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二面角


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北师大版 高中数学 必修2 第一章《立体几何初步》 第6节《平面与平面垂直的判断》第一课时

二 面 角
说课人:高胜男

一、教材分析

二、学法教法分析
三、教学过程 四、教学评价

一、教材分析——教材地位和作用
从教材体系来看,

二面角及其平 面角的概念是立体几何最重要的 概念之一。二面角的概念发展、 完善了空间角的概念;它是在异 面直线所成的角、直线与平面所 成的角之后,又一个要学习的空 间角,而二面角的本质特征是从 度量的角度,通过二面角的平面 角揭示了平面与平面的位置关系 它为以后从度量角度研究面与面 的垂直、非垂直关系关系奠定了 基础,因此二面角在教材中起到 了一个承上启下的作用。教学大 纲明确要求要让学生掌握二面角 及其平面角的概念和运用。

从教材体系来看

从知识特点而言
就能力培养来看

一、教材分析——教材地位和作用

从教材体系来看

从知识特点而言
就能力培养来看

从知识特点而言,它是 从大量数学问题和现实 问题中抽象出来的一个 模型,在现实生活中有 着广泛的实际应用;

一、教材分析——教材地位和作用

从教材体系来看

从知识特点而言
就能力培养来看

就能力培养来看,二面 角的平面角的形成与发 现过程中所渗透的类比 、化归等思想方法,都 是培养学生空间想象能 力和数学能力的良好载 体.

一、教材分析——学情分析

技能方面
本节课是在线与线、线与 面所成的角的基础上进一 步探讨面与面所成的角, 学生已掌握一定的思维模 式,即空间角要转化为平 面角来研究

情感方面

学生特点
具有强烈求知欲, 喜欢探求真理.

实现空间角向平面角的转化需要有 较强的空间想象能力,学生个体知识 能力存在明显差异。在授课时借助于 多媒体教学的直观性、形象性,做好 二面角的平稳过渡与转化。

一、教材分析——教学目标
1
知识目标

2
能力目标

3
情感与态度目标

(1)使学生正确理 解二面角及其平面 角的概念,并能初 步运用它们解决实 际问题。(2)进一 步培养学生把空间 问题转化为平面问 题的化归思想。

(1)通过二面角 的教学,培养学生 的空间想象能力 (2)通过将研究 二面角的大小转化 为研究其平面角的 大小,培养学生的 转化能力

通过知识的形成探究 过程培养学生细心观 察、认真分析、严谨 论证的良好思维习惯 ;让学生经历从类比 猜想,从感性到理性 的认知过程.

一、教材分析——教学重点、难点
仔细研究新教材发现,现行教材省略了概念的形成过程 和方法的发现过程,这给学生的学习造成了很大的困难。在 教学中,不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以 然”,要充分揭示获取知识和方法的思维过程,参照课程标 准,我把这节课的教学重难点定为:

一、教材分析——教学重点难点
教学重点:二面角和二面角的平面角概念的形成过程。

知识技能线:问 题情境→定义→ 方法运用

抓三线 突重点

能力线:观察能力、 空间想象能力→转化 思想解决问题能力→ 灵活运用能力

过程与方法线:类比猜想到总 结论证 → 感性到理性→转化 思想

一、教材分析——教学重点、难点
教学难点:寻找二面角的平面角的方法及正确作出二面 角的平面角 抓两点,破难点

一抓学生情感和思 维的兴奋点,激发 他们的兴趣,鼓励 学生大胆猜想、积 极探索;

二抓知识选择的切 入点,从学生原有 的认知水平和所需 的知识特点入手, 教师在学生主体下 给予适当的提示和 指导.

二、学法教法分析——学法指导
本课以问题为中心,以解决问题为主线展开,学生主要采用“探究式学习法 ”进行学习.本课学生的学习主要采用下面的模式进行:

问题引入

应用规律

提出问题

探究式学习法

形成规律

分析问题

类比发现

二、学法教法分析——教法分析
采用“启发和探究相结合 ”的教学模式
方法应用

方 法 应 用
总结归纳 总 结 归 纳 探索问题 探 索 问 题 呈现问题 呈 现 问 题

三、教学过程
1

创设情境,揭示概念产生背景

2

师生互动,展现概念形成过程

3

合作探究,从定义到方法深入研究
掌握方法,学以致用

4

5

小结归纳,加深理解

6

课后作业,分层练习

三、教学过程 1.创设情景,揭示概念产生背景
问题情境1、我们是如何定量研究两平行平面的相对位 置的? 问题情境2、立体几何中常用距离和角来定量描述两个 元素之间的相对位置,为什么不引入两平行平面所成的 角? 问题情境3、我们应如何定量研究两个相交平面之间的 相对位置呢?
设计意图:通过这三个问题,打开了学生的原有认知结构,为新知识的 做好准备;同时也让学生领会到,二面角这一概念的产生是因为研究两 相交平面的相对位置的,揭示概念产生背景,也明确新课题研究的必要 性。

三、教学过程 2.师生互动,展现概念形成过程
? 问题1、那么,应该如何定义两相交平面所成的角呢?
设计意图:结合电脑演示,引导学生回忆平面几何中“角”这一概念 的引入过程。
角 引入 二面角 一直线上的一点把这条直线 一平面内的一条直线把这个平 分成两部份,每一部份称为 面分成两部份,每一部份称为 半直线(射线)。 半平面。 从一点出发的两条半直线 从一条直线出发的两个半平面 (射线)所组成的图形。 所组成的图形。 半直线——点——半直线 半平面——直线——半平面 (边) (顶点) (边) (面) (棱) (面) ∠AOB α—a—β或 α—AB—β

定义 构成 表示法

? 问题2、通过类比,同学们能给出二面角的概念吗?
设计意图:引导学生将平面几何中角这一概念的引入过程,通过类比, 迁移到两相交平面所成角——二面角的引入上,从而实现知识方法的 转化,体现了化归思想。

三、教学过程 2.师生互动,展现概念形成过程
? 问题3 、同学们能举出一些二面角的实例吗?
学生口答后,教师出示预先准备好的二面角的模型,要求学生作出 它们的直观图,教师预先在《几何画板》里画好。通过实际运用, 可以促使学生更加深刻地理解概念。

问题4、观察以上几个图形,它们有什么异同?
设计意图:引导学生对图形进行观察、分析、比较,发现各二面角的 “倾斜程度”即大小不一样。在教学中,诱发学生的直觉思维是培养 学生创新思维的重要途径。

三、教学过程 2.师生互动,展现概念形成过程
? 问题5、能把它们的大小度量出来吗?
这样就从度量二面角大小的需要上揭示了二面角的平面角概念产生 的背景。

问题6、我们以前碰到过类似的问题吗? 问题7、两定义的共同点是什么?
引导学生回忆前面所学过的两种空间角的定义。

三、教学过程 3.合作探究,从定义到方法深入研究
问题1、这个平面的角的顶点及两边是如何确定的?
学生分组研究 (展开讨论) 类比猜想 (教师点拨) 学生尝试 (学生讨论)

理论证明 (学生讨论)

二面角的平面角 的定义

二面角的平面角 (教师点拨)

设计意图:经过师生共同研讨,学生不仅学会了二面角的平面角的 定义,而且懂得了为什么要这样定义。其意义不仅在于掌握定义是 如何描述的,更重要的是让学生体会概念的形成过程

三、教学过程 3.合作探究——从定义到方法深入研究
问题2、刚才在定义二面角的平面角时,先确定棱上一点O,再作
其平面角。若已知的点不在棱上,能否作出该二面角的平面角? 如图(1),点O在二面角α—a—β的一个面α内,过O如何作该 二面角的平面角呢? 根据定义容易作出该二面角的平面角,除此以外,有没有其他 方法呢?
α O O β β

α

设计意图:让学生充分酝酿,议论和画图,通过探索找角的多种方法 来训练学生的发散思维。教师可视课堂的情况作必要的引导:不直接 作AB⊥a可以吗?

三、教学过程

3.合作探究——从定义到方法深入研究 ? 研究结果:找二面角的平面角有两种方法,方法一是根
据定义,其优点是思路简单明了,缺点是角找出后,不 易计算;方法二是根据三垂线定理或其逆定理,找角的 关键是找到(或作出)平面的垂线,由于构造了一个直 角三角形,因此角一旦找到,计算相对来说比较简单。
? 设计意图:这样就从深入研究概念入手,引导学生通过知识创新的方 法,得到二面角的平面角的两种常用作法,由于学生亲身参与了方法 的发现过程,因而印象深刻,为下阶段的解题作好准备.

三、教学过程

4.掌握方法,学以致用 ? 为巩固学生所学知识,重新设置了两道例题。两 道例题都来源于实际生活,不但培养了学生分析 问题和解决问题的能力,也让学生领会到数学概 念来自生活实际,并服务于生活实际,从而增强 他们应用数学的意识。两道例题由浅入深,由易 到难,既体现了教学的巩固性原则,又兼顾了因 材施教的原则。

三、教学过程

4.掌握方法,学以致用
? 例一、一张边长为10厘米的正三角形纸片BC,以它 的高AD为折痕,折成一个1200二面角,求此时B、C A 两点间的距离。
引导学生充分利用已知图形的性质,最后 发现可由定义找出该二面角的平面角。
D B

C

变式训练:图中共有几个二面角?能求出它们的大小吗?

三、教学过程

4.掌握方法,学以致用
例二、山坡的倾斜度(坡面与水平面所成二面角的度数) 是600,山坡上有一条直道CD,它和坡脚的水平线AB的夹 角是300,沿这条路上山,行走100米后升高了多少米?
本例题对学生有一定的难度,应留足够的时间 让学生自主探索和动手操作,让学生充分思考, 给学生试误的机会,充分暴露其思维过程。教 师不必急于讲解,最后再给予适当的提示,引 导他们利用三垂线定理及其逆定理作出该二面 角的平面角。

解题反思:求二面角的平面角的方法法是: 先找(或作)——后证——再解(三角形)。

三、教学过程 5.小结归纳,加深理解

(1) 在学习完二面角及其平面角的概念后,要求学生对空间中三 种角加以比较、归纳,以促成学生建立起空间中角这一概念系统。 (2)同时要求学生对本节课的学习方法进行总结

设计意图:通过师生的共同小结,发挥学生的主体作用,有利于学生 巩固所学知识,也能培养学生的归纳和概括能力。进一步完成认知目 标和素质目标。

三、教学过程 6.课后作业,分层练习 ? 必做题:课本(45页):练习 1、2、3 ? 课外思考题:点O为二面角α—a—β内部一点,过O 如何作该二面角的平面角呢?
设计意图:必做题是课本习题,通过它来反馈知识掌握效果,巩固所学 知识,强化基本技能的训练,培养学生良好的学习习惯和品质;课外思 考题是为了给学有余力的学生留出自由发展的空间,符合因材施教的新 课标的思想。

三、教学过程

板书设计

引例: 二面角

二 面 角 例题1:

例题2: 二面角的平面角

归纳小结: 1. 2. 3.

四、教学评价

我的理解是,评价不等于考试,不等于提问,不等于小测。评价应 该是学生的学和教师的教的一面镜子。所以,我在本课的教学中,立足 于进行如下评价:在教学过程当中,随着情景的发展,我来评价学生的 情绪、状态;评价他们的积极性、自信心;评价他们的合作交流的意识 ;评价他们的独立思考的习惯。在与学生的交流和学生与学生之间的互 动的过程中,我评价学生的数学思维发展水平,在解决问题和练习作业 中,评价学生基础知识和基本技能的理解,掌握。在评价过程中,我还 恰当的采用激励和批评的手段,因为我知道,激励和批评是学生兴趣的 生长剂,是学生积极性的催化剂。通过这样的评价,我可以全面的考查 学生的学习状态,可以激励学生的学习热情,可以促进学生的全面发展 ,通过这样的评价,我可以得到相应的反思,可以让我改进教学。

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