内角A,B,C满足cos 2A-cos 2B=1
-cos 2C,试判断△ABC的形状. (提示:如果需要,也可以直接利用阅读材料及(1)中的结 论)

解:(1)因为cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,① cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,② ①-②得cos(α+β)-cos(α-β)=-2sin αsin β.③ A+B A-B 令α+β=A,α-β=B,有α= 2 ,β= 2 , A+B A-B 代入③得cos A-cos B=-2sin 2 sin 2 .

(2)由二倍角公式,cos 2A-cos 2B=1-cos 2C可化为1- 2sin2A-1+2sin2B=1-1+2sin2C, 所以sin2A+sin2C=sin2B. 设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 由正弦定理可得a2+c2=b2. 根据勾股定理的逆定理知△ABC为直角三角形.

1.观察下列等式: ①cos 2α=2cos2α-1; ②cos 4α=8cos4α-8cos2α+1; ③cos 6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1;

④cos 8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+
1; ⑤cos 10α=mcos10α-1 280cos8α+1 120cos6α+ncos4α +pcos2α-1. 可以推测,m-n+p=________.

解析:观察等式可知,cos α 的最高次的系数 2,8,32,128 构 成了公比为 4 的等比数列,故 m=128× 4=512;取 α=0, 则 cos α=1,cos 10α=1,代入等式⑤,得 1=m-1 280+1 120+n+p-1,即 n+p=-350;(1) π 1 1 1 取 α= , cos α= , 10α=- , 则 cos 代入等式⑤, 得- = 3 2 2 2
?1? m?2?10-1 ? ? ?1? ? 280× 2?8+1 ? ? ?1? ?1? ?1? 6 4 ? ? ? 120× 2? +n× 2? +p× 2?2-1,即 ? ? ? ? ? ?

n+

4p=-200,(2)联立(1)(2),得 n=-400,p=50. 故 m-n+p=512-(-400)+50=962.

答案:962

2.阅读以下求 1+2+3+?+n(n∈N*)的过程: 因为(n+1)2-n2=2n+1,n2-(n-1)2=2(n-1)+ 1,?,22-12=2×1+1, 以上各式相加得(n+1)2-12=2(1+2+?+n)+n,所 n2+2n-n n?n+1? 以 1+2+3+?+n= = . 2 2 类比上述过程,可得 12+22+32+?+n2= ________(n∈N*).

2.阅读以下求 1+2+3+?+n(n∈N*)的过程: 因为(n+1)2-n2=2n+1,n2-(n-1)2=2(n-1)+1,?, 22-12=2×1+1, 以上各式相加得(n+1)2-12=2(1+2+?+n)+n,所以 n2+2n-n n?n+1? 1+2+3+?+n= = . 2 2 类比上述过程,可得 12+22+32+?+n2=________(n ∈N*).

解析:由(n+1)3-n3=3n2+3n+1,n3-(n-1)3=3(n -1)2+3(n-1)+1,?,23-13=3×12+3×1+1,以 上各式相加得(n+1)3-13=3(12+22+?+n2)+3(1+2 + ? + n) + n , 所 以 12 + 22 + 32 + ? + n2 = n?n+1??2n+1? . 6 n?n+1??2n+1? 答案: 6

3.正方形ABCD的边长是a,依次连结正 方形ABCD各边中点得到一个新的 正方形,再依次连结新正方形各边

中点又得到一个新的正方形,依此
得到一系列的正方形,如图所示.现有一只小虫从A点 出发,沿正方形的边逆时针方向爬行,每遇到新正方形 的顶点时,沿这个正方形的边逆时针方向爬行,如此下 去,爬行了10条线段.则这10条线段的长度的平方和

是________.

解析:由题可知,这只小虫爬行的第一段长度的平方为
2

1 2 a1=? a?
?2 ?

?

?

? 2 ? 1 2 1 2 = a ,第二段长度的平方为 a2=? a?2= a2,?,从而可知, ? 4 ? 4 8 ? ?

小虫爬行的线段长度的平方可以构成以

1 2 1 2 a1= a 为首项, 为公比 4 2

?1? ? 1 2? ?1-? ?10? a 4 ? ?2? ? 1 023 2 的等比数列, 所以数列的前 10 项和为 S10= = a. 1 2 048 1- 2

1 023 2 答案: a 2 048

4.已知:在梯形ABCD中,如图,AB= DC=DA,AC和BD是梯形的对角线. 求证:AC平分∠BCD,DB平分∠CBA.
解:∵等腰三角形两底角相等,(大前提) △ADC是等腰三角形,∠1和∠2是两个底角,(小前提) ∴∠1=∠2.(结论) ∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等,(大前提) ∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截得的内错角,(小前提) ∴∠1=∠3.(结论) ∵等于同一个角的两个角相等,(大前提) ∠2=∠1,∠3=∠1,(小前提) ∴∠2=∠3,即AC平分∠BCD.(结论) 同理可证DB平分∠CBA.

[备考方向要明了]
考 什 么 怎么考

1.了解直接证明的两种基 本方法——分析法和综

1.用综合法、反证法证明问题

是高考的热点,题型多为解
答题.

合法;了解分析法和综

合法的思考过程、特点. 2.主要以不等式、立体几何、 解析几何、函数与方程、数 2.了解间接证明的一种基

本方法——反证法,了
解反证法的思考过程、 特点.

列等知识为载体考查,题目 具有一定的综合性,属于高 档题,如2012高考T16.

[归纳 知识整合]
1.直接证明 (1)综合法 ①定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理 等,经过一系列的 推理论证 ,最后推导出所要证明的 结论 成立 ,这种证明方法叫做综合法.
②框图表示: 已知条件 ????? 结论

(2)分析法

①定义:从要证明的 结论 出发,逐步寻求使它成立 的 充分条件 ,直至最后,把要证明的结论归结为判定一
个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止, 这种证明方法叫做分析法.
②框图表示: 结论 ????? 已知条件

[探究]

1.综合法与分析法有什么联系与差异?

提示:综合法与分析法是直接证明的两种基本方法, 综合法的特点是从已知看可知,逐步推出未知.在使用综

合法证明时,易出现的错误是因果关系不明确,逻辑表达
混乱.分析法是从未知看需知,逐步靠拢已知.当命题的 条件与结论之间的联系不够明显、直接,证明中需要用哪 些知识不太明确具体时,往往采用从结论出发,结合已知 条件,逐步反推,寻求使当前命题成立的充分条件,把证

明转化为判定这些条件是否具备的问题.

2.间接证明

反证法:假设原命题 不成立 ,经过正确的推理,最
后得出 矛盾 ,因此说明假设错误,从而证明了原命题成 立,这样的证明方法叫做反证法. [探究] 2.在什么情况下可考虑利用反证法证明问题?

提示:反证法是间接证明的一种方法,它适用于以下

两种情形:(1)要证的结论与条件之间的联系不明显,直接
由条件推出结论的线索不够清晰;(2)若从正面证明,需要

分成多种情形进行讨论,而从反面证明,只需研究一种或
很少的几种情形.

[自测

牛刀小试]

1.下列表述:①综合法是由因导果法;②综合法是顺推 法;③分析法是执果索因法;④分析法是逆推法;⑤ 反证法是间接证法.其中正确的有_______(填序号) 解析:由综合法、分析法和反证法的推理过程可知,

①②③④⑤都正确.
答案:①②③④⑤

2.(教材习题改编)要证明 3+ 7<2 5,可选择的方法有以 下几种,其中最合理的是__________(填序号) ①综合法;②分析法;③反证法;④归纳法.

解析:要证明 3+ 7<2 5成立,可采用分析法对不等 式两边平方后再证明.

答案:②

3.用反证法证明“如果 a>b,那么 a> b”假设内容应 是__________.

3

3

解析:假设结论不成立,即 a> b的否定为 a≤

3

3

3

3

b.

答案: a≤ b

3

3

4.在不等边三角形中,a为最大边,要想得到∠A为钝
角的结论,三边a,b,c应满足________.

b2+c2-a2 解析:由余弦定理cos A= 2bc <0,所以b2+c2- a2<0,即a2>b2+c2.
答案:a2>b2+c2

5.下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0;b>0;④a<0;b<0. b a 其中能使a+b≥2 成立的条件的个数是________. b a b a 解析:要使a+b≥2,只要a>0 且b>0,即 a,b 不为 0 且 同号即可,故有 3 个.

答案:3

综合法的应用
[例1] a2 b2 c2 设a、b、c>0,证明 b + c + a ≥a+b+c.

[自主解答]

∵a、b、c>0,根据基本不等式,

a2 b2 c2 有 b +b≥2a, c +c≥2b, a +a≥2c. a2 b2 c2 三式相加: b + c + a +a+b+c≥2(a+b+c), a2 b2 c2 即 b + c + a ≥a+b+c.

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利用综合法证明问题的步骤

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1 2 保持本例条件不变 ,试证明a +b +c ≥ 3 (a +b2+
3 3 3

c2)· (a+b+c).

证明:∵a、b、c>0,∴a2+b2≥2ab,
∴(a2+b2)(a+b)≥2ab(a+b), ∴a3+b3+a2b+ab2≥2ab(a+b)=2a2b+2ab2, ∴a3+b3≥a2b+ab2. 同理,b3+c3≥b2c+bc2,a3+c3≥a2c+ac2, 将三式相加得,

2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2. ∴3(a3+b3+c3)≥(a3+a2b+a2c)+(b3+b2a+b2c)+ (c3+c2a+c2b)=(a2+b2+c2)(a+b+c). 1 2 ∴a +b +c ≥3(a +b2+c2)(a+b+c).
3 3 3

1 1.已知x+y+z=1,求证:x +y +z ≥3.
2 2 2

证明:∵x2+y2≥2xy,x2+z2≥2xz,y2+z2≥2yz, ∴2x2+2y2+2z2≥2xy+2xz+2yz. ∴3x2+3y2+3z2≥x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz. ∴3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2=1. 1 ∴x +y +z ≥3.
2 2 2

分析法的应用
[例 2] 已知函数 f(x)=tan
? π? x,x∈?0,2 ?,若 x1,x2 ? ?

? π? ∈?0,2 ?,且 x1≠x2, ? ?

?x1+x2? 1 ? ? 求证: [f(x1)+f(x2)]>f? ?. 2 ? 2 ? ?x1+x2? 1 ? [自主解答] 要证2[f(x1)+f(x2)]>f? ? 2 ?, ? ?

x1+x2 1 即证明2(tan x1+tan x2)>tan 2 , x1+x2 1? sin x1 sin x2 ? 只需证明2?cos x +cos x ?>tan 2 , ? 1 2?

sin?x1+x2? sin?x1+x2? 只需证明 > . 2cosx1cosx2 1+cos?x1+x2? 由于
? π? ?0, ?, x1、x2∈ 2? ?

故 x1+x2∈(0,π). 故 cos x1cos x2>0,sin(x1+x2)>0, 1+cos(x1+x2)>0, 故只需证明 1+cos(x1+x2)>2cos x1cos x2, 即证 1+cos x1cos x2-sin x1sin x2>2cos x1cos x2, 即证 cos(x1-x2)<1.
? π? 这由 x1、x2∈?0,2 ?,x1≠x2 知上式是显然成立的. ? ? ?x1+x2? 1 ?. 因此, [f(x1)+f(x2)]>f? 2 ? 2 ?

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———————————— 分析法的适用条件

当所证命题不知从何入手时,有时可以运用分析

法得到解决,特别是对于条件简单而结论复杂的题目,
往往行之有效,对含有根式的证明问题要注意分析法的 使用.

2.△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 1 1 3 求证: + = . a+b b+c a+b+c

1 1 3 解析:要证 + = , a+b b+c a+b+c a+b+c a+b+c c a 即证 + =3 也就是 + =1, a+b b+c a+b b+c 只需证 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 需证 c2+a2=ac+b2,

又△ABC 三内角 A,B,C 成等差数列,故 B=60° , 由余弦定理,得 b2=c2+a2-2accos 60° ,即 b2=c2+a2-ac, 故 c2+a2=ac+b2 成立. 于是原等式成立.

反证法的应用 [例3] 项和. (1)求证:数列{Sn}不是等比数列; 设{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n

(2)数列{Sn}是等差数列吗?为什么?
[自主解答] (1)证明:若{Sn}是等比数列,则S= S1·3,即a(1+q)2=a1·1(1+q+q2), S a

∵a1≠0,∴(1+q)2=1+q+q2,解得q=0,这与q≠0
相矛盾, 故数列{Sn}不是等比数列.

(2)当q=1时,{Sn}是等差数列. 当q≠1时,{Sn}不是等差数列.假设q≠1时,S1,S2, S3成等差数列,即2S2=S1+S3,

2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2).
由于a1≠0,∴2(1+q)=2+q+q2,即q=q2, ∵q≠1,∴q=0,这与q≠0相矛盾. 综上可知,当q=1时,{Sn}是等差数列;当q≠1时, {Sn}不是等差数列.

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1.反证法证明问题的步骤 (1)反设——假设命题的结论不成立,即假定原结 论的反而为真;

(2)归谬——从反设和已知条件出发,经过一系列
正确的逻辑推理,得出矛盾结果; (3)存真——由矛盾结果,断定反设不真,从而肯 定原结论成立.
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2.反证法的解题原则 反证法的原理是“正难则反”,即如果正面证明有困难 时,或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况 时,可以考虑用反证法. 3.反证法中常见词语的否定形式
原词 至多有n个(即x≤n, 否定形式 至少有n+1个(即x>n?x≥n+1,

n∈N*)

n∈N*)

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原词 至多有n个(即x≤n,n∈N*)

至少有n个(即x≥n,n∈N*)
n个都是 至多有1个 至少有1个

特 例

否定形式 至少有n+1个(即x>n?x≥n +1,n∈N*) 至多有n-1个(即x<n?x≤n -1,n∈N*) n个不都是(即至少有1个不是) 至少有2个 至多有0个,即一个也没有

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3.求证:a,b,c为正实数的充要条件是a+b+c>0,且 ab+bc+ca>0和abc>0. 证明:必要性(直接证法): ∵a,b,c为正实数,∴a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0, 因此必要性成立. 充分性(反证法): 假设a,b,c是不全为正的实数,由于abc>0, 则它们只能是两负一正,不妨设a<0,b<0,c>0. 又∵ab+bc+ca>0,∴a(b+c)+bc>0,且bc<0, ∴a(b+c)>0.①

又a<0,∴b+c<0.
而a+b+c>0,∴a+(b+c)>0,∴a>0. 这与a<0的假设相矛盾. 故假设不成立,原结论成立,即a,b,c均为正实数. 另外证明:如果从①处开始,进行如下推理:a+b+c>0, 即a+(b+c)>0. 又a<0,∴b+c>0.

则a(b+c)<0,与①式矛盾,故假设不成立,原结论成立,
即a,b,c均为正实数.

?3个规律——利用综合法、分析法、反证法证题的一般 规律

(1)综合法证题的一般规律
用综合法证明命题时,必须首先找到正确的出发点, 也就是能想到从哪里起步,我们一般的处理方法是广泛地 联想已知条件所具备的各种性质,逐层推进,从而由已知 逐步推出结论.

(2)分析法证题的一般规律 分析法的思路是逆向思维,用分析法证题必须从结论 出发,倒着分析,寻找结论成立的充分条件.应用分析法 证明问题时要严格按分析法的语言表达,下一步是上一步

的充分条件.
(3)反证法证题的一般规律 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立.反证法 的主要依据是逻辑中的排中律,排中律的一般形式是:或 者是A,或者是非A.即在同一讨论过程中,A和非A有且仅 有一个是正确的,不能有第三种情况出现.

?3个注意点——利用反证法证明问题应注意的问题

(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反 面呈现多样性时,必须罗列出各种可能结论,缺少任何一 种可能,反证都是不完全的; (2)反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反

面作为条件,且必须根据这一条件进行推证,否则,仅否
定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法; (3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有 的与假设矛盾,有的与已知事实相矛盾等,推导出的矛盾 必须是明显的.

易误警示——不等式证明中的易误点

[例]

1 (2011· 安徽高考)(1)设x≥1,y≥1,证明x+y+ xy

1 1 ≤x+ y+xy;

(2)设1<a≤b≤c,证明 logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac.

证明:(1)由于 x≥1,y≥1,所以 1 1 1 x+y+xy≤x+y +xy ?? xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2. 将上式中的右式减左式,得 [y+x+(xy)2]-[xy(x+y)+1]=[(xy)2 -1]-[xy· (x+y) -(x+y)]=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1) =(xy-1)(xy-x-y+1)=(xy-1)(x-1)(y-1). 既然 x≥1,y≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0,从而 所要证明的不等式成立.

(2)设 logab=x,logbc=y,由对数的换底公式得 1 1 1 logca=xy,logba=x,logcb= y,logac=xy. 于是,所要证明的不等式即为 1 1 1 x+y+xy≤x+ y+xy, 其中 x=logab≥1,y=logbc≥1. 故由(1)可知所要证明的不等式成立.

[易误辨析]

(1)证明第 (1)题有两处易误点:①不能利用分析法将其正 确转化,从而无法找到证明问题的切入口;②不能灵活运用综

合法将作差后的代数式变形(即分解因式),从而导致无法证明
不等式成立. (2)证明第(2)题时常因忽视条件“1<a≤b≤c”而不能挖掘出其

隐含条件,即x=logab,y=logbc,从而无法证明不等式.
(3)在选择证明方法时,一定要有“综合性选取”的意识,明 确数学证明方法不是孤立的,在实际解题时,常常把分析法和

综合法结合起来运用,先以分析法为主寻求解题思路,再用综
合法表述解答或证明过程.

[变式训练]

设函数f(x)=xn+bx+c(n∈N*,b,c∈R).
(1)设n≥2,b=1,c=-1,证明:f(x)在区间 存在唯一零点;
?1 ? ? ,1? ?2 ?



(2)设n为偶数,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,求b+3c的最小
值和最大值.

解:(1)证明:当b=1,c=-1,n≥2时,f(x)=xn+x-1.
?1? ?1 ?1 ? 1? ∵f?2?f(1)=?2n-2?×1<0,∴f(x)在?2,1?内存在零点. ? ? ? ? ? ? ?1 ? 又当x∈?2,1?时,f′(x)=nxn-1+1>0, ? ? ?1 ? ?1 ? ∴f(x)在 ?2,1? 上是单调递增的.∴f(x)在 ?2,1? 内存在唯一 ? ? ? ?

零点.
?-1≤f?-1?≤1, ? (2)法一:由题意知? ?-1≤f?1?≤1, ? ?0≤b-c≤2, ? 即? ?-2≤b+c≤0. ?

由图象知,b+3c在点(0,-2)处取到最小值-6, 在点(0,0)处取到最大值0, 故b+3c的最小值为-6,最大值为0. 法二:由题意知 -1≤f(1)=1+b+c≤1, 即-2≤b+c≤0,① -1≤f(-1)=1-b+c≤1, 即-2≤-b+c≤0,② ①×2+②得 -6≤2(b+c)+(-b+c)=b+3c≤0, 当 b=0,c=-2 时,b+3c=-6;当 b=c=0 时,b+3c=0, 所以 b+3c 的最小值为-6,最大值为 0.

?f?-1?=1-b+c, ? 法三:由题意知? ?f?1?=1+b+c, ?

f?1?-f?-1? f?1?+f?-1?-2 解得b= ,c= , 2 2 ∴b+3c=2f(1)+f(-1)-3. 又∵-1≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤1,∴-6≤b+3c≤0, 当b=0,c=-2时,b+3c=-6;当b=c=0时,b+3c=0, 所以b+3c的最小值为-6,最大值为0.

a+b b+c 1.若a,b,c是不全相等的正数,求证:lg 2 +lg 2 + c+a lg 2 >lg a+lg b+lg c. a+b b+c c+a 证明:要证lg 2 +lg 2 +lg 2 >lg a+lg b+lg c,
?a+b b+c c+a? ? 只需证lg? b· ? 2 · 2 · 2 ?>lg(a· c), ? ?

a+b b+c c+a 只需证 2 · 2 · 2 >abc.(中间结果)

∵a,b,c 是不全相等的正数, ∴由基本不等式得: a+b b+c c+a ≥ ab>0, ≥ bc>0, ≥ ac>0, 2 2 2 且上三式中由于 a,b,c 不全相等,故等号不同时成立. a+b b+c c+a ∴ · · >a· c.(中间结果) b· 2 2 2 a+b b+c c+a ∴lg +lg +lg >lg a+lg b+lg c. 2 2 2

2.如图,已知BE,CF分别为△ABC的边 AC,AB上的高,G为EF的中点,H为 BC的中点.求证:HG⊥EF.
证明:连接HE,HF,由CF⊥AB,且H是BC的中点, 可知FH是Rt△BCF斜边上的中线, 1 所以HF=2BC. 1 同理可证HE=2BC. 所以HF=HE,从而△EHF为等腰三角形. 又G为EF的中点,所以HG⊥EF.

3.已知a1+a2+a3+a4>100,求证:a1,a2,a3,a4中至少 有一个数大于25. 证明:假设a1,a2,a3,a4均不大于25,即a1≤25, a2≤25,a3≤25,a4≤25,

则a1+a2+a3+a4≤25+25+25+25=100,
这与已知a1+a2+a3+a4>100矛盾,故假设错误. 所以a1,a2,a3,a4中至少有一个数大于25.

4.如图,已知两个正方形ABCD和DCEF不 在同一平面内,M,N分别为AB,DF的 中点. (1)若CD=2,平面ABCD⊥平面DCEF, 求直线MN的长; (2)用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线.
解:(1)如图,取 CD 的中点 G,连接 MG,NG. 因为 ABCD,DCEF 为正方形,且边长为 2, 所以 MG⊥CD,MG=2,NG= 2. 因为平面 ABCD⊥平面 DCEF, 所以 MG⊥平面 DCEF,可得 MG⊥NG. 所以 MN= MG2+NG2= 6.

(2)证明:假设直线ME与BN共面,

则AB?平面MBEN,且平面MBEN与平面DCEF交于EN,
由已知,两正方形不共面,故AB?平面DCEF. 又AB∥CD,所以AB∥平面DCEF,而EN为平面MBEN 与平面DCEF的交线, 所以AB∥EN.又AB∥CD∥EF,

所以EN∥EF,这与EN∩EF=E矛盾.故假设不成立.
所以ME与BN不共面,它们是异面直线.

两类不等式恒成立问题的求解策略
不等式恒成立问题是数学试题中的重要题型,涉及数学中各部分 知识,但主要是函数中的不等式恒成立问题和数列中的不等式恒成立问 解决这类问题的基本方法是相同的,首选方法是利用分离参数转化为求 新函数、新数列的最值问题,如果不能分离参数或者分离参数比较复杂 时,一般选择函数的方法,通常利用函数的最值解决;二是证明不等式 恒成立,在函数中一般选择以算代证,即通过求函数的最值证明不等

题,涉及题型一般有两类:一是已知不等式恒成立,求参数的取值范围,

式.在数列中,很多时候可以与放缩法结合起来,对所证不等式的一侧
进行适当放大或缩小,下面分别举例说明.

一、函数中的不等式恒成立问题 函数是不等式恒成立问题的主要载体,通常通过不等式 恒成立问题考查等价转化思想、函数的最值或值域,对涉及 已知函数在给定区间上恒成立,求参数的取值范围、证明不 等式等问题,大多数题目可以利用分离参数的方法,将问题 转化为求函数的最值或值域问题. [例1] 已知两个函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2 +4x,其中k为实数. (1)若对任意的x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x)成立,求k的取 值范围; (2)若对任意的x1、x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),求k的取 值范围.

[解] (1)令F(x)=g(x)-f(x)=2x3-3x2-12x+k. 问题转化为F(x)≥0在x∈[-3,3]时恒成立,故解 [F(x)]min≥0即可. ∵F′(x)=6x2-6x-12=6(x2-x-2),

故由F′(x)=0,得x=2或x=-1.
∵F(-3)=k-45,F(3)=k-9,F(-1)=k+7,

F(2)=k-20,
∴[F(x)]min=k-45. 由k-45≥0,解得k≥45. 故实数k的取值范围是[45,+∞). (2)由题意可知当x∈[-3,3]时,都有

[f(x)]max≤[g(x)]min.
由f′(x)=16x+16=0,得x=-1. ∵f(-3)=24-k,f(-1)=-8-k,f(3)=120-k,

∴[f(x)]max=-k+120. 2 由 g′(x)=6x +10x+4=0,得 x=-1 或 x=- . 3
2

∵g(-3)=-21,g(3)=111,g(-1)=-1,
? 2? 28 ?- ?=- , g 3 27 ? ?

∴[g(x)]min=-21.则 120-k≤-21,解得 k≥141. ∴实数 k 的取值范围是[141,+∞).

[点评]

将恒成立问题转化为求函数的最值问题来处理,

一般有下面两种类型:
(1)若所给函数能直接求出最值,则有: ①f(x)>0恒成立?[f(x)]min>0;②f(x)≤0恒成立 ?[f(x)]max≤0. (2)若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于

不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出
参数范围,则有(下面的a为参数): ①f(x)<g(a)恒成立?g(a)>[f(x)]max;

②f(x)>g(a)恒成立?g(a)<[f(x)]min.

[例2]

已知函数f(x)=aln x+x2,(a为实常数).

(1)若a=-2,求函数f(x)的单调区间; (2)若对?x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x恒成立,求实数a 的取值范围.

[解]

(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),

2?x2-1? 当 a=-2 时,f(x)=x2-2ln x,所以 f′(x)= x . 2?x2-1? 令 f′(x)= x >0,得 x<-1 或 x>1.且定义域为(0,+ ∞),所以函数 f(x)的单调增区间是(1,+∞). 2?x2-1? 令 f′(x)= x <0,得-1<x<1,且定义域为(0,+∞), 所以函数 f(x)的单调减区间是(0,1).

(2)不等式f(x)≤(a+2)x,可化为a(x-ln x)≥x2-2x. 因为x∈[1,e],所以ln x≤1≤x且等号不能同时取, 所以ln x<x,即x-ln x>0. x2-2x 因而a≥ (x∈[1,e]). x-ln x x2-2x ?x-1??x+2-2ln x? 令g(x)= (x∈[1,e]),又g′(x)= , x-ln x ?x-ln x?2 当x∈[1,e]时,x-1≥0,ln x≤1,x+2-2ln x>0, 从而g′(x)≥0(当且仅当x=1时取等号). 所以g(x)在[1,e]上为增函数. e2-2e 故[g(x)]max=g(e)= . e-1
?e2-2e ? ? ,+∞?. 所以a的取值范围是? ? ? e-1 ?

[点评]

利用不等式与函数和方程之间的联系,将问题

转化成一次函数或二次函数(二次方程)的问题研究,一般有 下面几种类型:

1.一次函数型问题:利用一次函数的图象特点求解. 对于一次函数f(x)=kx+b(k≠0),x∈[m,n],有
?f?m?≥0, ? (1)f(x)≥0恒成立?? ?f?n?≥0. ? ?f?m?<0, ? (2)f(x)<0恒成立?? ?f?n?<0. ?

2.二次函数型问题:结合抛物线的形状考虑对称轴、顶 点、区间端点等,列出相关的不等式,求出参数的解,下面是 两种基本类型: 对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0,x∈R),有:
?a>0, ? (1)f(x)>0对x∈R恒成立?? ?Δ<0, ? ?a<0, ? (2)f(x)<0对x∈R恒成立?? ?Δ<0. ?

二、数列中的不等式恒成立问题

数列是一种特殊的函数,所以解决数列中的不等式
恒成立问题与函数中不等式恒成立问题的解法相同,基 本方法也是利用分离参数转化为求新数列的最值问题, 数列中的最值问题一般是应用数列的单调性求解;而数 列中的不等式恒成立的证明,则很多时候可以与放缩法 联系起来.

[例 3]

数列{an}的前 n 项和为

?Sn? ? ? Sn,? n ?是等差数列,且 ? ? ? ?

S10

=210,S5=55.

(1)求数列的通项公式; 1 1 1 1 (2)设 f(n)= + + +?+S ,求证:对于任意 n∈ S1 S2 S 3 n
1 17 N , ≤f(n)< 恒成立. 3 24
*

[解]

(1)由已知,

S10 S5 =21, =11. 10 5

?Sn? 设? n ?的公差为 ? ?

d,则有

S10 S1 = +(10-1)d=21;① 10 1 S5 S1 = +(5-1)d=11.② 5 1 解①②得 S1=3,d=2. Sn 则 =3+(n-1)× 2=2n+1,即 Sn=n(2n+1). n 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 =n(2n+1)-(n-1)[2(n-1)+1]=4n-1. 当 n=1 时,a1=S1=3,满足上式. 故数列的通项公式是 an=4n-1.

(2)证明:∵n(2n+1)-(n-1)(2n+2)=n+2>0, 1 1 1 ∴当n≥2时,有S = < n?2n+1? ?n-1??2n+2? n 1 ? 1? 1 ? =4?n-1-n+1?, ? ? ? 1? 1 1 1 1 1 1 ?? ∴S +S +S +?+S <3+4×??1-3?+ ?? ? 1 2 3 n ? 1 ?1 1? ?1 1? 1 ?? ? ?? ? - ?+? - ?+?+? - ?? ?2 4? ?3 5? ?n-1 n+1?? 1 1 1 ? 1 3 17 1 1? ? =3+4?1+2-n-n+1?<3+8=24. ? ? ? 1 1 1 1 另一方面,f(n)=S +S +S +?+S , 1 2 3 n

1 1 1 1 1 则f(n+1)=S +S +S +?+S + , Sn+1 1 2 3 n 1 ∴f(n+1)-f(n)= = >0, Sn+1 ?n+1??2n+3? 1 ∴f(n)在数集N 上是增函数,∴f(n)≥f(1)=3.
*

1

1 1 1 1 1 17 综上,得3≤S +S +S +?+S <24. 1 2 3 n 1 17 ∴对于任意n∈N ,3≤f(n)<24恒成立.
*

[点评]

本题是数列中的不等式恒成立问题,一般解法是

直接利用函数知识,由单调性来求函数的值域,只是这时的函数 定义域不是连续区间,这也是数列与函数的区别,另外要熟悉求 数列通项公式的方法,及简单的不等式放缩问题. 总之,无论是函数中的不等式恒成立,还是数列中的不等

式恒成立,求参数的取值范围问题,通性通法都是相同的,即能
分离参数,则先分离参数,将问题转化为求函数的最值;如果不 能分离参数,则直接求函数的最值,这时一般需要分类讨论.对 不等式恒成立的证明,方法灵活多变,要求考生做个有心人,平 时不断积累、归纳.


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