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【金版新学案】2014高中数学 2.1.2.1 第1课时 指数函数的图象及性质课件 新人教A版必修1


2.1.2 指数函数及其性质
第1课时 指数函数的图象及性质

1.理解指数函数的概念和 意义,能借助计算器或计 算机画出指数函数图象. 2.初步掌握指数函数的有 关性质.

1.指数函数的概念及 指数函数的图象及特 征.(重点) 2.求指数函数的定义 域及值域.(难点)

对于幂an, (1)当a>

0且a≠1时,使an有意义的n的范围是 n∈R; 1 1 (2)当a=1时,an=__; 2 (3)当a<0时,n并不能取任意实数,如n=___, 1 __时an没有意义; 4

零或负数 (4)当a=0时,n取__________没有意义. 如果y=f(x)在D上是增函数,则对任意x1, x2∈D且x1<x2,有f(x1)<(填“>”、“<”或 上升 “=”)f(x2),y=f(x)的图象从左至右逐渐____ (填“上升”或“下降”).

1.指数函数的概念 函数y=ax(a>0,且a≠1,x∈R)叫做指数函数, 其中x为自变量. 2.指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1

图象

定义域 值域 过定点

R (0,+∞) __________ (0,1) 0 1 过点_____即x=__时,y=__

性 y>1 0<y<1 函数值的 当x>0时,____; 当x<0时,_____ 质 y>1 0<y<1 变化 当x>0时,_____; 当x<0时,____ 增函数 单调性 是R上的_______ 减函数 是R上的______

1.下列函数是指数函数的是( ) A.y=-2x B.y=2x+1 C.y=2-x D.y=(-2)x ?1? -x 解析: y=2 =?2?x,符合指数函数的定义, ? ? ? ? 故选 C. 答案: C

2.函数 y= ax-1的定义域是(-∞,0],则 a 的取值范围是( ) A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(0,1) D.(-∞,1)∪(1,+∞)
解析: 此函数的定义域即为ax-1≥0的解集, 由已知其定义域为(-∞,0],故0<a<1. 答案: C

3.当x∈[-1,1]时,y=3x-2的值域是 ________.
?1 ? ? ? x 解析: 当 x∈[-1,1]时,y=3 ∈?3,3?, ? ? ? ? 5 ∴y=3x-2∈?-3,1?. ? ? ? ?

答案:

? ? 5 ? ? ?- ,1? 3 ? ?

4.已知指数函数f(x)的图象过点(2,4),求f(-3) 的值.

解析: 设指数函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1), 由题意得 a2=4,∴a=2, ∴f(x)=2x, 1 -3 ∴f(-3)=2 = . 8

指数函数的概念 函数 y=(a2-3a+3)ax 是指数函数,求 a 的值.
按照指数函数的形式特点,列出参数a满足的 条件进行求解.

[解题过程] 由 y=(a2-3a+3)ax 是指数函数, 可得 ?a2-3a+3=1 ? , ?a>0且a≠1
?a=1或a=2 解得? ,即 a=2. ?a>0且a≠1

[题后感悟] 判断一个函数是否为指数函数只 需判定其解析式是否符合y=ax(a>0,且a≠1)这 一结构形式,其具备的特点为:

1.下列函数中,哪些是指数函数? ①y=(-8)x;②y=2x2-1;③y=ax; ? ? 1 x? ④y=(2a-1) ?a>2,且a≠1?;⑤y=2·x. 3 ? ? ? 解析: ④为指数函数. ①中底数-8<0,∴不是指数函数. ②中指数不是自变量x,而是x的函数, ∴不是指数函数; ③中底数a,只有规定a>0且a≠1时,才是指数 函数; ⑤中3x前的系数是2,而不是1,∴不是指数函 数.

指数函数的图象 x-3 函数 y=a +3(a>0,且 a≠1)恒过定点 ________.
利用指数函数y=ax(a>0且a≠1)恒过定点(0, 1)的性质求解.

[解题过程] 原函数可变形为y-3=ax-3(a>0, 且a≠1), 将y-3看做x-3的指数函数, ∵x-3=0时,y-3=1,即x=3,y=4. ∴y=ax-3+3(a>0,且a≠1)恒过定点(3,4). 答案: (3,4)

[题后感悟] 求指数型函数图象所过的定 点,只要令指数为0,求出对应的x与y的 值,即为函数图象所过的定点.

2.函数 y=a2x+b+1(a>0,且 a≠1, b∈R)的图象恒过定点(1,2),求 b 的值.
解析: ∵函数 y=a +1 的图象恒过定点(1,2), ?2×1+b=0 ∴? 0 ,即 b=-2. ?a +1=2
2x+b

如图是指数函数①y=ax(a>0,且 a≠1), ②y=bx(b>0, b≠1), 且 ③y=cx(c>0, c≠1), 且 ④y=dx(d>0,且 d≠1)的图象,则 a,b,c,d 与 1 的大小关系为( ) A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c

解答本题根据指数函数的底数与图象间的关 系容易判断.

[解题过程] 方法一:在①② 中底数小于1且大于零,在y 轴右边,底数越小,图象向 下越靠近x轴,故有b<a,在 ③④中底数大于1,在y轴右 边,底数越大图象向上越靠 近y轴,故有d<c.故选B. 方法二:设直线x=1与①、②、③、④的图象 分别交于点A,B,C,D,则其坐标依次为(1, a),(1,b),(1,c),(1,d),由图象观察可得 c>d>1>a>b.故选B. 答案: B

[题后感悟] 指数函数的图象随底数变化的规 律可归纳为:(1)无论指数函数的底数a如何变 化,指数函数y=ax的图象与直线x=1相交于点 (1,a),由图象可知:在y轴右侧,图象从下到 上相应的底数由小变大.(2)指数函数的底数与 图象间的关系可概括记忆为:在第一象限内, 底数自下而上依次增大.

3.如图所示是指数函数的图象,已 4 3 1 知 a 的值取 2, , , , 则相应曲线 C1, 2, C 3 10 5 C3,C4 的 a 依次为( ) 4 1 3 4 3 1 A. , 2, , B. 2, , , 3 5 10 3 10 5 3 1 4 1 3 4 C. , , 2, D. , , , 2 10 5 3 5 10 3
解析: 按规律,C1,C2,C3,C4的底数a依 次增大,故选D. 答案: D

指数函数单调性的应用 比较下列各组数的大小 -π -3 -0.3 -0.3 (1)1.8 与 1.8 ;(2)1.7 与 1.9 ; ?4?1 ? 2?3 ?3?1 (3)0.80.6 与 0.60.8;(4)?3? ,?-3? ,?4? . ? ? ? ? ? ? ? ?3 ? ? ? ?2

[规范作答] (1)构造函数 f(x)=1.8x ,∵a= 1.8>1,3 分 ∴f(x)=1.8x 在 R 上是增函数.∵-π<-3,∴ 1.8-π<1.8-3. - 1.7 0.3 ?1.7? - 0.3 ?1.7? 0 ? ? ? ? (2)方法一:∵ -0.3= ?1.9? > ?1.9? =1(∵y= 1.9 ? ? ? ? ?1.7? -0.3 -0.3 ? ?x ? 1.9? 在 R 上是减函数),又∵1.7 与 1.9 都 ? ? 大于 0. ∴1.7-0.3>1.9-0.3.

方法二: 在同一坐标系中作出 y=1.7x 与 y=1.9x 的图象,如图所示,再作直线 x=-0.3,与两 图象分别交于 A、 点, AB 分别作 y 轴的垂 B 过 线,垂足对应点分别为 1.7-0.3,1.9-0.3,由图象知 1.7-0.3>1.9-0.3.6 分

(3)取中间值 0.8 , ∵y=0.8 在 R 上单调递减, 而 0.6<0.8,∴0.80.6>0.80.8. 0.80.8 ?0.8?0.8 ?0.8?0 ? ? ? ? 又∵ 0.8=?0.6? >?0.6? =1, 0.6 ? ? ? ? 且 0.60.8>0, ∴0.80.8>0.60.8.∴0.80.6>0.60.8.9 分 ? ?4?1 ?4? ?3?1 ?3? 2?3 ? ? ? ? ? ?0 - ? <0,? ? >? ? =1,? ? <? ?0=1, (4)∵? 3 ? ? 3?3 ?3? 4?2 ?4? ? ? ? ? ? ? ? 2?3 ?3?1 ?4?1 ∴?-3? <?4? <?3? .12 分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ?3

0.8

x

[题后感悟] 比较幂的大小的常用方法: (1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小 比较,可以利用指数函数的单调性来判断. (2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小 比较,可以利用指数函数图象的变化规律来 判断.(3)对于底数不同,且指数也不同的幂 的大小比较,则应通过中间值来比较.

4.比较下列各组数的大小: ?5? 5 1 ? ?-0.24 (1)?6? 与( )- ; 6 4 ? ? 1 -π (2)( ) 与 1; π 5 1 -2 (3)(0.8) 与( )- . 4 2

?5? 解析: (1)考察函数 y=?6?x. ? ? ? ? ?5? 5 ∵0< <1, ∴函数 y=?6?x 在(-∞, +∞)上是减 ? ? 6 ? ?

函数.
?5? ? ? 1 1 ? ?-0.24 ?5? 又-0.24>- ,∴?6? <?6?- . 4 4 ? ? ? ? ?1 ? 1 ? ?x (2)考察函数 y=?π? .∵0< <1, π ? ? ?1 ? ? ?x ∴函数 y=?π? 在(-∞,+∞)上是减函数. ? ? ?1 ? ? ? ? ?-π ?1 ?0 又-π<0,∴?π? >?π? =1. ? ? ? ?

(3)先考察函数 y=0.8x. ∵0<0.8<1, ∴函数 y=0.8x 在(-∞,+∞)上是减函数. 又-2<0,∴0.8-2>0.80=1. ?5? 再考察函数 y=?4?x. ? ? ? ? ?5? 5 ∵ >1,∴函数 y=?4?x 在(-∞,+∞)上是增函 ? ? 4 ? ? 数. ?5? 1 1 ?5?0 ? ? 又- <0,∴?4?- <?4? =1. 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 -2 ?5 ? 综上可知 0.8 >?4?- . 2 ? ?

5.已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,则a、b、 c的大小关系是( ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 解析: 1.20.8>1.20=1, 0.80.9<0.80.7<0.80=1 ∴b<a<c,故选D. 答案: D

1.指数函数图象及性质

(1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相 对位置与底数大小的关系如图所示,则 0<c<d<1<a<b. 在 y 轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变 小; 在 y 轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变 小; 即无论在 y 轴的左侧还是右侧,底数按逆时针 方向变大. ?1? ? ?x x (2)指数函数 y=a 与 y=?a? (a>0 且 a≠1)的图 ? ? 象关于 y 轴对称.

[注意] 当指数函数底数大于1时,图象上升, 且底数越大时图象向上越靠近于y轴;当底数大 于0小于1时,图象下降,底数越小,图象向右 越靠近于x轴.

2.指数函数图象和性质的巧记 (1)指数函数图象的巧记方法:一定二近三单调, 两类单调正相反. (2)指数函数性质的巧记方法:非奇非偶是单调, 性质不同因为a,分清是(0,1),还是(1,+∞),依 靠图象记性质.

◎求函数

?1? ?1? ? ?x ? ?x y=?4? +?2? +1 ? ? ? ?

的值域.

【错解】 令

?1? t=?2?x,则原函数可化为 ? ? ? ?

y=t2+

? 1?2 3 3 ? t+1=?t+2? + ≥ ,当 ? 4 4 ? ?

1 3 t=- 时,ymin= ,即 2 4

3 函数的值域是[ ,+∞). 4

【错因】 原函数的自变量 x 的取值范围是 R, ?1? ? ?x 换元后 t=?2? >0,而不是 t∈R,错解中,把 t ? ? 的取值范围错当成了 R. ?1? ? ?x 【正解】 令 t=?2? ,t∈(0,+∞), ? ? ? 1?2 3 ? 2 则原函数可化为 y=t +t+1=?t+2? + . ? 4 ? ? ? 1?2 3 ? ? 因为函数 y=?t+2? + 在(0, +∞)上是增函数, 4 ? ? ? 1 ?2 3 ? 所以 y>?0+2? + =1,即原函数的值域是(1, ? 4 ? ? +∞).


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