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3.4.2圆锥曲线的共同特征 课件1


第三章 圆锥曲线与方程

§4.2

圆锥曲线的共同特征

高中数学选修2-1

复习回顾:求曲线方程的基本步骤:
1.建立坐标系,设动点坐标; 2.写出动点满足的等量关系; 3.用坐标表示等量关系;

4.化简方程;
5.证明或检验所得的方程是否符合题意,作答.

y

M d
根据题意,
| MF | 4 ? } , 点M的轨迹是集合P ? {M | d 5
O

H
x

F

由此得

( x ? 4) ? y 25 | ?x| 4
2

l

2

4 ? , 5

将上式两边平方,并化简,得

y M d O F l H x

9 x ? 25 y ? 225,
2 2

x2 y2 ? ?1 , 即 25 9
这是一个椭圆.

回顾:抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线

椭圆也是到定点的距离与它到定直线的距离之比为常数的曲线.

解:设d是点M到直线l的距离,
根据题意, 所求轨迹就是集合

y
H

d

M

O

F l

| MF | 5 P ? {M | ? } , d 4
由此得

x

( x ? 5) 2 ? y 2 5 ? , 4 | 16 ? x | 5

将上式两边平方,并化简得 9x2-16y2=144,

y

H

d

M

x y 即 ? ?1 , 16 9
它是一条双曲线.

2

2

O

F l

x

结论:双曲线也是到定点的距离与它到定直线的距离之比为常数的曲线.

结论: 圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e,

此定值e即为离心率.
当0<e<1时,圆锥曲线是椭圆; 当e=1时,圆锥曲线是抛物线; 当e>1时,圆锥曲线是双曲线.

圆的离心率为e=0

椭圆的离心率为0<e<1,

在力的作用下,圆变为椭圆

椭圆的离心率为0<e<1,并且越来越大

在力的作用下, 椭圆越来越扁

抛物线的离心率为e=1

在力的作用下,椭圆变为抛物线

抛物线的离心率始终为e=1

在力的作用下,抛物线越来越扁

双曲线的离心率为e>1

在力的作用下,抛物线变为双曲线

双曲线的离心率为e>1,并且越来越大

在力的作用下,双曲线越来越扁

圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e 此定值e即为离心率. 当0<e<1时,圆锥曲线是椭圆; 当e=1时,圆锥曲线是抛物线; 当e>1时,圆锥曲线是双曲线.

再见


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