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高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-3《1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理》评估训练


第一章 计数原理
1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

双基达标

?限时 20 分钟?

1.从 3 名女同学和 2 名男同学中选 1 人主持本班的某次主题班会,则不同的选 法种数为 A.6 解析 B.5 C.3 D.2 ( ).

“完成这件事”即选出一人作主持人,可分选女主持人和男主持人两

类进行,分别有 3 种选法和 2 种选法,所以共有 3+2=5 种不同的选法. 答案 B ( ).

2. 已知集合 A ?{1, 3}, A 中至少有一个奇数, 2, 且 则这样的集合有 A.2 个 解析 B.3 个 C.4 个 D.5 个

满足题意的集合 A 可以是{1},{3},{1,2},{1,3},{2,3}共有 5

个,故选 D. 答案 D

3.5 名同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中一个小组,则不同 的报名方法共有 A.10 种 解析 B.20 种 C.25 种 D.32 种 ( ).

5 名同学依次报名, 每人均有 2 种不同的选择, 所以共有 2×2×2×2×2

=32 种报名方法. 答案 D

4. 如图所示为一电路图, A 到 B 共有________条不同的 从 线路可通电. 解析 ∵按上、中、下三条线路可分为三类:上线路中

有 3 条; 中线路中有 1 条; 下线路中有 2×2=4(条). 根据分类加法计数原理,

共有 3+1+4=8(种). 答案 8

5.在 2012 年奥运选手选拔赛上,8 名男运动员参加 100 米决赛.其中甲、乙、 丙三人必须在 1、2、3、4、5、6、7、8 八条跑道的奇数号跑道上,则安排 这 8 名运动员比赛的方式共有________种. 解析 分两步安排这 8 名运动员.

第一步:安排甲、乙、丙三人,共有 1、3、5、7 四条跑道可安排,所以安排 方式有 4×3×2=24(种). 第二步:安排另外 5 人,可在 2、4、6、8 及余下的一条奇数号跑道安排,所 以安排方式有 5×4×3×2×1=120(种). ∴安排这 8 人的方式有 24×120=2 880(种). 答案 2 880

6.某校高三共有三个班,其各班人数如下表: 班级 高三(1) 高三(2) 高三(3) 男生数 30 30 35 女生数 20 30 20 总数 50 60 55

(1)从三个班中选一名学生会主席,有多少种不同的选法? (2)从 1 班、2 班男生中或从 3 班女生中选一名学生任学生会生活部部长,有 多少种不同的选法? 解 (1)从三个班中任选一名学生,可分三类:

第一类:从 1 班任选一名学生,有 50 种不同选法; 第二类:从 2 班任选一名学生,有 60 种不同选法; 第三类;从 3 班任选一名学生,有 55 种不同选法. 由分类加法计数原理知,不同的选法共有 N=50+60+55=165 种. (2)由题设知共有三类: 第一类:从 1 班男生中任选一名学生,有 30 种不同选法; 第二类:从 2 班男生中任选一名学生,有 30 种不同选法; 第三类:从 3 班女生中任选一名学生,有 20 种不同选法; 由分类加法计数原理知,不同的选法共有 N=30+30+20=80 种.

综合提高(限时 25 分钟)
7.设 P,Q 是两个非空集合,定义 P*Q={(a,b)|a∈P,b∈Q},若 P={0,1, 2}, Q={1, 3, 则 P*Q 中元素的个数是 2, 4}, A.4 解析 B.7 C.12 D.16 ( ).

a 有 3 种取法,b 有 4 种取法,由分步乘法计数原理有 3×4=12(种)

不同取法,生成 12 个不同元素. 答案 C

8.高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必 须有班级去, 每班去何工厂可自由选择, 则不同的分配方案有 A.16 种 解析 B.18 种 C.37 种 D.48 种 ( ).

自由选择去四个工厂有 43 种方法,甲工厂不去,自由选择去乙、丙、

丁三个工厂有 33 种方法,故不同的分配方案有 43-33=37(种). 答案 C

9.把 9 个相同的小球放入编号为 1,2,3 的三个箱子里,要求每个箱子放球的 个数不小于其编号数,则不同的放球方法共有________种. 解析 第一个箱子放入 1 个小球则共有 4 种情况,第一个箱子放入 2 个小球

则共有 3 种情况,第一个箱子放入 3 个小球则共有 2 种情况,第一个箱子放 入 4 个小球则共有 1 种情况,据分类加法计数原理共有 10 种情况. 答案 10

10.如图所示,用不同的五种颜色分别为 A、B、C、D、 E 五部分着色,相邻部分不能用同一种颜色,但同 一种颜色可以反复使用,也可不使用,则符合这些 要求的不同着色的方法有________种. 解析 按照分步乘法计数原理, 先为 A 着色共有 5 种, 再为 B 着色有 4 种(不

能与 A 相同),接着为 C 着色有 3 种(不与 A,B 相同),同理依次为 D、E 着 色各有 3 种.所以种数为:N=5×4×33=540. 答案 540

11.一个袋子里装有 10 张不同的中国移动手机卡,另一个袋子里装有 12 张不同

的中国联通手机卡. (1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡,共有多少种不同的取 法? (2)某人想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡,供自己今后选择使用,问 一共有多少种不同的取法? 解 (1)任取一张手机卡,可以从 10 张不同的中国移动卡中任取一张,或从

12 张不同的中国联通卡中任取一张,每一类办法都能完成这件事,故应用分 类加法计数原理知,有 10+12=22(种)取法. (2)从移动、联通卡中各取一张,则要分两步完成:从移动卡中任取一张,再 从联通卡中任取一张, 故应用分步乘法计数原理知, 10×12=120(种)取法. 有 12.(创新拓展)设有 5 幅不同的国画,2 幅不同的油画,7 幅不同的水彩画. (1)从中任选一幅画布置房间,有几种不同的选法? (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间,有几种不同的选法? (3)从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间,有几种不同的选法? 解 (1)利用分类加法计数原理:5+2+7=14 种不同的选法;

(2)国画有 5 种不同选法, 油画有 2 种不同的选法, 水彩画有 7 种不同的选法, 利用分步乘法计数原理得到 5×2×7=70 种不同的选法; (3)三类分别为选国画与油画,油画与水彩画、国画与水彩画,再利用分类加 法计数原理和利用分步乘法计数原理知共有 5×2+2×7+5×7=59 种不同 的选法.


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