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山东省潍坊市四县市2014-2015学年度高二数学上学期期中模块监测试题


潍坊市四县市 2014-2015 学年度上学期期中模块监测 高二数学
本试卷共 4 页,分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 注意事项: 1. 题目注明“文”的仅文科考生做;注明“理”的仅理科考生做,未注明的文理考生都 做. 2.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂

写在答题卡上. 3.每题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦 干净后,再改涂在其它答案标号. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.若

1 1 < <0 ,则下列结论正确的是 a b
B.

A. a ? b

ab ? b

C.
0

b a ? ? -2 a b

D. a ? b
2

2

0 2.在△ABC 中,已知 a ? 8 , ? B = 60 , ?C = 75 ,则 b 等于

A. 4 6

B. 4 5

C. 4 3

D.

22 3

3.已知等差数列 ?an ? 的公差为 2,若 a1 ,a 3 , a4 成等比数列, 则 a 2 等于 A. –4 B. –6 C. –8 D. –10

0 4.在△ABC 中,已知 a ? 4, b ? 6, ?C ? 120 ,则 sin A 的值是

A.

57 19

B.

21 7

C.

3 38

D.

?

57 19

5.在△ABC 中, AB =3,BC= 13 , AC =4,则边 AC 上的高为

A.

3 2 2

B.

3 3 2

C.

3 2

D. 3 3

6.已知等差数列 {an } 中, | a3 |?| a9 | ,公差 d ? 0 ,则使前 n 项和 S n 取最大值的正整数 n 的 值是 A.4 或 5 B.5 或 6 C.6 或 7 D.8 或 9

7.在△ABC 中, ?B ? 300 , AB ? 2 3, AC ? 2 ,则△ABC 的面积是
1

A.

2 3

B.

3

C. 2 3 或 4 3

D. 3 或 2 3

?x ? y ?1 ? 0 ? x?2 y 8.若实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0 , 则 z ? 3 的最小值是 ?x ? 0 ?
A.0 B.1 C. 3 D.9

2 9. 若不等式 x ? ax ? 1 ? 0 对于一切 x ? (0, ] 恒成立,则 a 的最小值是

1 2

A.0

B.-2

C. ?

5 2

D.-3

10.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2, nan?1 ? (n ? 1)an ? 2, n ? N? ,则 a11 等于 A.36 B.38 C.40 D.42

第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分) 注意事项: 第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在 “数学”答题卡指定的位置. 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.) 11.不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集是 (2,3) , 则不等式 bx ? ax ? 1 ? 0 的解集是__________.
2 2

12.等差数列 ?an ? ,?bn ? 前 n 项的和分别为 S n , Tn ,且

Sn 3n ? 1 a ? ,则 8 ? Tn 2n ? 3 b8

.

13.(理)已知 x, y 为正实数,且 x ? 2 y ? 3 ,则 2 x( y ? ) 的最大值是__________.

1 2

(文)已知 x, y 为正实数,且 x ? 2 y ? 1 ,则

1 1 ? 的最小值是__________. x y

2

14. 已知数列 {an} 满足 a1 ? 3?a2 ? 3 ?a3 ? ? ? 3
2

n ?1

?an ?

n ,则 an ? 2

.

?x ? 1 ? 15. 已 知 a ? 0 , x, y 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 3 , 若 z ? 2x ? y 的 最 小 值 为 1 , 则 a ? ? y ? a ( x ? 3) ?
_____. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤 16.(本小题 12 分) 如图,在四边形 ABCD 中,已知 AD ? CD , AD ? 10 , AB ? 14 ,

?BDA ? 60? , ?BCD ? 135? , 求 BD, BC 的长.
17.(本小题 12 分) 等差数列 {an} 中, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 S n . 等比数列 {bn} 的各项均为正数, b1 ? 1 ,且

b2 ? S 2 ? 12 , a3 ? b3 .
(Ⅰ)求数列 ?an ?与 ?bn ?的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和 Tn . ? Sn ?

18.(本小题 12 分) (理)解关于 x 的不等式 (a ? x)( x ? a ) ? 0,(a ? R) .
2

(文)解关于 x 的不等式 (a ? x)( x ? a ) ? 0,(a ? 0) .
2

19.(本小题 12 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边,角 C 是锐角,且 3a ? 2c sin A . (Ⅰ)求角 C 的值; (Ⅱ)若 a ? 1 , ?ABC 的面积为

3 ,求 c 的值. 2

20. (本小题 13 分) 某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需要面粉 6 吨,每吨面粉价格为 1800 元,面粉的保 管费为平均每天每 6 吨 18 元(从面粉进厂起开始收保管费, 不足 6 吨按 6 吨算), 购面粉每 次需要支付运费 900 元,设该厂每 x 天购买一次面粉。(注:该厂每次购买的面粉都能保证
3

使用整数天) (Ⅰ)计算每次所购买的面粉需支付的保管费是多少? (Ⅱ)试求 x 的值,使平均每天所支付的总费用最少?并计算每天最少费用是多少? 21.(本小题 14 分) 设数列 ?an ? 前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? an ? 2 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足 b1 ? a1 , bn ? (Ⅲ)(理)设 c n ? (文)设 cn ?

3bn?1 , n ? 2. 求数列 ?bn ? 的通项公式; bn?1 ? 3

an ,求数列 ?cn ? 的前 n 和 Tn . bn

n ,求数列 ?cn ? 的前 n 和 En . an

潍坊市四县市 2014-2015 学年度上学期期中模块监测 高二数学参考答案 2014.11 一、选择题 1-5.AABAB 6-10.BDBCD 二、填空题 11. (? 三、解答题 16. 解:在△ABD 中,设 BD= x ,则

1 1 4 1 1 , ? ) ;12. ,13.理 2,文 3 ? 2 2 ;14. ;15. n ?1 2 3 3 2?3 2

BA2 ? BD2 ? AD2 ? 2BD ? AD ? cos?BDA ,??????????3 分
2 2 2 ? 2 即 14 ? x ? 10 ? 2 ? 10x ? cos60 ,整理得, x ? 10x ? 96 ? 0

解之得, x1 ? 16或 x2 ? ?6 (舍去),所以 BD ? 16 .??????6 分 由正弦定理:

BC BD ? ??????????9 分 sin ?CDB sin ?BCD 16 ? sin 30 ? ? 8 2 .??????12 分 ∴ BC ? ? sin 135

17. 解: (Ⅰ)设 ?an ?公差为d,数列 {bn } 的公比为 q ,由已知可得

?q ? 3 ? 3 ? d ? 12 , ????????????2分 ? 2 ? q ? 3 ? 2d
又 q ? 0 ??

?d ? 3 . ?q ? 3

?????????? 4分

所以 an ? 3 ? 3(n ?1) ? 3n , bn ? 3n?1 .

??????????6分
4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知数列 ?an ?中, a1 ? 3 , an ? 3n ,? S n ?

n(3 ? 3n) , 2

????8分

?

1 2 2 1 1 ? ? ( ? ), S n n(3 ? 3n) 3 n n ? 1

????????10分

?Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 2 ) ] ? ? ? + ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? 2 2 3 n n ?1 S1 S2 Sn 3

2 1 2n ? (1 ? )? . ??????????12分 3 n ?1 3 (n ? 1)
18.解:理:原不等式可化为 ( x ? a)( x ? a2 ) ? 0 ,??????2 分
2 当 a ? 1 或 a ? 0 时, a ? a ,原不等式的解集为 {x | x ? a, 或x ? a 2 } ;????6 分

当 0 ? a ? 1 时, a ? a ,原不等式的解集为 {x | x ? a2 , 或x ? a} .???????8 分
2

当 a ? 1 时,原不等式的解集为 {x | x ? 1} ;??????10 分 当 a ? 0 时,原不等式的解集为 {x | x ? 0} ;??????12 分 文:原不等式可化为 ( x ? a)( x ? a2 ) ? 0 ,??????2 分
2 2 当 a ? 1 时, a ? a ,原不等式的解集为 {x | x ? a, 或x ? a } ;??????5 分

当 a ? 1 时,原不等式的解集为 {x | x ? 1} ;??????8 分
2 当 0 ? a ? 1 时, a ? a ,原不等式的解集为 {x | x ? a , 或x ? a} .???????12 分
2

19.解: (Ⅰ)因为 3a ? 2c sin A ,由正弦定理得, 3 sin A ? 2sin C sin A , 所以 sin A(2sin C ? 3) ? 0 ,??????????3 分 因为 sin A ? 0 ,所以 sin C ? 因为 C 是锐角,所以 C ? ( Ⅱ)因为 S ?
2

3 , 2
?????????? 6 分

?
3

.

1 3 3 ab sin C ? b? , b ? 2 ,??????????9 分 2 4 2
2 2

由余弦定理, c ? a ? b ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 2 ? 3 , c ? 3 . 即 c 的值为 3 . ???????????????????12 分
5

20.解: (Ⅰ)由题意,每次购进 6 x 吨面粉,则保管费为

18 x( x ? 1) ? 9 x( x ? 1) ,--------------4 分 2 (Ⅱ)设平均每天支付的总费用是 y ,则 1 y ? [9 x( x ? 1) ? 900 ] ? 6 ? 1800 ------------------7 分 x 18 x ? 18( x ? 1) ? ... ? 18 ?
=

900 900 ? 9 x ? 10809? 2 ? 9 x ? 10809? 10989-------------10 分 x x
900 即x ? 10 时取等号.---------------11 分 x

当且仅当 9 x ?

所以该厂应每 10 天购买一次面粉, 才能使每天支付的费用最少, 平均每天最少费用是 10989 元.-----------------13 分

21. 解: (Ⅰ) 由 Sn ? an ? 2 , 得 Sn?1 ? an?1 ? 2 , 两式相减, 得 2an?1 ? an , ∴ 数) ,所以, ?an ? 是等比数列,-----------------2 分 又 n=1 时, S1 ? a1 ? 2,? a1 ? 1 ,∴ an ?

an ?1 1 ? (常 an 2

1 . -------------------4 分 2n ?1 3bn ?1 1 1 1 ,得 bnbn ?1 ? 3bn ? 3bn ?1 ? ? ? , bn bn?1 3 bn ?1 ? 3

(Ⅱ)由 b1 ? a1 ? 1, ,且 n ? 2 时, bn ?

--------------------------------------------------------------------6 分 ∴?

?1? 1 ? 是以 1 为首项, 为公差的等差数列, 3 ? bn ?
3 1 n ?1 n ? 2 ,故 bn ? .-----------------------8 分 ? 1? ? n?2 bn 3 3



(Ⅲ)理: cn ?

an n ? 2 1 n?1 ? ? ( ) ,-----------------9 分 bn 3 2

1 1 1 1 1 Tn ? [3?( )0 ? 4?( )1 ? 5? ( ) 2 ? ... ? ( n ? 2)( ) n ?1 ] 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? [3?( )1 ? 4?( ) 2 ? 5? ( )3 ? ... ? ( n ? 1)( ) n ?1 ? ( n ? 2)( ) n ] ---------11 分 2 3 2 2 2 2 2
以上两式相减得,

6

1 1 1 1 1 1 1 Tn ? [3 ? ( )1 ? ( ) 2 ? ( )3 ? ... ? ( ) n ?1 ? ( n ? 2)( ) n ]......12分 2 3 2 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 1 2 ? [3 ? 2 ? (n ? 2)( ) n ] 1 3 2 1? 2 1 1 1 ? [4 ? ( ) n ?1 ? (n ? 2)( ) n ] 3 2 2 8 n?4 ?Tn ? ? ------------------14 分 3 3?2n ?1
文: cn ? n? 2n?1 ,-----------------9 分

En ? 1? 20 ? 2? 21 ? 3? 22 ? ... ? n? 2n?1 , 2En ? 1? 21 ? 2? 22 ? 3? 23 ? ... ? n? 2n ,---------11 分
以上两式相减得,

? En ? 1 ? 21 ? 22 ? 23 ? ... ? 2n ?1 ? n?2n......12分 1 ? 2n ? n?2n 1? 2 ? 2n ?(1 ? n) ? 1 ?

? En ? 1 ? (n ?1)? 2n .------------------14 分

7


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