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专题4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(讲)-2015年高考数学一轮复习讲练测(解析版)


〖考纲解读〗 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出 二倍角的正弦 、余弦、 正切公式,了解它们的内在联系.

〖知识梳理〗 一、和角与差角公式 :

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ;
cos(? ? ? ) ? cos? cos ? sin ? sin ? ;

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 tan ? tan ?

【注】变式: tan

? ± tan ? = tan ( ? ± ? )(1 ? tan ? tan ? )

二、二倍角公式:

sin 2? = 2sin ? cos ? .

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? .
tan 2? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ? 1 s i? n2 2 1 ? c o s? 4 co2 s ? 2? 2

三、注意公式的顺用、逆用、 变用。 如:逆用 sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? sin(? ? ? ) 变用 cos ? ?
2

sin ? co ? s?

1 ? cos 2? 2

2 sin ??

1? c o s 2? 2

【注】对于二倍角公式的理解:二倍角公式实际就是由两角和公式中令 β=α 得到的.特别地,对于余弦: cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,这三个公式各有用处,同等重要,特别是逆用即为“降幂公 式”,在考题中常有体现. 四、合一变形

把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的 y ? A sin( ?x ? ? ) ? B 形式。

? sin ? ? ? cos ? ? ?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?
五、方法总结 三角恒等变换方法 观察(角、名、式)→三变(变角、变名、变式)

? . ?

(1) “变角”主要指把未知的角向已知的角转化,是变换的主线,如 α=(α+β)-β=(α-β)+β, 2α=(α+β)+ (α-β), α+β α+β β α 2α=(β+α)-(β-α),α+β=2· , =(α- )-( -β)等. 2 2 2 2 (2) “变名”指的是切化弦(正切化成正弦余弦 tan ? ?

sin ? ), cos ?

(3) “变式’指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂,利用和角和差角公式、 合一变形公式展开和合并等。

〖分析考向〗 考向一:利用恒等变换公式进行化简、求值 两角和与差的三角函数公式可看作是诱 导公式的推广,可用α 、β 的三角函数表示α ±β 的三角函数,在 使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的. 【典型例题】求下列各式的值: (1)tan 20° +tan 40° + 3tan 20° tan 40° ; 3 1 (2) 2 - 2 +64sin220° . sin 20° cos 20°

【迁移训练 1】

3tan12? ? 3 ? (4cos 212? ? 2) sin12?

.

【迁移训练 2】已知 ? 为锐角,且 tan ( ? ? ? ) ? 2 .

4

(1)求 tan ? 的值; (2)求 sin2? cos? ? sin? 的值.

cos2?

考向二:三角函数式给值求值(角)问题 1.当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式; 2.当“已知角”有一个时,此时应着眼于 “所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所 求角”变成“已知角”. 1 1 【典型例题】已知 α,β∈(0,π),且 tan(α-β)= ,tanβ=- ,求 2α-β 的值. 2 7

1 π? 【迁移训练 1】已知函数 f(x)=2sin? ?3x-6?,x∈R. 5π? (1)求 f? ? 4 ?的值;
[来源:Z§xx§k.Com]

?0,π?,f?3α+π?=10,f(3β+2π)=6,求 cos(α+β)的值. (2)设 α,β∈ 2? 13 ? 2? ? 5

?? ? 【迁移训练 2】已知函数 f ? x ? ? 2cos ? ? x ? ? (其中 ? ? 0 x ? R ) 6? ?
的最小正周期为 10? . (Ⅰ )求 ? 的值;

? ?? (Ⅱ )设 ? 、 ? ? ?0, ? , ? 2?

5 ? 6 ? f ? 5? ? ? ? ? ? , 3 ? 5 ?

5 ? 16 ? f ? 5? ? ? ? ? ,求 cos ?? ? ? ? 的值. 6 ? 17 ?

考向三:三角恒等变换的简单应用

[来源:学 &科&网 Z&X&X&K]

重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角为:对角的分拆要尽可能化 成同名、同角、 特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能有理化 、整式化、降低次数等.在 解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选 择适当的三角公式恒等变形. 【典型例题】已知函数 f (x)= sin (2 x + (Ⅰ )求函数 f (x) 的最小正周期;

?
3

)+sin(2 x ?

?
3

)+2cos 2 x ? 1, x ? R .

(Ⅱ )求函数 f (x) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的最大值和最小值. 4 4

【典型例题】设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac . (Ⅰ )求 B; (Ⅱ)若 sin A sin C ?

3 ?1 ,求 C. 4

【迁移训练 1】设 f ? x ? ? 4 cos(? x ? (Ⅰ )求函数 y ? f ? x ? 的值域 (Ⅱ )若 f ? x ? 在区间 ? ?

?
6

) sin ? x ? cos(2? x ? ? ) ,其中 ? ? 0.

? 3? ? ? 上为增函数,求 ? 的最大值. , ? 2 2? ?

【迁移训练 2】已知向量 m ? (sin x,1), n ? ( 3 A cos x, (Ⅰ )求 A ;

A cos 2 x)( A ? 0) ,函数 f ( x) ? m ? n 的最大值为 6. 3

? 1 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不 12 2 5? ] 上的值域. 变,得到函数 y ? g ( x) 的图象.求 g ( x) 在 [0, 24
(Ⅱ )将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移

〖考题回放〗

2014 年高考题组
1. (2014 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(山东卷) ) 函数 y ? 期为 .

3 sin 2 x ? cos 2 x 的最小正周 2

[来源:Z。xx。k.Com]

2. (2014 年全国普通高等学校招生统一考试数学(江苏卷) ) (满分 14 分)已知 ? ? ?

5 ?? ? . ,? ?, sin ? ? 5 ?2 ?

(1)求 sin(

?
4

? ? ) 的值;

(2)求 cos(

5? ? 2? ) 的值. 6

3. (2014 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(重庆卷) )在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别 为 a , b, c ,且 a ? b ? c ? 8

5 ,求 cos C 的值; 2 9 A 2 B ? sin B cos 2 ? 2 sin C ,且 ?ABC 的面积 S ? sin C ,求 a 和 b 的值. (2)若 sin A cos 2 2 2
(1)若 a ? 2, b ?

2010-2013 年高考题组
?+ 1. 【 2013 年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学卷】设 ? 为第二象限角,若 tan(
sin? ? cos ? ? _________.

?
4

)=

1 ,则 2

2.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 】在 ?ABC ,内角 A, B, C 所对的边长分别为

1 a, b, c. a sin B cos C ? c sin B cos A ? b, 且a ? b, 则?B ? ( ) 2 2? 5? ? ? A. B. C. D. 3 6 6 3

3. 【 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 ( 上 海 卷 ) 】 若 cos x cos y ? sin x sin y ?

1 ,则 3

cos 2? y 2? ? ? x



4.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷) 】 若 cos x cos y ? sin x sin y ?

1 2 ,sin 2 x ? sin 2 y ? ,则 sin( x ? y) ? ________ . 2 3

[来源:Zxxk.Com]

5. 【2010 年普通高等学校招生全国 统一考试(福建卷) 】 计算sin43 cos13 -sin13 cos 43 的值等于 ( A. )

1 2

B.

3 3

C.

2 2

D.

3 2

6. 【2010 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷) 】计算 1 ? 2sin 22.5 的结果等于(

)

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 3

D.

3 2

7. 【 2012 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 】已知 sin? ? cos? ?

2 , ? ? (0 , π ) ,则

sin 2? =(
(A) ? 1

) (B) ?

2 2

(C)

2 2

(D) 1

8.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)】已知函数 f ( x) ?

? ? ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . 12 ? ?

(Ⅰ) 求 f ? ?

? ?? ? 的值; ? 6?

(Ⅱ) 若 cos ? ?

3 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 5 2 ? ?

?? ? f ? 2? ? ? . 3? ?

9.【2013 年普通高等学校统一考试天津卷】

?? ? 已知函数 f ( x) ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 6sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1, x ? R . 4? ?
(Ⅰ) 求 f ( x ) 的最小正周期;
? ?? (Ⅱ) 求 f ( x ) 在区间 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?

10.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 】在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且 2 cos
2

A? B cos B ? sin( A ? B) sin B ? cos( A ? C ) 2

3 ?? . 5
(Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影.

〖复习小结〗 明确高考: 1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简、求值是高考的常考点. 2.公式逆用、变形应用是高考热点.在选择题、填空题、解答题中都有所考查. 在复习时同学们需要高度关注: (1)对公式记忆不准确而使公式应用错误; (2)三角公式不能灵活应用和变形应用; (3)忽略角的范围或者角的范围判断错误.
[来源:Z+xx+k.Com]

另外需要熟练掌握特殊角的三角函数值,才能快速正确地解决三角函数的一些问题.


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