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高中数学 直线与圆的综合应用


9.5 直线与圆的综合应用
一、填空题 1.若圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 的圆心到直线 x-y+a=0 的距离为 2 ? 则 a 的值为 2 ________. ?1? 2 ? a ? ? 2? 2 2 解析 圆心为(1,2),利用点到直线的距离公式得 化简得|a-1|=1, 解得 a=0 或?a=2?. 2. 直线 y= 3 x 绕原点按逆时针方向旋转 30°, 则所得直线与圆(x-2)2+y2=3 3

的位置关系是________. 解析 由题意可得旋转 30°后所得直线方程为 y= 3x,由圆心到直线距离可知 是相切关系. 答案 相切 3.若圆(x-3)2+(y+5)2=r2 上有且只有两个点到直线 4x-3y-2=0 的距离等 于 1,则半径 r 的取值范围为________. 解析 由圆心(3,-5)到直线的距离 d= 答案 (4,6) 答案 2 或 0 4.已知直线 ax+by+c=0 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点,且 AB= 3,则 →?→=________. OA OB 1 解析 由题可知∠AOB=120°,所以→?→=|→|?|→|?cos 120°=- . OA OB OA OB 2 答案 - 1 2 |12+15-2| =5,可得 4<r<6. 5

5.已知 x,y 满足 x2+y2-4x-6y+12=0,则 x2+y2 最小值为________. 解析 法一 点(x,y)在圆(x-2)2+(y-3)2=1 上,故点(x,y)到原点距离的

平方即 x2+y2 最小值为( 13-1)2=14-2 13. ?x=2+cos α , 法二 设圆的参数方程为? ?y=3+sin α 则 x2+y2=14+4cos α +6sin α ,

所以 x2+y2 的最小值为 14- 42+62=14-2 13. 答案 14-2 13 6.若直线 y=x+b 与曲线 x= 1-y2恰有一个交点,则实数 b 的取值范围是 ________. 解析 利用数形结合的方法,曲线 x= 1-y2表示在 y 轴右侧的半个单位圆(含边 界),直线 y=x+b 表示斜率为 1,在 y 轴上截距为 b 的直线,注意到 b=-1 时 有两个交点及 b=- 2时直线与圆相切,所以实数 b 的取值范围是-1<b≤1, b=- 2. 答案 -1<b≤1,b=- 2 7.已知曲线 C:(x-1)2+y2=1,点 A(-2,0)及点 B(3,a),从点 A 观察点 B, 要使视线不被曲线 C 挡住,则实数 a 的取值范围是________. 解析 设过 A 点的⊙C 的切线是 y=k(x+2),即 kx-y+2k=0. |k+2k| 2 由 =1,得 k=± . 2 4 k +1 当 x=3 时,y=5k=± 5 2. 4

5 ? ?5 ? ? 答案 ?-∞,- 2?∪? 2,+∞? 4 ? ?4 ? ? 8.设圆 x2+y2=1 的一条切线与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B,则线段 AB 长度的 最小值为________. π? 1 ? 解析 设切点为 D, OAB=α ?0<α < ?, ∠ 则连接 OD 知 OD⊥AB, 从而得到 AD= 2? tanα ? cosα 1 sinα = ,BD= = , sinα ?π ? cosα tan? -α ? ?2 ? π? cosα sinα 1 2 ? ?0<α < ?, 所以线段 AB= + = = 则线段 AB 长度的 2? sinα cosα sinα cosα sin2α ? 最小值为 2. 答案 2 9. C: 2+y2+2x-2y-2=0 的圆心到直线 3x+4y+14=0 的距离是________. 圆 x

解析 圆心为(-1,1),它到直线 3x+4y+14=0 的距离 d= 答案 3

|-3+4+14| =3. 5

10.如果圆 C:(x+a)2+(y-a)2=18 上总存在两个点到原点的距离为 2,则实 数 a 的取值范围是________. 解析 由题意,圆 C 上总存在两个点到原点的距离 2,即圆 C 与以 O 为圆心, 半径为 2的圆总有两个交点,即两圆相交, 所以有|3 2- 2|<|CO|<3 2+ 2,即 2 2< 2|a|<4 2, 解得-4<a<-2 或 2<a<4. 答案 (-4,-2)∪(2,4) 11.若直线 mx+ny=4 和圆 O:x2+y2=4 没有公共点,则过点(m,n)的直线与椭 圆 + =1 的交点个数为________. 5 4 解析 由题意可知,圆心 O 到直线 mx+ny=4 的距离大于半径,即得 m2+n2<4, 所以点(m,n)在圆 O 内,而圆 O 是以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆, 故点(m,n)在椭圆内,因此过点(m,n)的直线与椭圆必有 2 个交点. 答案 2 12.若过点 A(0,-1)的直线 l 与曲线 x2+(y-3)2=12 有公共点,则直线 l 的 斜率的取值范围为________. 解析 该直线 l 的方程为 y=kx-1,即 kx-y-1=0,则由题意, 得 d= 4 1 3 3 ≤2 3,即 k2≥ ,解得 k≤- 或 k≥ . 2 3 3 3 k +1

x2 y2

? ? 3? ? 3 答案 ?-∞,- ?∪? ,+∞? 3? ?3 ? ? 13.直线 l:ax-by+8=0 与圆 C:x2+y2+ax-by+4=0(a,b 为非零实数)的 位置关系是________.

a? ? b? a +b a +b ? 解析 圆的标准方程为?x+ ?2+?y- ?2= -4,且 -4>0, 2? ? 2? 4 4 ?
2 2 2 2

? a b? 即 a2+b2>16,圆心 C?- , ?到直线 ax-by+8=0 的距离 ? 2 2?

b ? ? ? a? ?a??- ?-b? +8? 2? 2 ? |a2+b2-16| |a2+b2-16| ? 2r? 2 ? ? d= = < = =r(r 是圆 C a2+b2 2 a2+b2 2 a2+b2-16 2?2r
的半径,则直线与圆相交). 答案 相交 二、解答题 14.已知方程 x2+y2-2x-4y+m=0. (1)若此方程表示圆,求实数 m 的取值范围; (2)若(1)中的圆与直线 x+2y-4=0 相交于 M, 两点, OM⊥ON(O 为坐标原点), N 且 求实数 m 的值; (3)在(2)的条件下,求以 MN 为直径的圆的方程. 解析 (1)原圆的方程可化为(x-1)2+(y-2)2=5-m,所以 m<5. (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1=4-2y1,x2=4-2y2,则 x1x2=16-8(y1+y2) +4y1y2. 因为 OM⊥ON,所以 x1x2+y1y2=0, 所以 16-8(y1+y2)+5y1y2=0, ?x=4-2y, 由? 2 2 ?x +y -2x-4y+m=0, 得 5y2-16y+m+8=0, 所以 y1+y2= 16 8+m 8 ,y1y2= ,代入①得 m= . 5 5 5 ①

(3)以 MN 为直径的圆的方程为 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0, 即 x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0. 8 16 所以所求圆的方程为 x2+y2- x- y=0. 5 5 15.如图,已知圆心坐标为( 3,1)的圆 M 与 x 轴及直线 y= 3x 分别相切于 A、

B 两点,另一圆 N 与圆 M 外切,且与 x 轴及直线 y= 3x 分别相切于 C、D 两点.
(1)求圆 M 和圆 N 的方程; (2)过点 B 作直线 MN 的平行线 l,求直线 l 被圆 N 截得的弦的长度.

解析 (1)由于⊙M 与∠BOA 的两边均相切,故 M 到 OA 及 OB 的距离均为⊙M 的半 径,则 M 在∠BOA 的平分线上,同理,N 也在∠BOA 的平分线上,即 O,M,N 三 点共线,且 OMN 为∠BOA 的平分线. ∵M 的坐标为( 3,1),∴M 到 x 轴的距离为 1,即⊙M 的半径为 1,则⊙M 的方 程为(x- 3) +(y-1) =1, 设⊙N 的半径为 r,其与 x 轴的切点为 C,连接 MA、NC, 由 Rt△OAM∽Rt△OCN 可知,OM∶ON=MA∶NC, 2 1 即 = ? r=3,则 OC=3 3, 3+r r 故⊙N 的方程为(x-3 3)2+(y-3)2=9. (2)由对称性可知, 所求的弦长等于点过 A 的直线 MN 的平行线被⊙N 截得的弦长, 此弦的方程是 y= 3 (x- 3),即 x- 3y- 3=0, 3 3 , 2
2 2

圆心 N 到该直线的距离 d= 则弦长为 2 r2-d2= 33.

16.已知圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3∶ 1;③圆心到直线 l:x-2y=0 的距离为 5 .求该圆的方程. 5 解析 设圆的方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . 令 x=0,得 y 2 ? 2by ? b2 ? a 2 ? r 2 ? 0 . | y1 ? y2 | ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? 2 r 2 ? a 2 ? 2? 得 r 2 ? ? a 2 ? 1 ?, 令 y=0,得
x 2 ? 2ax ? a 2 ? b 2 ? r 2 ? 0? | x1 ? x2 |= ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2 r 2 ? b 2 ? 2r ?



得 r 2 ? 2b2 .



由①②,得 2b2 ? a 2 ? 1 .

又 因 为 圆 心 (a,b) 到 直 线 x-2y=0 的 距 离 为
a ? 2b ? ?1.

5 ? 得 d ? ? a ? 2b ? ? 5 ? 即 5 5 5

?2b 2 ? a 2 ? 1? ?2b 2 ? a 2 ? 1? ? a ? ?1? ? a ? 1? 综上,可得 ? 或 ? 解得 ? 或 ? ? b ? ?1 ?b ? 1? ? a ? 2b ? 1 ? a ? 2b ? ?1?

于是 r 2 ? 2b2 ? 2 . 所求圆的方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 或? ( x ? 1)2 ? ? ( y ? 1) 2 ? 2 . 17.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 由圆弧 C1 和圆弧 C2 相接而成, 两相接点 M、N 均在直线 x=5 上,圆弧 C1 的圆心是坐标原点 O,半径为 13,圆 弧 C2 过点 A(29,0).

(1)求圆弧 C2 的方程; (2)曲线 C 上是否存在点 P,满足 PA= 30PO?若存在,指出有几个这样的点; 若不存在,请说明理由; (3)已知直线 l:x-my-14=0 与曲线 C 交于 E、F 两点,当 EF=33 时,求坐标 原点 O 到直线 l 的距离. 解析 (1)圆弧 C1 所在圆的方程为 x2+y2=169. 令 x=5,解得 M(5,12),N(5,-12). 则线段 AM 的中垂线的方程为 y-6=2(x-17). 令 y=0,得圆弧 C2 所在圆的圆心为 O2(14,0), 又圆弧 C2 所在圆的半径为 r2=29-14=15,所以圆弧 C2 的方程为(x-14) +y =225(x≥5). (2)假设存在这样的点 P(x,y),则由 PA= 30PO,得 x2+y2+2x-29=0. ?x +y +2x-29=0, 由? 2 2 ?x +y =169? -13≤x≤5?
2 2 2 2



解得 x=-70(舍).

?x +y +2x-29=0, 由? 2 2 ?? x-14? +y =225?
2 2

5≤x≤29?



解得 x=0(舍).

综上知这样的点 P 不存在. (3)因为 EF>2r2,EF>2r1,所以 E、F 两点分别在两个圆弧上. 设点 O 到直线 l 的距离为 d. 因为直线 l 恒过圆弧 C2 所在圆的圆心(14,0), 所以 EF=15+ 132-d2+ 142-d2, 即 132-d2+ 142-d2=18,解得 d2= 所以点 O 到直线 l 的距离为 1 615 . 4 1 615 . 16

18.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 F1(-4,0),F2(4,0),A(0,8),直线

y=t(0<t<8)与线段 AF1,AF2 分别交于点 P,Q.

(1)当 t=3 时,求以 F1,F2 为焦点,且过 PQ 中点的椭圆的标准方程; (2)过点 Q 作直线 QR∥AF1 交 F1F2 于点 R,记△PRF1 的外接圆为圆 C. 求证:圆心 C 在定直线 7x+4y+8=0 上. 解析 (1)当 t=3 时,PQ 中点为(0,3),所以 b=3,又椭圆焦点为 F1(-4,0),

x2 y2 F2(4,0),所以 c=4,a2=b2+c2=25,所以椭圆的标准方程为 + =1.
25 9 (2)证明

t ? x y ? 因为 Q 在直线 AF2: + =1 上,所以 Q?4- ,t?. 2 ? 4 8 ?

?t ? 由 P 与 Q 关于 y 轴对称,得 P? -4,t?,又由 QR∥AF1,得 R(4-t,0). 2 ? ? 设△PRF1 的外接圆方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,则有

?16-4D+F=0, ?? 4-t? +? 4-t? D+F=0, ?t ??2-4? +t +?t-4?D+tE+F=0, ? ? ?? ? ? ? ?2 ?
2 2 2

?D=t, ? 7 解得?E=4- t, 4 ?F=4? t-4? ?



? t 7 ? ? t? ?7 ? 所以该圆的圆心 C?- , t-2?满足 7??- ?+4? t-2?+8=8-8=0, 2 8 2? 8 ? ? ? ? ? 即圆心 C 在直线 7x+4y+8=0 上.


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