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高中数学必修五知识点归纳及一些方法


高中数学必修 5 知识点 1、正弦定理:在 ???C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ???C 的外接圆的半径, 则有

18、 由三个数 a ,? ,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列, ? 称为 a 与 b 的等差中项.若 则

b?

a b c ? ? ? 2R . sin ? sin ? sin C

a?c ,则称 b 为 a 与 c 的等差中项. 2

19、若等差数列 ? an ? 的首项是 a1 ,公差是 d ,则 an ? a1 ? ? n ? 1? d . 20、通项公式的变形:① an ? am ? ? n ? m ? d ;② a1 ? an ? ? n ? 1? d ;③ d ? ④n ?

2、正弦定理的变形公式:① a ? 2R sin ? , b ? 2R sin ? , c ? 2R sin C ; ② sin ? ?

a b c , sin ? ? , sin C ? ; 2R 2R 2R

an ? a1 ; n ?1

③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; ④

an ? a1 a ? am . ? 1 ;⑤ d ? n d n?m

a?b?c a b c . ? ? ? sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C 1 1 1 ? bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2

21、若 ? an ? 是等差数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 am ? an ? a p ? aq ;若 ? an ? 是 等差数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 2an ? a p ? aq . 22、等差数列的前 n 项和的公式:① Sn ?

3、三角形面积公式: S???C

n ? a1 ? an ? 2

4、余弦定理:在 ???C 中,有 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos ? , b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos ? ,

;② S n ? na1 ?

n ? n ? 1? 2

d.

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
5、余弦定理的推论: cos ? ?

23、 等差数列的前 n 项和的性质: ①若项数为 2n n ? ? * , S 2 n ? n ? an ? an ?1 ? , S偶 ?S 奇 ?nd , 则 且

?

?

b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c2 , cos ? ? , cos C ? . 2bc 2ab 2ac

S奇 S偶

?

an . an ?1

6、设 a 、 b 、 c 是 ???C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则:①若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则 C ? 90? ; ②若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;③若 a ? b ? c ,则 C ? 90 .
2 2 2

?

2

2

2

?

②若项数为 2n ? 1 n ? ? * ,则 S 2 n ?1 ? ? 2n ? 1? an ,且 S奇 ? S偶 ? an , (其中 S奇 ? nan , S偶 ? ? n ? 1? an ) .

?

?

S奇 S偶

?

n n ?1

7、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 8、数列的项:数列中的每一个数. 9、有穷数列:项数有限的数列. 10、无穷数列:项数无限的数列. 11、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列. an ?1 ? an ? 0 12、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列. an ?1 ? an ? 0 13、常数列:各项相等的数列. 14、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 15、数列的通项公式:表示数列 ? an ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式. 16、数列的递推公式:表示任一项 an 与它的前一项 an ?1 (或前几项)间的关系的公式. 17、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列, 这个常数称为等差数列的公差.

24、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列, 这个常数称为等比数列的公比. 25、 a 与 b 中间插入一个数 G , a ,G ,b 成等比数列, G 称为 a 与 b 的等比中项. G ? ab , 在 使 则 若
2

则称 G 为 a 与 b 的等比中项.注意: a 与 b 的等比中项可能是 ?G 26、若等比数列 ? an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an ? a1q 27、通项公式的变形:① an ? am q
n?m

n ?1


n ?1

;② a1 ? an q

?? n ?1?

;③ q

?

an a n?m ? n . ;④ q a1 am

* 28、若 ? an ? 是等比数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ? ) ,则 am ? an ? a p ? aq ;若 ? an ? 是 * 等比数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ? ) ,则 an ? a p ? aq .

2

1

?na1 ? q ? 1? ? 29、等比数列 ? an ? 的前 n 项和的公式: Sn ? ? a ?1 ? q n ? a ? a q . 1 1 n ? ? q ? 1? ? 1? q ? 1? q
30、等比数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n n ? ? * ,则

有这样的有序数对 ? x, y ? 构成的集合. 38、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 ,坐标平面内的点 ? ? x0 , y0 ? . ①若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的上方. ②若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的下方. 39、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 . ①若 ? ? 0 ,则 ?x ? ?y ? C ?0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 上方的区域; ?x ? ?y ? C ? 0 表示直线

?

?

S偶 S奇

?q.

② Sn ? m ? S n ? q n ? S m .③ S n , S 2n ? S n , S3n ? S2 n 成等比数列. 31、 a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b . 32、不等式的性质: ① a ? b ? b ? a ;② a ? b, b ? c ? a ? c ;③ a ? b ? a ? c ? b ? c ; ④ a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;⑤ a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ; ⑥ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;⑦ a ? b ? 0 ? a ? b
n n

?x ? ?y ? C ?0 下方的区域.
②若 ? ? 0 ,则 ?x ? ?y ? C ?0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 下方的区域; ?x ? ?y ? C ? 0 表示直线

? n ? ?, n ? 1? ;

?x ? ?y ? C ?0 上方的区域.
40、线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线性约束条件. 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式. 线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式.

⑧a ?b?0?

n

a ? n b ? n ? ?, n ? 1? .

33、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式. 34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系: 判别式 ? ? b2 ? 4ac

??0

??0

??0

线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 可行解:满足线性约束条件的解 ? x, y ? . 可行域:所有可行解组成的集合. 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解. 41、设 a 、 b 是两个正数,则

二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c

? a ? 0 ? 的图象
一元二次方程 ax ? bx
2

a?b 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、 b 的几何平均 2 a?b ? ab . 2

有两个相异实数根

有两个相等实数 根 x1 ? x2 ? ?

数. 没有实数根 42、均值不等式定理: 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即

?c ? 0 ? a ? 0 ? 的根
一元 二次 不等 式的 解集

x1,2 ?

?b ? ? ? x1 ? x2 ? 2a
1 2

b 2a

ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ?

? x x ? x 或x ? x ?
?x x
1

? b ? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

a 2 ? b2 43、常用的基本不等式:① a ? b ? 2ab ? a, b ? R ? ;② ab ? ? a, b ? R ? ; 2
2 2

ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ?

? x ? x2 ?

?

?

a 2 ? b2 ? a ? b ? ? a?b? ?? ③ ab ? ? ? a ? 0, b ? 0 ? ;④ ? ? ? a, b ? R ? . 2 ? 2 ? ? 2 ?
2 2

44、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有 ⑴若 x ? y ? s (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值

35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是 1的不等式. 36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组. 37、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的 x 和 y 的取值构成有序数对 ? x, y ? ,所

s2 . 4

⑵若 xy ? p (积为定值) ,则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p .

2

一些方法: 一、求通项公式的方法: 1、由数列的前几项求通项公式:待定系数法 ①若相邻两项相减后为同一个常数设为 a n ? kn ? b ,列两个方程求解; ②若相邻两项相减两次后为同一个常数设为 a n ? an 2 ? bn ? c ,列三个方程求解; ③若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为 a n ? aq n ? b ,q 为相除后的常数,列两个方程求 解; 2、由递推公式求通项公式: ①若化简后为 a n ?1 ? a n ? d 形式,可用等差数列的通项公式代入求解; ②若化简后为 a n ?1 ? a n ? f (n), 形式,可用叠加法求解; ③若化简后为 a n ?1 ? a n ? q 形式,可用等比数列的通项公式代入求解; ④若化简后为 a n ?1 ? kan ? b 形式,则可化为 (a n ?1 ? x) ? k (a n ? x) ,从而新数列 {a n ? x} 是等 比数列,用等比数列求解 {a n ? x} 的通项公式,再反过来求原来那个。 (其中 x 是用待定系数法来 求得) 3、由求和公式求通项公式: ① a1 ? S1 写。 4、其他 (1) an ? an ?1 ? f ? n ? 形式, f ? n ? 便于求和,方法:迭加; 例如: an ? an ?1 ? n ? 1 有: an ? an ?1 ? n ? 1 ② a n ? S n ? S n ?1 ③检验 a1是否满足a n ,若满足则为 a n ,不满足用分段函数

例如: an ? an ?1 ? 2an an ?1 ,则

?1? an ? an ?1 1 1 ?2? ? ,即 ? ? 为以-2 为公差的等差数列。 an an ?1 an ?1 an ? an ?

(3) an ? qan ?1 ? m 形式, q ? 1 ,方法:构造: an ? x ? q ? an ?1 ? x ? 为等比数列; 例如: an ? 2an?1 ? 2 ,通过待定系数法求得: an ? 2 ? 2 ? an ?1 ? 2 ? ,即 ?an ? 2? 等比,公比为 2。 (4) an ? qan ?1 ? pn ? r 形式:构造: an ? xn ? y ? q an ?1 ? x ? n ? 1? ? y 为等比数列; (5) an ? qan ?1 ? p n 形式,同除 p n ,转化为上面的几种情况进行构造; 因为 an ? qan ?1 ? p n ,则 的方法 二、等差数列的求和最值问题: (二次函数的配方法;通项公式求临界项法) ①若 ?

?

?

an q an ?1 q ? ? 1 ,若 ? 1 转化为(1)的方法,若不为 1,转化为(3) n n ?1 p p p p

? ak ? 0 ?a1 ? 0 ,则 S n 有最大值,当 n=k 时取到的最大值 k 满足 ? ?a k ?1 ? 0 ?d ? 0 ? ak ? 0 ?a1 ? 0 ,则 S n 有最小值,当 n=k 时取到的最大值 k 满足 ? ?a k ?1 ? 0 ?d ? 0

②若 ?

三、数列求和的方法: ①叠加法:倒序相加,具备等差数列的相关特点的,倒序之后和为定值; ②错位相减法:适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式,如: an ? ? 2n ? 1? ? 3 ;
n

③分式时拆项累加相约法:适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式。如:

an ?

1 1 1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? , an ? 等; n ? n ? 1? n n ? 1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ?

④一项内含有多部分的拆开分别求和法:适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部分, 如: an ? 2 ? n ? 1 等;
n

a2 ? a1 ? 3 a3 ? a2 ? 4 ? an ? an ?1 ? n ? 1 各式相加得an ? a1 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? 1 ? a1 ?

四、综合性问题中 ①等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为 a ? d和a ? d 类型,这样可以相加约掉,相乘为平 方差;

? n ? 4 ?? n ? 1?
2

②等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为 aq和

a 类型,这样可以相乘约掉。 q

(2) an ? an ?1 ? an an ?1 形式,同除以 an an ?1 ,构造倒数为等差数列;

3


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