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高一数学分段函数1


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第九课时 分段函数
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?分段函数定义 ? 分段函数 ?分段函数定义域值域 ?分段函数图象 ?

学习要求
1、了解分数函数的定义; 2、学会求分段函数定义域、值域; 3、学会运用函数图象来研究分段函数; 自学评价: 1、分段函数的定义 在函数定义域内,对于自变量 x 的不同取值范围,有着不同的对应法则,这样的 函数叫做分段函数; 2、分段函数定义域,值域; 分段函数定义域各段定义域的并集, 其值域是各段值域的并集(填 “并” “交” 或 ) 3、分段函数图象 画分段函数的图象,应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象;
【精典范例】 精典范例】

一、含有绝对值的解析式
例 1、已知函数 y=|x-1|+|x+2| (1)作出函数的图象。 (2)写出函数的定义域和值域。 : 【 解】

(1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号,第一个绝对值的分段点 x=1,第二个 绝对值的分段点 x=-2,这样数轴被分为三部分:(-∞,-2],(-2,1],(1,+ ∞) 所以已知函数可写为分段函数形式:

?? 2 x ? 1( x ≤ ?2) ? y=|x-1|+|x+2|= ?3(?2 < x ≤ 1) ?2 x + 1( x > 1) ?
在相应的 x 取值范围内,分别作出相应函数的图象,即为所求函数的图象。 (图
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象略) (2)根据函数的图象可知:函数的定义域为 R,值域为[3,+∞)

二、实际生活中函数解析式问题
例 2、某同学从甲地以每小时 6 千米的速度步行 2 小时到达乙地,在乙地耽搁 1 小时后,又以每小时 4 千米的速度步行返回甲地。写出该同学在上述过程中,离 甲地的距离 S(千米)和时间 t(小时)的函数关系式,并作出函数图象。 : 【 解】 先考虑由甲地到乙地的过程: y=6t 0≤t≤2 时, 再考虑在乙地耽搁的情况: 2<t≤3 时, y=12 最后考虑由乙地返回甲地的过程: y=12-4(t-3) 3<t≤6 时,

?6t (0 ≤ t ≤ 2) ? 所以 S(t)= ?12(2 < t ≤ 3) ?? 4t + 24(3 < t ≤ 6) ?
函数图象(略)

点评:某些实际问题的函数解析式常用分段函数表示,须针对自变量的分段变化 点评 情况,列出各段不同的解析式,再依据自变量的不同取值范围,分段画出函数的 图象.

三、二次函数在区间上的最值问题
例 3、已知函数 f(x)=2x2-2ax+3 在区间[-1,1]上有最小值,记作 g(a). (1)求 g(a)的函数表达式 (2)求 g(a)的最大值。 【 解】 : a a a a 对称轴 x= 分 < ?1; ∈ [?1,1]; > 1讨论 2 2 2 2 ?2a + 5(a < ?2) ? ? a2 得 g(a) ?3 ? (?2 ≤ a ≤ 2) 2 ? ?? 2a + 5(a > 2) ? 利用分段函数图象易得:g(a)max=3
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点评:二次函数在闭区间上的最值问题往往结合图象讨论。 点评

追踪训练
? x 2 + 2, ( x ≤ 2) 1、 设函数 f(x)= ? 则 f(-4)=___________,若 f(x0)=8, x0=________ 则 2 x, ( x > 2) ?

答案:18; ? 6 或 4。
? x 2 ( x > 0) ? 2、已知函数 f(x)= ?1( x = 0) ?0( x < 0) ?

求 f(1),f[f(-3)],f{f[f(-3)]}的值. 答案:1;1;1。

3、出下列函数图象 y=┃x+2┃-┃x-5┃

解:原函数变为

?? 7, x ∈ (?∞,? 2] ? y= ?2 x ? 3, x ∈ (?2,5) ?7, x ∈ [5,+∞) ?

下面根据分段函数来画出图象 图象(略) 。

? f (0) = 1 ? 4、已知函数 y= ? f (1) = 3 ,则 f(4)=_______. ? f (n + 1) = f (n) + nf (n ? 1) ?

答案:22。

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5、已知函数 f(x)= x 2 ? 2 x + 1 +

| x +1| x +1

(1)求函数定义域; (2)化简解析式用分段函数表示; (3)作出函数图象

答案: 1)函数定义域为{x┃x ≠ ?1, x ∈ R } (
(2) f(x)=┃x-1┃+ | x +1| x +1

? ? x , x < ?1 ? = ?2 ? x,?1 < x < 1 ? x, x ≥ 1 ?
(3) 图象(略) 。

分层练习

?| x ? 1 | ?2, | x |≤ 1 1 ? 1、设 f(x)= ? 1 ,则 f[f( )]=( 2 ?1 + x 2 ,| x |> 1 ?
A.

)

1 2

B.

4 13

C. -

9 5

D.

25 41
)

2、若 f(x)= ? A. -x

? x 2 ( x ≥ 0) ? x( x p 0)

? ( x) = ?
2

? x( x ≥ 0)
2 ?? x ( x < 0)

,则当 x<0 时,f[ ? (x)]=( D.x2

B. -x

C.x

? x + 2( x ≤ ?1) ? 3、已知,若 f(x)= ? x 2 ( ?1 < x < 2)则x的取值范围是 ______ . ? 2 x ( x ≥ 2) ?
4、下列各组函数表示同一函数的是( ①f(x)=|x|,g(x)= ? )

? x ( x ≥ 0) ? ? x ( x < 0)

x2 ? 4 ②f(x)= ,g(x)=x+2 x?2
③f(x)= x ,g(x)=x+2
2

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④f(x)= 1 ? x +
2

x 2 ? 1 g(x)=0 x∈{-1,1}

A.①③ B.① C.②④ D.①④ 2 5、某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式为 y=3000+20x-0.1x ,x∈(0, 240),若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本的最低产量为( ) A.100 台 B.120 台 C.150 台 D.180 台 6、f(x)= ?

1 ?1,x ∈ [0, ] ,使等式 f[f(x)]=1 成立的 x 值的范围是_________. 1 ? x ? 3, x ? [0, ]

7、若方程 2|x-1|-kx=0 有且只有一个正根,则实数 k 的取值范围是__________.

拓展延伸 8 、 某 商 品 在 近 30 天 内 每 件 的 销 售 价 格 P( 元 ) 与 时 间 t( 天 ) 的 函 数 关 系 式 为 P= ?

?t + 20(0 < t < 25, t ∈ N *) ,该商品的日销售量 Q(件)与时间 t(天)的函数关系式为 ?? t + 100(25 ≤ t ≤ 30, t ∈ N *)

Q=-t+40,(0<t≤30,t∈N*).求这种商品的日销售金额的最大值,并指出取得该最大值的 一天是 30 天中的哪一天?

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